1、第9节 函数模型及其应用考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知 识 梳 理 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性 单调_ 单调_ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与_平行 随x的增大逐渐表现为与_平行 随n值变化而各有不同 递增递增y轴x轴2.几种常见的函数模型 函数模型 函数
2、解析式 一次函数模型 f(x)axb(a、b为常数，a0)二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)与指数函数相关的模型 f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与对数函数相关的模型 f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关的模型 f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)常用结论与微点提醒 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量
3、的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数 y2x 的函数值比 yx2 的函数值大.()(3)不存在 x0，使 ax0 xn01)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)的增长速度.()解析(1)9 折出售的售价为 100(110%)91099(元).每件赔 1 元，(1)错.(2)中，当x2时，2xx24.不正确.(3)中，如 ax012，n14，不等式成立，因此(3)错.答案(
4、1)(2)(3)(4)2.(老教材必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，y最适合的拟合函数是()A.y2xB.yx21 C.y2x2D.ylog2x 解析 根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意.答案 D x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 3.(新教材必修第一册P149例4改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡
5、生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11 解析 设该死亡生物体内原有的碳 14 的含量为 1，则经过 n 个“半衰期”后的含量为12n，由12ng(x)h(x)B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x)解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x(4，)时，增长速度大小排列为g(x)f(x)h(x).答案 B 答案 8 11 5.(多填题)(2018浙江卷)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今
6、有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为 x，y，z，则xyz100，5x3y13z100，当 z81 时，x_，y_.解析 把 z81 代入方程组，化简得xy19，5x3y73，解得 x8，y11.6.(多填题)(2019北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x10时
7、，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_.解析(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为6080140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x10时，顾客需要支付14010130(元).(2)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120 x)元，所以(120 x)80%1200.7，所以x15.即x的最大值为15.答案(1)130(2)15 考点一 利用函数的图象刻画实际问题【
8、例1】(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.答案 A 规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合
9、实际的情况，选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.【训练1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是()解析 由题意知，水深h越大，水的体积v就越大.当h0时，v0，故可排除A，C；当h0，H时，不妨将水“流出”设想为“流入”.每当h增加一个单位增量h时，根据鱼缸形状可知，函数v的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故vf(h)的图象是先凹后凸的，故选B.答案 B 考点二 已知函数模型求解实际问题【例 2】为了降低能源损耗
10、，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.解(1)当x0时，C8，k40，C(x)403x5(0 x10)，f(x)6x20403x5 6x 8003x5(0 x10).(2)由(1)得 f(x)2(3x5)800
11、3x510.令 3x5t，t5，35，则 y2t800t 1022t800t 1070(当且仅当 2t800t，即 t20 时等号成立)，此时x5，因此f(x)的最小值为70.隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.【训练2】(2019全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面
12、软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1（Rr）2M2r2(Rr)M1R3.设 rR.由于 的值很小，因此在近似计算中33345（1）2 33，则 r 的近似值为()A.M2M1RB.M22M1RC.3 3M2M1 RD.3M23M1R 解析 由 rR，得 rR，代入M1（Rr）2M2r2(Rr)M1R3，整理得33345（1）2
13、M2M1.又33345（1）2 33，即 33M2M1，所以 3M23M1，故 rR3M23M1R.答案 D 考点三 构建函数模型的实际问题多维探究 角度1 构建二次函数、分段函数模型【例 31】(2020济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本 2 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 W(x)万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)13x22x.在年产量不小于 8 万件时，W(x)7x100 x 37.每件产品售价 6 元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出
14、年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元.依题意得 当 0 x8 时，P(x)6x13x22x 213x24x2，当 x8 时，P(x)6x7x100 x 37 235x100 x.故 P(x)13x24x2，0 x8，35x100 x，x8.此时，当x6时，P(x)取最大值，最大值为10万元.当 x8 时，P(x)35x100 x352x100 x 15(2)当 0 x8 时，P(x)13(x6)2
15、10.当且仅当x100 x，即x10时，取等号.此时，当x10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元.因为1015，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.角度2 构建指数(对数)型函数模型【例 32】一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1)，则 a(1x)1012a，即
16、(1x)1012，解得 x112110.故每年砍伐面积的百分比为 112110.(2)设经过 m 年剩余面积为原来的 22，则 a(1x)m 22 a，把 x112110代入，整理得12m101212，即m1012，解得 m5.故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年.规律方法 1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：(1)分段要简洁合理，不重不漏；(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.2.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数
17、据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.【训练3】(1)(角度1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元 C.43万元D.43.025万元(2)(角度2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PAlg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法：
18、PA1；若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5PA5.5(注：lg 20.3).则正确的说法为_(写出所有正确说法的序号).(3)(角度2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2020年B.2021年 C.2022年D.2023年 解析(1)设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地
19、销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润 y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x10.5)20.110.5232.因为x0，16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元.(2)当nA1时，PA0，故错误.若PA1，则nA10；若PA2，则nA100，故错误.设B菌的个数为nB5104，nA 101051042105，则 PAlg(nA)5lg 2.又 lg 20.3，因此 5PA200.两边取对数，得nlg1.12lg 2lg 1.3，所以 nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.05195，又nN*，所以n4，所以从2023年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.答案(1)C(2)(3)D
