1、等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(3)若数列an，bn(项数相同
2、)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.4在等比数列an中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列(n为偶数且q1除外)概念方法微思考1将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数2任意两个实数都有等比中项吗？提示不是只有同号的两个非零实数才有等比中项3“b2ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件因为b2ac时不一
3、定有a，b，c成等比数列，比如a0，b0，c1.但a，b，c成等比数列一定有b2ac.1（2020新课标）设是等比数列，且，则A12B24C30D32【答案】D【解析】是等比数列，且，则，即，故选2（2020新课标）记为等比数列的前项和若，则ABCD【答案】B【解析】设等比数列的公比为，故选3（2019全国）ABCD【答案】D【解析】数列3，是首项为3，公比为的等比数列；且是第项；故选4（2019浙江）设，数列满足，则A当时，B当时，C当时，D当时，【答案】A【解析】对于，令，得，取，当时，故错误；对于，令，得或，取，当时，故错误；对于，令，得，取，当时，故错误；对于，递增，当时，故正确故选5
4、（2019新课标）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D2【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有，故选6（2020江苏）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列已知数列的前项和，则的值是_【答案】4【解析】因为的前项和，因为是公差为的等差数列，设首项为；是公比为的等比数列，设首项为，所以的通项公式，所以其前项和，当中，当公比时，其前项和，所以的前项和，显然没有出现，所以，则的前项和为，所以，由两边对应项相等可得：解得：，所以，故答案为：47（2020新课标）数列满足，前16项和为540，则_【答案】7【解析】由，当为奇数时，有，可得，累加可
5、得；当为偶数时，可得，可得，即故答案为：78（2019上海）已知数列前项和为，且满足，则_【答案】【解析】由，得，即，且，得：数列是等比数列，且故答案为：9（2019新课标）设为等比数列的前项和若，则_【答案】【解析】等比数列的前项和，整理可得，解可得，则故答案为：10（2019新课标）记为等比数列的前项和若，则【答案】【解析】在等比数列中，由，得，即，则，故答案为：11（2020北京）已知是无穷数列给出两个性质：对于中任意两项，在中都存在一项，使得；对于中任意一项，在中都存在两项，使得（）若，2，判断数列是否满足性质，说明理由；（）若，2，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由；（）若是递
6、增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等比数列【解析】（）不满足，理由：，不存在一项使得（）数列同时满足性质和性质，理由：对于任意的和，满足，因为，且，所以，则必存在，此时，且满足，性质成立，对于任意的，欲满足，满足即可，因为，且，所以可表示所有正整数，所以必有一组，使，即满足，性质成立（）首先，先证明数列恒正或恒负，反证法：假设这个递增数列先负后正，那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小，如仅有一项绝对值最小，此时必有一项，此时与前提矛盾，如有两项与 同时取得绝对值最小值，那么必有，此时，与前提条件矛盾，所以数列必然恒正或恒负，在数列恒正的情况下，由知，存在，且，因为是递增数列，使
7、得，即，所以，此时，成等比数列，数学归纳法：（1）已证时，满足是等比数列，公比，（2）假设时，也满足是等比数列，公比，那么由知等于数列的某一项，证明这一项为即可，反证法：假设这一项不是，因为是递增数列，所以该项，那么，由等比数列得，由性质得，同时，所以，所以，分别是等比数列中两项，即，原式变为，所以，又因为，不存在这组解，所以矛盾，所以知，为等比数列，由数学归纳法知，是等比数列得证，同理，数列恒负，也是等比数列12（2020天津）已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和【解析】（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，则
8、，可得，解得，；（）证明：法一：由（）可得，；法二：数列为等差数列，且，；（），当为奇数时，当为偶数时，对任意的正整数，有，和，由可得，得，因此数列的前项和13（2020海南）已知公比大于1的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）求【解析】（1）设等比数列的公比为，则，（2），14（2020新课标）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【解析】（1）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，可得，即，即为，解得舍去），所以的公比为；（2）若，则，则数列的前项和为，两式相减可得，化简可得，所以数列的前项和为15（2020山东）已知公比大于1的等比数列满
9、足，（1）求的通项公式；（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和【解析】（1），解得或（舍去），（2）记为在区间，中的项的个数，故，可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，由，可知，数列的前100项和16（2020新课标）设等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为数列的前项和若，求【解析】（1）设公比为，则由，可得，所以（2）由（1）有，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，解得，或（舍去），所以17（2020浙江）已知数列，满足，（）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（）若为等差数列，公差，证明：，【解析】（）由题意，整理，得，解得
