1、1.2.1任意角的三角函数 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba复习回顾O a b MP c 条件：在直角三角形中为了讨论问题的方便，我们今后都在直角坐标系中讨论角，那么你能用坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？已经角是一个锐角，为了方便计算，这里引进1个单位圆(圆心为原点，半径为1)；角的终边与单位圆交于P(a,b)XYoP(a,b)M 1OMaMPbOP；|sin|MPOP|cos|OMOP|tan|MPOM baba已经角是一个锐角，为了方便计算，这里引进1个单位圆(圆心为原点，半径为1)；角的终边与单位圆交与P(a,b)XYoP(a,b)M 1
2、OMaMPbOP；|sin|MPOP|cos|OMOP|tan|MPOM baba锐角 的三角函数可以用 终边与单位圆的交点坐标来表示 如果角 是任意的角,它的三角函数也可以用终边与单位圆交点的坐标来表示。设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y).MAoyxy叫 的正弦：;siny;cosxx叫 的余弦：tan.yx 叫 的正切：yx 我们把正弦、余弦,正切,都看成是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上三种函数统称三角函数(,)P x y(x0)解:在直角坐标系中,作 31(,).22B35sin;32 51cos;32 5tan3.3 BAoyx例1：求 的正弦、余弦和正切值
3、.535,3AOB则AOB的终边与单位圆的交点坐标为 练习1：利用三角函数的定义求 的三个三角函数值.(课本P15 第1题)76oyx解:在直角坐标系中,作 31(,).22B 71sin;62 37cos;62 37tan.63 7,6AOB则AOB的终边与单位圆的交点坐标为 B 探究:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?三角函数的值与点P(x,y)在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.点P到原点O的距离 22rxy1sin1y22yxy;yroyx111(,)P x y1M(,)P x yM1cos1x 22xxy;xr11tanyx.yx解:x
4、-3,y-4,22(3)(4)5.r 44sin;55yr 33cos;55xr 44tan.33yxOyx0P例2：已知角 的终边经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值 练习2：已知角 的终边过点P(-12,5),则 sin_;cos_;tan_.5131213512练习3：已知角 的终边上有一点P(-4a,3a)(a0),则2sin+cos 的值是()22A.B.5522C.D.55或不确定C225|5|raasin,cos,tan.yxyrrx探究1：三角函数的定义域sin cos tanyyxx三角函数 定义域 sin cos tan R R,2|Zkk探究2：根据三角函数
5、的定义,研究三角函数值在各个象限的符号-+sin cos tanyyxx-+sincostany O x O x y O x y 一全正、二正弦、三正切、四余弦 例3:求证:当且仅当下列不等式组成立时,角为第三角限角 sin0,tan0.证明:如果式都成立,那么 为第三象限角.因为式都成立,所以 角的终边只能位于 第三象限.于是 为第三象限角 又若tan 0,那么 角的终边可能位于第一或第三象限.若sin 0,那么 角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上 公式作用:可以把求任意角的三角函数值.转化为求0到2(或0至360)角的三角函数值.终边相同的角的同一三角函数值相等s
6、in2sincos2costan2tan.kkkkZ公式一例5:求下列三角函数值 9111 sin1480 10;2 cos;3 tan.46:1 sin1480 10 解sin 40104 360 sin40100.645 92 cos 4 cos242cos 42 113 tan6tan263tan 63 yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终边的终边的终边的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()下面从图形角度认识一下三角函数角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|三角函数线思考为了去
7、掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终边的终边的终边的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|当角的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sin 有向线段MP叫角的正弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终边的终边的终边的终边A
8、(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|当角的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.OM=x=cos 有向线段OM叫角的余弦线你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一样的线段来表示角的正切吗?思考TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终边的终边的终边的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与的终边或其反向延长线相交于点T.tanMPOM ATyATOAx有向线段AT叫角的正切线 这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTM OP的终边A(1,0)当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角的正切值不存在.xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()