1、第9讲抛物线(一)1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径1抛物线y2x2的准线方程为()Ay ByCy Dy1答案A解析由
2、y2x2，得x2y，故抛物线y2x2的准线方程为y，故选A.2(2020全国卷)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2 B3 C6 D9答案C解析设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|xA12，即912，解得p6.故选C.3(多选)过点P(2,3)的抛物线的标准方程可以是()Ay2x By2xCx2y Dx2y答案AD解析设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2,3)，解得k，m，所以y2x或x2y，选AD.4O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2
3、C2 D4答案C解析利用|PF|xP4，可得xP3，yP2.SPOF|OF|yP|2.故选C.5(2022河北邯郸月考)设P是抛物线y24x上的一个动点，F是抛物线的焦点若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_.答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.6若点P到点F(0,2)的距离比点P到直线y40的距离小2，则点P的轨迹方程为_.答案x28y解析由题意可知，点P到点F(0,2)和点P到直线y2的距离相等，即动点P在以F(0，2)为焦点，以y2为准线的抛物线上，从而2，即p
4、4，点P的轨迹方程为x28y.考向一抛物线的定义及标准方程例1(1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x5的距离小1，则点M的轨迹方程是()Ax4 Bx4Cy28x Dy216x答案D解析点M到F(4,0)的距离比它到直线x5的距离小1，点M到F的距离和它到直线x4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y216x.(2)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_.答案x24y解析因为FPM为等边三角形，则|PM|PF|，由抛物线的定义得PM垂直
5、于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线的方程为x24y.(3)(2021北京高考)已知抛物线C：y24x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|6，则M的横坐标是_；作MNx轴于N，则SFMN_.答案54解析因为抛物线的方程为y24x，故p2且F(1,0)因为|FM|6，所以xM6，解得xM5，故yM2，所以SFMN(51)24. 抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2ax(a0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y22px或y22px(p0)，
6、这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2ay(a0)1.动圆与定圆A：(x2)2y21外切，且和直线x1相切，则动圆圆心的轨迹是()A直线 B椭圆C双曲线 D抛物线答案D解析设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x2)2y21的圆心的距离等于r1，而动圆的圆心到直线x1的距离等于r，所以动圆到直线x2的距离为r1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线，故选D.2设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，MF5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y
7、216x答案C解析抛物线C：y22px(p0)的焦点F，设M(x0，y0)，由抛物线的定义，知|MF|x05，得x05，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为，而圆的半径为，于是得该圆与y轴相切于点(0,2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M，从而有422p，整理得p210p160，解得p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x.多角度探究突破考向二与抛物线有关的最值问题角度到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题例2(1)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0) BC(1，) D(2,2)答
8、案D解析过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M(2，2)(2)(2021邢台模拟)已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是_.答案5解析依题意，由点M向抛物线x24y的准线l：y1引垂线，垂足为M1，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心C(1,5)到直线y1的距离再减去圆C的半径，即等于615，因此|MA|MF|的最小值是5.角度到定直线的距离最小问题例3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24
9、x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2 C D3答案B解析由题意可知l2：x1 是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，如图所示，所以最小值是2. 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决3.在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点
10、的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2,1) B(1,2)C(2,1) D(1,2)答案B解析如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义，知|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B.4已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B C2 D1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y
11、轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.考向三抛物线的几何性质例4(1)(2020全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A. BC(1,0) D(2,0)答案B解析因为直线x2与抛物线y22px(p0)交于D，E两点，且ODOE，不妨设点D在第一象限，根据抛物线的对称性可得DOxEOx，所以D(2,2)，代入y22px，得44p，解得p1，所以其焦点坐标为.故选B.(2)(2021新高考卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p0)的
12、焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP.若|FQ|6，则C的准线方程为_.答案x解析解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得P，所以kOP2，又PQOP，所以kPQ.所以直线PQ的方程为yp.令y0，得xp.所以|FQ|p2p6，所以p3，所以C的准线方程为x.解法二：由题易得|OF|，|PF|p，|PF|2|OF|FQ|，即p26，解得p3或p0(舍去)，所以C的准线方程为x. (1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现
13、了数形结合思想解题的直观性5.A是抛物线y22px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是()Ax1 By1Cx2 Dy2答案A解析过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为OFA120，所以ABF为等边三角形，所以|BF|AF|4，DBF30，从而p|DF|2，因此抛物线的准线方程为x1，故选A.6(2021福州三模)如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材
14、料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为2 m，灶深CD为0.5 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为()A3 m B1.5 m C1 m D0.75 m答案B解析由题意建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合设抛物线的方程为y22px(p0)，由题意可得A，将A点坐标代入抛物线的方程可得，32p，解得p3，所以抛物线的方程为y26x，焦点坐标为，所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为1.5 m故选B.一、单项选择题1(2021枣庄二模)已知点(1,1)在抛物线C：y22px(p0)上，则C的焦