10、（舍去），或，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，则，各项相加，可得（）证明：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，数列是一个常数列，且此常数为，又，故得证18（2020上海）已知各项均为正数的数列，其前项和为，（1）若数列为等差数列，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，求满足时的最小值【解析】（1）数列为公差为的等差数列，可得，解得，则；（2）数列为公比为的等比数列，可得，即，则，即为，即，可得，即的最小值为719（2019全国）数列中，（1）求的通项公式；（2）求满足的的最大值【解析】（1），又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，；（2）由（1）知，的最大值为920（2019浙
11、江）设等差数列的前项和为，数列满足：对每个，成等比数列（）求数列，的通项公式；（）记，证明：，【解析】（）设数列的公差为，由题意得，解得，数列满足：对每个，成等比数列，解得，解得，（）证明：，用数学归纳法证明：当时，不等式成立；假设，时不等式成立，即，则当时，即时，不等式也成立由得，21（2019新课标）已知数列和满足，（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式【解析】（1）证明：，；，；即，；又，是首项为1，公比为的等比数列，是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：，；，22（2019新课标）已知是各项均为正数的等比数列，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和
12、【解析】（1）设等比数列的公比为，由，得，即，解得（舍或；（2），数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列的前项和23（2019上海）已知数列，前项和为（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围【解析】（1），；（2），存在，存在，且，或，公比的取值范围为，1（2020兴庆区校级四模）等比数列中，则与的等比中项是AB4CD【答案】A【解析】，又与的等比中项是故选2（2020德阳模拟）已知等比数列中，则的值为A30B25C15D10【答案】A【解析】根据题意，等比数列中，设其公比为，若，则，则，则；故选3（2020南岗区校级模拟）已知数列是等比数列，则AB48C1
13、92D768【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由于，可得：，由于，可得：，可得，代入可得：，所以故选4（2020九龙坡区模拟）已知实数，成等比数列，则AB8CD16【答案】A【解析】根据题意，实数，成等比数列，则有，则，又由，则，则；故选5（2020南岗区校级四模）在等比数列中，则A16BC或D16或1【答案】D【解析】根据题意，设等比数列的公比为，若，则有，解可得或，若，则，若，则，故或1；故选6（2020鼓楼区校级模拟）已知正项等比数列的首项和公比相等，数列满足，且，则A4B32C108D256【答案】D【解析】正项等比数列的首项和公比相等，故；由题可得：；，；，故选7（2020碑林区
14、校级模拟）在等比数列中，则ABCD【答案】A【解析】在等比数列中，解得，故选8（2020榆林四模）已知数列为等比数列，若，则AB25CD5【答案】D【解析】设等比数列的公比为，解得故选9（2020香坊区校级一模）设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为A63B64C127D128【答案】A【解析】根据题意，正项递增等比数列中，即，则，又由，则，解可得或，又由数列为正项递增等比数列，则；又由，则，则；故选10（2020安徽模拟）等差数列的首项为5公差不等于零若，成等比数列，则ABCD【答案】D【解析】等差数列的首项为5，公差不等于零，若，成等比数列，则，即为，解得，则故选11（2020道里区校
15、级模拟）设公比为3的等比数列的前项和为，若，则A3B9C27D81【答案】C【解析】公比为3的等比数列的前项和为，解得，故选12（2020靖远县模拟）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是AB2CD【答案】D【解析】在等差数列中，由，得，即，在等比数列中，由，得，即，则故选13（2020道里区校级模拟）设公比为3的等比数列前项和为，且，则A3B9C27D81【答案】C【解析】根据题意，等比数列公比为3，且，即，则；故选14（2020永康市模拟）已知数列满足，则数列的前10项和为A48B49C50D61【答案】D【解析】由，当时，可得，则故选15（2020全国四模）在等比数列中，则数列
16、前7项的和A253B254C255D256【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，故，故选16（2020吉林四模）已知，则ABCD【答案】C【解析】，则故选17（2020吉林模拟）已知等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和【解析】（1）设数列的公比为，则，解得，所以（2）数列是首项为，公差为的等差数列，所以，得到，数列的前项和18（2020武汉模拟）已知等比数列是递增的数列，且前项和为，又，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）令，求【解析】（1）设公比为的等比数列是递增的数列，且前项和为，又，成等差数列所以，解得，由于数列是递增的数列，所
17、以所以（2）由（1）得，当时，所以当时，故19（2020道里区校级一模）已知数列的前项和为，且，（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式与前项和【解析】（1），又，数列是首项、公比均为的等比数列，且；（2）由（1）知：，又，两式相减得：，20（2020镜湖区校级模拟）已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前项和【解析】（）设等比数列的公比为因为关于的不等式的解集为，所以，又易知，得，所以，解得或（舍所以数列的通项公式为（）由（1）可得，因为，所以，所以数列的前项和21（2020东湖区校级三模）已知数列，满足，对任意均有，（
