1、2020-2021学年下学期宣化一中高二数学期中试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢与不喜欢两种态度）与性别的关系，运用列联表进行独立性检验，计算得，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关”的把握约为（ ）0.100.050.250.0100.0050.00132.7063.84135.0246.6357.87910.828A0.1%B1%C99.5%D99.9%3若6把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为（ ）ABCD4已知两变量和的一组
2、观测值如表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为，则（ ）234546ABCD5由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（ ）A12B10C8D146在处有极小值，则常数的值为（ ）A2B6C2或6D17已知是定义在上的奇函数，且对任意总有，则的值为（ ）A3B0CD8若函数与函数两条公切线，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A与B与C与D与10若，则下列不等式中正确的是（ ）ABCD11某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（
3、 ）A若任意选择三门课程，选法总数为B若物理和化学至少选一门，选法总数为C若物理和历史不能同时选，选法总数为D若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为12函数，下列结论正确的是（ ）A时，有两个零点B时，极小值点为2C时，恒成立D若只有一个零点，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13的展开式中项的系数为_14甲、乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为_15在曲线的所有切线中，切线斜率的最小值为_16已知函数在区间上有四个不同的零点，则实数的取值范围为_四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17已知集合，集合（1
4、）当时，求，；（2）设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围18盒子中放有大小形状完全相同的10个球，其中4个红球，6个白球（1）某人从这盒子中有放回地随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率；（2）某人从这盒子中不放回地随机抽取3个球，每抽到1个红球得红包奖励20元，每抽到1个白球得到红包奖励10元，求该人所得奖励的分布列19已知函数（1）当时，求的单调增区间；（2）若在上是增函数，求得取值范围20已知函数（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；（3）若定义域为，解不等式21某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共
5、设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点、，交曲线于点，设（1）将（为坐标原点）的面积表示成的函数；（2）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值22函数，其中，为常数（1）若时，讨论函数的单调性；（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，当时，试比较与的大小2020-2021学年下学期宣化一中高二数学期中试卷答案和解析1【答案】A【解析】解：解不等式，得；解不等式，得或设集合，集合或充分性：因为，故充分性成立；必要性：当或时，不一定成立，故必要性不成立；综上“”是“”的充分不必要条件故选：A根据充分条件和
6、必要条件的定义分别进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对不等式的正确求解是解决本题的关键2【答案】C【解析】【分析】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题根据观测值，对照临界值表即可得出结论【解答】根据观测值，所以在犯错误的概率不超过0005的前提下，认为喜欢乡村音乐与性别有关，即有99.5%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关故选：C3【答案】A【解析】解：若6把钥匙中只有2把能打开某锁，从中任取2把包含的基本事件个数，从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数，任取2把能将该锁打开的概率为故选：A从中任取2把包含的基本事件个数，任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数，由此能求
7、出任取2把能将该锁打开的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4【答案】D【解析】解：，因为回归直线经过样本中心，所以，解得，故选：D求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可本题考查回归直线方程的求法与应用，是基础题5【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：，0在个位，将2、3、5安排在千位、百位、十位，有个四位偶数，2在个位，千位不能为0，可以为3或5，有2种选择，剩下2个数字安排在百位、十位，有个四位偶数，则有个四位偶数，故选：B根据题意，个位数字为0或2，据此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案本题考查排列组合的应用，涉及分步计
8、数原理的应用，属于基础题6【答案】A【解析】【分析】根据函数在处有极小值，得到，解出关于的方程，再验证是否为极小值即可本题考查了函数在某一点取得极值的条件，属于中等题【解答】解：函数，又在处有极值，解得或6，又由函数在处有极小值，故，时，函数在处有极大值，故选A7【答案】B【解析】解：根据题意，对任意总有，则，即函数是周期为6的周期函数，则，又由是定义在上的奇函数，则，故，故选：B根据题意，分析可得，即函数是周期为6的周期函数，则有，由奇函数的性质可得答案本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的分析，属于基础题8【答案】D【解析】解：，设与相切的切点为，与曲线相切的切点为，则有公共切
9、线斜率为，又，可得，且，化为，设，当时，递增，当时，递减，则在处取得最小值，且为，由题意可得，解得，即故选：D分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到的范围本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题9【答案】BC【解析】解：对于A，函数与的解析式不同，表示相同函数；对于B，函数的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C，函数的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
