1、第3节 函数的奇偶性与周期性考试要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理 f(x)f(x)1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是偶函数 关于_对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是奇函数 关于_对称 y轴f(x)f(x)原点2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就
2、称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_正周期.f(xT)f(x)存在一个最小最小常用结论与微点提醒 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0).(2)若 f(xa)1f（x），则 T2a(a0).
3、(3)若 f(xa)1f（x），则 T2a(a0).(4)若 f(xa)f(x)c，则 T2a(a0，c 为常数).3.函数周期性常用结论 4.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数 yx2在 x(0，)时是偶函数.()(2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)0.()(3)
4、若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期.()(4)若函数 f(x)满足关系 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于点ab2，0 对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是()A.yx2sin xB.yx2cos x C.y|ln x|D.y2x 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；
5、B选项为偶函数；C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.答案 B 答案 1 3.(老教材必修 4P46A10 改编)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _.解析 由题意得，f32 f12 412221.4.(2020济南一中月考)已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A.13B.13C.12D.12 解析 由题意，得 b0，且 2a(a1)，解得 a13，则 ab13.答案 B 5.(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，
6、则当x0时，f(x)()A.ex1B.ex1 C.ex1D.ex1 解析 由题意知，当x0时，f(x)f(x)(ex1)ex1.答案 D 6.(2020衡水中学调研)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x2)f(x)，当x0，1时，f(x)ex1，则f(2 017)f(2 018)_.解析 由f(x2)f(x)可知，函数f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，f(2 017)f(2 018)f(2 0161)f(0)f(1)f(0)f(1)f(0)e1.答案 e1 考点一 函数的奇偶性及其应用 多维探究 角度1 函数奇偶性的判断【例11】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2 x23；
7、(2)f(x)x2x，x0；(3)f(x)log2(x x21).因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.解(1)由3x20，x230，得 x23，解得 x 3，即函数 f(x)的定义域为 3，3，从而 f(x)3x2 x230.(2)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0 且 a1)，则函数 f(x)的奇偶性()解析(1)f(x)2ax1b2axax1bf(x)，所以f(x)一定不是偶函数；设f(x)为奇函数，则由奇函数的定义知f(x)f(x)0.即2axax1b2ax1b2（ax
8、1）ax12b22b0，解得 b1，即当b1时，f(x)为奇函数，当b1时，f(x)为非奇非偶函数，所以f(x)的奇偶性与a无关，但与b有关.(2)由于f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得2ax3x0(xR)，则2a30，解得 a32.答案(1)D(2)32考点二 函数的周期性及其应用【例 2】(1)已知函数 f(x)对任意 xR，都有 f(x2)f(x)，当 x(0，)时，f(x)2sin x2，则 f193()A.12B.32C.1 D.3(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，且当 x(1，4时，f(x)3x1，则 f(1)f(2
9、)f(3)f(100)_.解析(1)因为f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为2.所以 f193 f63 f233 f3，又因为当 x(0，)时，f(x)2sin x2，所以 f3 2sin 61.(2)由题意，得f(1)f(4)11，f(2)5，f(3)8.故f(1)f(2)f(3)24，所以f(1)f(2)f(3)f(100)33f(1)f(2)f(3)f(3331)803.答案(1)C(2)803 规律方法 1.注意周期性的常见表达式的应用.2.根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函
10、数，且当0 x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.【训练 2】(1)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)2 3，且对任意的 x 都有 f(x2)1f（x），则 f(2 020)_.(2)因为当0 x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个.解析(1)由 f(x2)1f（x），得 f(x4)1f（x2）f(x)，所以函数 f(x)的周期为 4，所以 f(2 020)f(4
11、).又 f(2)2 3，所以 f(4)1f（2）12 32 3.故 f(2 020)2 3.答案(1)2 3(2)7考点三 函数性质的综合运用 多维探究 角度1 函数的单调性与奇偶性【例31】(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bcf(2x1)成立的 x 的取值范围为_.解析(1)易知g(x)xf(x)在R上为偶函数，奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)0.g(x)在(0，)上是增函数.又3log25.1220.8，且ag(log25.1)g(log
12、25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.(2)由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|).当 x0 时，f(x)ln(1x)11x2，因为 yln(1x)与 y11x2在(0，)上都单调递增，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增.由f(|x|)f(|2x1|，可得|x|2x1|，两边平方可得 x2(2x1)2，整理得 3x24x10，解得13xf(x2)的形式，再结合单调性，脱去法则“f”变成常规不等式，如x1x2)求解.角度2 函数的奇偶性与周期性【例32】(1)(2020德州联考)已知定义在R
13、上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x2，则f(2 023)()(2)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3a1，则实数 a的取值范围为()A.(1，4)B.(2，0)C.(1，0)D.(1，2)A.20192B.1C.0D.1 解析(1)根据题意，函数f(x)满足f(x2)f(x)，则有f(x4)f(x2)f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 023)f(12 024)f(1)，又函数yf(x)为奇函数，且x0，1时，f(x)x2，则f(1)f(1)1，故f(2 023)1.(2)因为 f(x)是定义在 R
14、 上的以 3 为周期的偶函数.f(5)f(1)f(1)1.从而2a3a1 1，解得1a4.答案(1)D(2)A 规律方法 1.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.【训练3】(1)(角度1)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(ln x)f(2)，则x的取值范围是()A.(0，e2)B.(e2，)C.(e2，)D.(e2
15、，e2)(2)(角度2)已知奇函数f(x)的图象关于直线x3对称，当x0，3时，f(x)x，则f(16)_.解析(1)根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，则f(ln x)f(2)|ln x|2，即2ln x2，解得e2x3的解集为()A.(，2)(2，)B.(，4)(4，)C.(2，2)D.(4，4)解析 由题意，f(0)log22b0，解得b1.所以f(x)log2(x2)x1，f(2)3，且在R上单调递增，又|f(x)|3，所以|f(x)|f(2)，即f(x)f(2)或f(x)2或x1，即m1时，f(m2)f(x1)f(3x)，则有m23x对x1，0恒成立，则1m1，由以上知
16、，实数m的取值范围是3，1.答案 A【例4】函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 020)f(2 021)f(2 022)的值为_.解析 因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数yf(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，所以f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 021)f(50541)f(1)4，所以f(2 020)f(2 022)f(2 020)f(2 0202)f(2 020)f(2 020)f(2 020)f(2 020)0，所以f(2 020)f(2 021)f(2 022)4.答案 4