1、知能专练(十五)圆锥曲线的综合问题A卷全员必做1(2013新课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2 D42(2013广东茂名二模)已知椭圆1及以下3个函数：f(x)x；f(x)sin x；f(x)cos x其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有()A1个 B2个C3个 D0个3(2013武汉调研)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点若8a，则双曲线的离心率的取值范围是()A(1,2 B2，)C(1,3 D3，)4(2013郑州质量预测)已知抛物线x24y上有一条长为6的
2、动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B.C1 D25(2013苏州质检)过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A，B.若AOB120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为_6(2013上海普陀一模)若C(，0)，D(，0)，M是椭圆y21上的动点，则的最小值为_7.如图，正方形ABCD内接于椭圆1(ab0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且点A，M都在第一象限(1)若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2.求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的离心率为
3、e，直线AM的斜率为k，求证：2e2k是定值8(2013新课标全国卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1 (ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值9在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由10.(2013南京一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭
4、圆C：1(ab0)的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上B卷强化选做1已知椭圆：1(ab0)的长轴长为4，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点若，点N为线段AB的中点，C，D，求证：|NC|ND|2.2在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，B(，0)，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为.(1)求动点E的轨迹C的方程； (2)设过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的两点
5、M，N.若点P在y轴上，且|PM|PN|，求点P的纵坐标的取值范围3.如图，F是椭圆的右焦点，以点F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆上的动点，P到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l的方程为x4，PMl，垂足为M，是否存在点P，使得FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由4已知椭圆C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点(1)如图1，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2MF1，求点M到y轴的距离；(2)如图2，直线l：ykxm与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形，求
6、m的取值范围答 案知能专练(十六)A组1选C由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线定义知|PF|PM|，又|PF|4，所以xP3，代入抛物线方程求得yP2，所以SPOF|OF|yP2.2选B要使函数yf(x)的图像能等分该椭圆的面积，则f(x)的图像应该关于椭圆的中心O对称，即f(x)为奇函数，和均满足条件3选C设|PF2|y，则(y2a)28ay(y2a)20y2acae3.4选D由题意知，抛物线的准线l：y1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1.则|MM1|.|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，|AA1|B
7、B1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故M到x轴的距离d2.5解析：设双曲线C的一个焦点为F，则过点F作圆的两条切线，依题意得AOF60，cos 60，则双曲线的离心率e2.答案：26解析：由椭圆y21知c2413，c，C，D是该椭圆的两焦点令|MC|r1，|MD|r2，则r1r22a4，.又r1r24，1.当且仅当r1r2时，上式等号成立故的最小值为1.答案：17解：(1)由题意知，解得椭圆的标准方程为1.(2)证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A(s，s)，M(s2t，t)，代入椭圆方程1中，得整理可得e21.k，2e2k2，故2e2k为定值8解：(1)设
8、A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3| .由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB| .当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为. 9解：(1)由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21.
9、整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k，即k的取值范围为.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程得x1x2.又y1y2k(x1x2)2，而A(，0)，B(0,1)，(，1)，所以与共线等价于x1x2(y1y2)将代入上式，解得k.由(1)知k，故没有符合题意的常数k.10解：(1)由题意知，椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b.因为离心率e，所以 .所以a2.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：由题意可设点M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1，直线QN的方程为yx2.
10、设点T的坐标为(x，y)，联立解得x0，y0.因为点M，N在椭圆C上，故1，所以221.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上B组1解：(1)由已知可得故所以椭圆的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y1.由，得M.因为M是椭圆C上一点，所以21，即2221，得2221，故y1y20.又线段AB的中点N的坐标为，所以22y1y21，从而线段AB的中点N在椭圆2y21上又椭圆2y21的两焦点恰为C，D，所以|NC|ND|2.2解：(1)设动点E的坐标为(x，y)，依题意可知，整理得y21(x)所以动点E
11、的轨迹C的方程为y21(x)(2)当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入y21并整理得，(2k21)x24k2x2k220，8k280.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设MN的中点为Q，则xQ，yQk(xQ1)，所以点Q的坐标为.由题意可知k0，又直线MN的垂直平分线的方程为y.令x0，解得yP.当k0时，因为2k2，所以0yP，当且仅当k时等号成立；当kyP，当且仅当k时等号成立综上所述，点P的纵坐标的取值范围是.3解：(1)由题意，设椭圆的标准方程为1，由已知可得2a4，a2c，
12、解得a2，c1，b2a2c23.椭圆的标准方程为1，圆的标准方程为(x1)2y21.(2)设P(x，y)，则M(4，y)，F(1,0)，2x2，P(x，y)在椭圆上，1，y23x2.|PF|2(x1)2y2(x1)23x2(x4)2，|PM|2|x4|2，|FM|232y212x2.若|PF|FM|，则(x4)212x2，解得x2或x4(舍去)，x2时，P(2,0)，此时P，F，M三点共线，不合题意|PF|FM|；若|PM|PF|，则(x4)2(x4)2，解得x4，不合题意；若|PM|FM|，则(x4)212x2，解得x4(舍去)或x，x时y，P.综上可得，存在点P或，使得FPM为等腰三角形4
13、解：(1)由已知得F1(1,0)，F2(1,0)设M(x0，y0)，则MF1的中点为N.MF1NF2，0，即(x01，y0)0，x2x03y0，又有y1，由解得x022(x022舍去)，点M到y轴的距离为22.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(xR，yR)，四边形OPRQ为平行四边形，线段PQ的中点即为线段OR的中点，即x1x2xR，y1y2yR.点R在椭圆上，(y1y2)21，即k(x1x2)2m21，化简得(12k2)(x1x2)28km(x1x2)8m22.由得(12k2)x24kmx2m220.由0，得2k21m2，且x1x2，代入式得8m22，化简得4m212k2，代入式，得m0.又4m212k21，m或m.m的取值范围为.