10、对于D，函数的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是相同函数故选：BC根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数本题考查了函数的定义，判断两函数是否相同的方法是看解析式和定义域是否都相同10【答案】BD【解析】解：，则下列不等式中：不正确；正确；不正确；正确因此BD正确故选：BD利用不等式的基本性质即可判断出正误本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11【答案】ABD【解析】解：对于A若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的
11、5门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C若物理和历史不能同时选，选法总数为种；所以C正确；对于D若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理有且物理和历史不同时选，有种选法；选化学，不选物理，有种选法；物理与化学都选，有种选法，故总数为种，故D错误故选：ABDA若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；B若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；C若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；D若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误本题考查排列、组合及其简单的计数问
12、题，考查分析运算能力，属于中档题12【答案】ABD【解析】解：当时，其定义域为，或，；在上单调递增，在上单调递减，又因为，故C错误；且有当时，；当时，所以根据零点存在定理可得，此时函数有两个零点，故A正确；由上可得，时，函数在处取得极小值，故B正确；若函数只有一个零点，则方程只有一个正解，即只有一个正解，即只有一个正解，即得函数与直线只有一个交点，；，即得函数在上单调递增，在上单调递减，又因为当时，；当时，当且仅当时，函数与直线只有一个交点，故D正确故选：ABD根据函数零点的定义，借助函数导数判断函数单调性结合零点存在性定理，从而确定最后结论本题考查函数单调性与函数导数的关系，以及函数零点存在
13、性定理的使用，属于中档题13【答案】14【解析】解：，所以展开式中含的项的系数为：故答案为：14把按照二项式定理展开，可得展开式中含项的系数本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项展开式的通项公式，是基础题目14【答案】【解析】解：甲、乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为：故答案为：利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出两人中恰有一人晋级的概率本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题15【答案】4【解析】【分析】本题考查导数的几何
14、意义和基本不等式，要注意转化思想在解题中的应用，属于基础题先对函数求导数，然后利用基本不等式求最小值即可【解答】解：，（当且仅当时取等号）故答案为：416【答案】【解析】解：根据题意，要想在上有四个不同的零点，则当时和时各自都有两个零点，则当时，的两个根分别为，所以，解得；同时当时，则，即当，单调递增，当时，单调递减，即当时，在时取得最大值，所以，解得；综上的取值范围是，故答案为根据题意可判断出函数在与时各有两个零点，分别讨论即可本题考查根据函数零点个数求参数取值问题，涉及二次函数零点，利用导数求函数单调性等知识点，属于中档题17【答案】解：（1）时，集合，（2）时，“”是“”的必要不充分条件
15、，,得实数的取值范围是【解析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（1）时，集合利用集合运算性质即可得出（2）时，根据“”是“”的必要不充分条件，可得，即可得出18【答案】解：（1）记至少抽到1个红球的事件为，法1：至少抽到1个红球的事件，分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，每次是否取得红球是相互独立的，且每次取到红球的概率均为，所以至少抽到1个红球的概率为法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为3次均没有取到红球（或3次均取到白球），每次取到红球的概率均为，每次取到白球的概率均为，所以，至少抽到1个红球的概率为（
16、2）由题意，随机变量可能的取值为30，40，50，60，所以随机变量的分布表为：30405060所以随机变量的数学期望为（元）【解析】（1）记至少抽到1个红球的事件为A，法1：至少抽到1个红球的事件，分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，利用独立重复实验概率乘法求解即可；法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为3次均没有取到红球（或3次均取到白球），利用对立事件概率公式求解即可（2）由题意，随机变量可能的取值为30，40，50，60，求出概率得到分布列，然后求解期望本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的应用，考查运算求解能力、函数与方程思想等数学核心素
17、养，是中档题19【答案】解：（1）当时，；，由得，或，故所求的单调增区间为，；（2），在上是增函数，在上恒成立，即恒成立，（当且仅当时取等号）所以，当时，易知在上也是增函数，所以故的取值范围为【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于0即可；（2）已知在区间上是增函数，即在区间上恒成立，然后用分离参数求最值即可20【答案】解：（1）函数为奇函数证明如下：定义域为又，为奇函数（2）函数在为单调递增函数证明如下：任取，则，即故在上为增函数（3）由（1）、（2
18、）可得，解得：，原不等式的解集为【解析】（1）函数为奇函数，利用定义法能进行证明（2）函数在为单调递增函数，利用定义法能进行证明（3）由，得，由此能求出原不等式的解集本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题21【答案】解：（1）曲线可得，直线的斜率为：，可得：，令，可得，可得；令，可得，可得，；（2）时，取得最小值，可得，可得，此时可得的最小值为；【解析】（1）求的导函数，设出的坐标，确定过点的切线方程，进而可得，的坐标，表示出三角形的面积；（2）把代入，利用导数
19、研究的最值问题，即可确定（为坐标原点）的面积的最小值；本题考查导数知识的运用，解题的关键是确定切线方程，求出三角形的面积，利用导数法求最值，属于中档题22【答案】解：（1）当时，当时，恒成立，则在上单调递增，当时，若，则，函数单调递减，若，则，函数单调递增，在上单调递减，在单调递增；（2）不等式在上恒成立，设，恒成立，在上单调递增，即的取值范围是；（3），设，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，设，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，【解析】（1）当时，对分类讨论即可得出函数的单调性；（2）不等式在上恒成立，可得，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；（3），由，可得，设，利用导数研究函数的单调性可得，设，利用导数研究其单调性即可判断本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