18、1）证明：数列和数列均为等比数列；（2）设，求数列的前项和【解析】（1）证明：由，可得，对任意均有，可得，则数列是首项和公比均为2的等比数列；数列为首项为1，公比为2的等比数列；（2），可得，上面两式相减可得，化简可得22（2020天津二模）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求；（3）设，求数列的前项和【解析】（1）等差数列的公差设为，解得，所以，；对数列，当时，；当时，上式对也成立所以，；（2），所以（3）因为，所以，而，设数列的前项和为，数列的前项和为，则，上面两式相减可得，化简可得当为偶数时，；当为奇数时，；综上可得所以数列
19、的前项和为23（2020唐山二模）已知等比数列的各项均为正，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【解析】（1）设数列的公比为，依题意有，（3分）两式相比，整理得，解得或（5分）因为的各项均为正，所以，所以（6分）（2），（8分）所以（12分）24（2020内江三模）已知数列是等差数列，且满足，是与的等比中项（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和【解析】（1）设等差数列的公差为，由题设可得：，解得：，；（2）由（1）知：，由可得：，25（2020运城模拟）已知数列满足，前项和为（1）求，；（2）设，求数列的前项和【解析】（1）因为，所以，两式相减得，所以，所以
20、数列是等差数列，中令，得，又，所以数列的公差，（2），所以26（2020梅河口市校级模拟）已知正项数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和【解析】（1）正项数列的前项和为，且当时，解得当时，得，由于，所以（常数）所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列所以（2）数列满足所以27（2020武汉模拟）若等比数列的前项和为，满足，（1）求数列的首项和公比；（2）若，求的取值范围【解析】（1），显然公比，解可得，（2）由（1）可得，即，解可得，28（2020南京模拟）设首项为的正项数列的前项和为，为非零常数，已知对任意正整数，总成立（）求证：数列是等比数列；（）若不等
21、的正整数，成等差数列，试比较与的大小；（）若不等的正整数，成等比数列，试比较与的大小【解析】（）因为对任意正整数，总成立，令，得，则令，得（1），从而（2），（2）（1）得，综上得，所以数列是等比数列（）正整数，成等差数列，则，所以，则当时，当时，当时，（）正整数，成等比数列，则，则，所以，当，即时，当，即时，当，即时，29（2019安徽二模）已知等比数列，公比，5为，的等差中项（1）求数列的通项；（2）若，且，求的值【解析】（1）等比数列，公比，5为，的等差中项，解得，（2），令，则，相减，得：，解得30（2019怀柔区一模）设是首项为1，公比为3的等比数列（）求的通项公式及前项和；（）已知
22、是等差数列，为前项和，且，求【解析】（）由题意可得，（），31（2019广西二模）已知数列中，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和【解析】（1），数列是以2为公比的等比数列，（2）由（1）知，数列是等比数列，且，首项为，数列的前项和32（2018邯郸二模）已知数列的前项和为，且满足，2，（1）求证：为等比数列；（2）数列中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由【解析】（1），时，可得：，化为：，时，为等比数列，首项为2，公比为2（2）解：由（1）可得：，可得可知：数列单调递增假设数列中存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是，是等差数列，化为：
23、而左边为偶数，右边为奇数因此不成立，故假设不成立因此数列中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列33（2018鄂伦春自治旗二模）设为数列的前项和，已知，（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断，是否成等差数列？【解析】（1），是首项为2公比为2的等比数列（2）解：由（1）知，即，成等差数列34（2018广西二模）已知公差不为0的等差数列的前项和，成等差数列，且、，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，成等比数列，求及此等比数列的公比【解析】（1）设等差数列的公差为，成等差数列，且、，成等比数列，即，可得，（2）由（1）可得：，成等比数列，化为：，解得此等比数列的公比3
24、5（2018亭湖区校级模拟）已知数列中，（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数【解析】（1）设，因为分若数列是等比数列，则必须（常数），即，即分此时，所以存在实数，使数列是等比数列分（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，故，即分由得，分所以，分显然，当时，单调递减，又当时，当时，所以当时，；同理，当且仅当时，综上，满足满足的所有正整数为1和分36（2017双流县校级一模）已知数列的前项和满足（1）求证：数列为等比数列；（2）设函数，求【解析】（1）因为，所以， 所以，所以，又，所以 所以数列为首项为，公比为
25、的等比数列（2）因为，所以因为，所以37（2017淮安二模）设数列的前项和为，且满足：；，其中，且（1）求的值；（2）数列能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当时，数列是等差数列【解析】（1）时，其中，且又，解得（2）设，化为：，联立解得，（不合题意），舍去，因此数列不是等比数列（3）证明：时，化为：，假设数列的前项成等差数列，公差为则，化为，因此第项也满足等差数列的通项公式，综上可得：数列成等差数列38（2017包头一模）已知数列的前项和为，且（1）求，的值；（2）设，证明数列为等比数列，并求通项公式【解析】（1）数列的前项和为，且时，由，解得，时，由，得，时，由，得（2），两式相减，得，把及，代入式，得，且，数列是以6为首项，2为公比的等比数列，39（2016湖北校级三模）已知数列的前项和，数列满足，（）求数列的通项公式；（）是否存在正实数，使得为等比数列？并说明理由【解析】（）由，得到，数列为等差数列，（）由题设，两式相除可得，即和都是以4为公比的等比数列因为，所以，由及，可得，又，所以所以，即，则，因此存在，使得数列为等比数列