15、点到其准线的距离为()A. B C1 D2答案B解析由点(1,1)在抛物线上，易知12p，p，故焦点到其准线的距离为.故选B.2(2021新高考卷)抛物线y22px(p0)的焦点到直线yx1的距离为，则p()A1 B2 C2 D4答案B解析抛物线的焦点坐标为，其到直线xy10的距离为d，解得p2(p6舍去)故选B.3已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2 C4 D8答案A解析由题意知抛物线的准线方程为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01.故选A.4(2021人大附中模拟)聚光式太阳灶(如图1)广泛应用于我
16、国西部农村地区其轴截面图(如图2)中，点F为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点A与焦点F关于其外沿所在的平面对称已知A，F两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径(外沿所在圆的直径)大约为()A1.2米 B1.4米C1.6米 D1.8米答案B解析建立坐标系，使得抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，设抛物线方程为y22px(p0)，由A，F两点间的距离为0.5米，得0.5，所以p1，所以y22x.因为AF中点的横坐标为，即x，y2，所以y，所以弦长|BC|1.4(米)，最大口径就是BC的长，故选B.5设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的
17、重心，则|F|的值为()A1 B2 C3 D4答案C解析由题意可知，点F的坐标为，又F为ABC的重心，故，即xAxBxC.又由抛物线的定义可知|xAxBxC3.故选C.6(2020北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线()A经过点O B经过点PC平行于直线OP D垂直于直线OP答案B解析如图所示，因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知|PQ|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.7(2021重庆模拟)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，M(5，y0
18、)为抛物线C上一点，以M为圆心的圆M与准线l相切，且过点E(9,0)，则抛物线的方程为()Ay24x By22xCy236x Dy24x或y236x答案D解析由抛物线的定义知，圆M经过焦点F，点M的横坐标为5，由题意，当E，F不重合时，M是线段EF垂直平分线上的点，5，p2，抛物线C的方程为y24x；当E，F重合时，9，p18，抛物线C的方程为y236x.故选D.8抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线的方程为()Ay26x By28xCy216x Dy2答案B解析设M(x，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，所
19、以|MF|2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以yp，又MFO的面积为4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.故选B.9圆O：x2y2r2与抛物线：y24x交于A，B两点，与的准线交于C，D两点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为()A2 B4 C8 D16答案C解析因为CD在准线上，根据矩形的对称性可得AB过焦点F，则|AF|DA|且AFx轴，所以A(1，2)，故|AF|DA|2，从而|AB|4，故矩形的面积为248.故选C.10已知曲线C由抛物线y22x及抛物线y22x组成，A(1,2)，B(1,2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不
20、共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为()A2 B1C3 D4答案B解析设抛物线y22x的焦点为F，则四边形ABNM的周长l|AB|2|AM|2xM22|AM|2|MF|112|AF|1，当A，M，F共线时取等号故选B.二、多项选择题11已知点A(2,4)在抛物线y22px(p0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是()A抛物线的准线方程为x2B抛物线的焦点坐标为(2,0)C点B的坐标为(2，2)DOAB的面积为8答案ABD解析将A(2,4)代入抛物线方程可得p4，因此抛物线方程为y28x，所以准线方程为x2，焦点坐标为(2
21、,0)，故A，B正确；易知AFx轴，所以B(2，4)，故C错误；又因为|AB|8，所以SOAB828，故D正确故选ABD.12(2022湖南郴州高三检测)已知F是抛物线C：y216x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()AC的准线方程为x4B点F的坐标为(0,4)C|FN|12DONF的面积为16(O为坐标原点)答案ACD解析如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F，作MBl于点B，NAl于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x4，点F的坐标为(4,0)，则|AN|4，|FF|8.在直角梯形ANFF中，中位线|MB|6，由抛物线的定义有|M
22、F|MB|6，结合题意，有|MN|MF|6，故|FN|MF|MN|6612，|ON|8，SONF8416.故选ACD.三、填空题13已知A(2,0)，B为抛物线y2x上一点，则|AB|的最小值为_.答案解析设点B(x，y)，则xy20，所以|AB|.所以当x时，|AB|取得最小值，且|AB|min.14.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C，F两点，则_.答案1解析依题知C，F，因为点C，F在抛物线上，所以两式相除得2210，解得1或1(舍去)15.如图，圆锥底面半径为，体积为，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直
23、径，E是母线PB的中点，已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以点E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于_.答案1解析由Vr2h()2PO，得PO，则PB2，OE1，OCOD.以E为坐标原点，OE所在直线为x轴，过E点与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(1，)设抛物线的方程为y22px(p0)，()22p(1)，解得p1，故焦点到其准线的距离等于1.16(2022江苏淮安诊断考试)抛物线C：y24x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(1,0)，则的最小值为_；当取得最小值时，直线AP的方程为_.答案xy10或xy10解析设点P的坐标为(4t2,4
24、t)，F(1,0)，A(1,0)，|PF|2(4t21)216t216t48t21，|PA|2(4t21)216t216t424t21，21111，0，的最小值为，当且仅当16t2，即t时，取得最小值，此时点P的坐标为(1,2)或(1，2)直线AP的方程为y(x1)，即xy10或xy10.四、解答题17(2020全国卷)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程解(1)F(c,0)，
25、ABx轴且与椭圆C1相交于A，B两点，则直线AB的方程为xc，联立解得则|AB|.抛物线C2的方程为y24cx，把xc代入y24cx，得y2c，|CD|4c.|CD|AB|，即4c，2b23ac.又b2a2c2，2c23ac2a20，即2e23e20，解得e或e2，0e1，e，椭圆C1的离心率为.(2)由(1)知a2c，bc，椭圆C1的方程为1，联立消去y并整理得3x216cx12c20，解得xc或x6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|cc5，解得c3.曲线C1的标准方程为1，曲线C2的标准方程为y212x.18已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方
26、的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解(1)抛物线y22px的准线方程为x，于是45，p2.抛物线的方程为y24x.(2)由题意，得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA，MNFA，kMN，直线FA的方程为y(x1)，直线MN的方程为y2x，联立，解得x，y，点N的坐标为.19.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾
27、斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)因为点P(1,2)在抛物线上，所以222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA(x11)，kPB(x21)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以，所以y12(y22)所以y1y24.由得，yy4(x1x2)，所以kAB1(x1x2)20(2022湖北武汉入学考试)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于
28、A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程解(1)证明：由题知F.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R，.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题设可得2|ba|，所以x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合所以所求轨迹方程为y2x1.