1、2020-2021学年高考数学（理）考点：函数与方程 1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf (x)(xD)，把使f (x)0的实数x叫做函数yf (x)(xD)的零点(2)三个等价关系方程f (x)0有实数根函数yf (x)的图象与x轴有交点函数yf (x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf (x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)f (b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f (x)的图象连续不断，是否可得到函数f (x)只有一个零点？提示不能1（2
2、020天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A，B，C，D，【答案】D【解析】若函数恰有4个零点，则有四个根，即与有四个交点，当时，与图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当时，与轴交于两点，图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当时，与轴交于两点，在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需与在，还有两个交点，即可，即在，还有两个根，即在，还有两个根，函数，（当且仅当时，取等号），所以，且，所以，综上所述，的取值范围为，故选2（2019新课标）函数在，的零点个数为A2B3C4D5【答案】B【解析】函数 在，的零点个数，即方程 在区间，的根个数，即 在区间，的根个数，即
3、 或 在区间，的根个数，解得或 或所以函数在，的零点个数为3个故选3（2017新课标）已知函数有唯一零点，则ABCD1【答案】C【解析】因为，所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，等价于函数的图象与的图象只有一个交点当时，此时有两个零点，矛盾；当时，由于在上递增、在上递减，且在上递增、在上递减，所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；当时，由于在上递增、在上递减，且在上递减、在上递增，所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件；综上所述，方法二：，令，则为偶函数，图象关于对称，若有唯一零点，则根据
4、偶函数的性质可知当时，所以故选4（2020上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是_【答案】，【解析】根据条件（1）可得或（1），又因为关于的方程无实数解，所以或1，故，故答案为：，5（2018新课标）函数在，的零点个数为_【答案】3【解析】，当时，当时，当时，当时，或，或，故零点的个数为3，故答案为：36（2018浙江）我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则，当时，_，_【答案】8；11
5、【解析】，当时，化为：，解得，故答案为：8；117（2018新课标）已知函数，若（3），则_【答案】【解析】函数，若（3），可得：，可得故答案为：8（2018上海）设，函数，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是_【答案】【解析】函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程有两不同根，也就是有两不同根，在上有两不同根，或，又，且，仅有两解时，应有，则的取值范围是故答案为：9（2017江苏）设是定义在上且周期为1的函数，在区间，上，其中集合，则方程的解的个数是_【答案】8【解析】在区间，上，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又是定义在上且周期为1的函数，在区间，上，此时的图象
6、与有且只有一个交点；同理：区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；区间，上，的图象与有且只有一个交点；在区间，上，的图象与无交点；故的图象与有8个交点，且除了，其他交点横坐标均为无理数；即方程的解的个数是8，故答案为：810（2017上海）若关于、的方程组无解，则实数_【答案】6【解析】若关于、的方程组无解，说明两直线与无交点则，解得：故答案为：611（2017上海）设、，若函数在区间上有两个不同的零点，则（1）的取值范
7、围为_【答案】【解析】函数在区间上有两个不同的零点，即方程在区间上两个不相等的实根，如图画出数对所表示的区域，目标函数（1）的最小值为过点时，的最大值为过点时（1）的取值范围为故答案为：1（2020马鞍山三模）已知，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值范围为A，BC，D，【答案】B【解析】当时，则，令得：，当时，单调递减；当时，单调递增，且（1），当时，则，显然，当时，单调递增；当时，单调递减，且，故函数的大致图象如图所示，令，则关于的方程化为关于的方程，方程有两个不相等的实根，设为，由韦达定理得：，不妨设，关于的方程恰好有5个不相等的实根，由函数的图象可知： 且，设，则，解得故选2（2
8、020龙凤区校级模拟）若关于的方程恰有4个不相等实根，则实数的取值范围是ABCD【答案】B【解析】方程恰有4个不相等实根，转化为恰有4个不相等实根，令，可得由，得，当时，当，时，可得在上单调递减，在，上单调递增作出的图象如图，由图可知，要使恰有4个不相等实根，则，且关于的方程在，上有两个不相等的实数根，即在，上有两个不同的零点，则，解得故选3（2020香坊区校级一模）已知为定义在上的奇函数，且，当，时，则函数的零点个数为A3B4C5D6【答案】B【解析】，可得周期，又是奇函数，可得，可得函数关于对称，当，时，作出的图象如与之间的交点，结合函数的图象可知，图象的交点有4个即函数的零点个数为4个故
9、选4（2020唐山二模）函数的零点个数是A1B2C3D4【答案】C【解析】当时，函数，故在，上单调递增，在，有一个零点；当时，令得，即，此时原函数的零点即为：，的零点令得当时，此时单调递减；当时，此时单调递增因为（1），（3），（6），故在和上各有一个零点，即在上有两个零点综上，共有3个零点故选5（2020湖北模拟）已知函数，则函数在区间，内有个零点A4038B4039C4040D4041【答案】B【解析】令得，在，上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，且是上的奇函数且，如图所示在同一坐标系下作出与的图象可知：与的图象在，上有2020个交点，在，上有2019个交点函数有4
10、039个交点；故选6（2020九龙坡区模拟）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是AB，CD，【答案】D【解析】作函数函数，的图象如下，由图可知，则，其在上是减函数，令，函数和函数在，是减函数，在，上是减函数，由单调性可得：（1），即故选7（2020杜集区校级模拟）已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，则函数在区间，内的零点个数为A8B7C6D5【答案】A【解析】由题意，可知关于对称，那么函数是奇函数，即图象过，且，可得即，可得周期，作出，的图象，可得函数在区间，内的零点个数为8故选8（2020武侯区校级模拟）定义在上的函数有个零点？（其中表示不大于实数的最大整数）A0B1C
11、2D3【答案】D【解析】由题意，函数的零点问题转化为求的根的个数，根据和的图象，求两函数图象的交点，则有，一共有3个零点故选9（2020杜集区校级模拟）已知函数有唯一的零点，则常数AB1CD【答案】B【解析】由题意，函数有唯一的零点，即函数与，只有一个交点，当时，函数的最小值为1，其顶点坐标为，那么函数的最大值的坐标为，所以，所以故选10（2020西安三模）定义域和值域均为，（常数的函数和的图象如图所示，方程解得个数不可能的是A1B2C3D4【答案】D【解析】方程对应的有一个解，从图中可知，可能有1，2，3个解；从而可知方程解得个数不可能为4个；故选11（2020武侯区校级模拟）定义在区间，的
12、函数有个零点？（其中表示不大于实数的最大整数）A2B3C4D5【答案】D【解析】令，则，则原问题转化为求的根的个数，根据和的图象，求两函数图象的交点，则有，即当，则；，则和；，亦有两解，一共有5个零点故选12（2020东湖区校级模拟）若函数在其定义域上有两个零点，则的取值范围是A，B，C，D，【答案】A【解析】函数定义域为，由有两个根，而（1），所以不是方程的根，即直线与函数有两个交点，因为在上恒成立，所以当时，当时，当时，作出函数的图象，如图所示：由图可知，的取值范围是，故选13（2020青羊区校级模拟）设函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为ABCD【答案】B【解析】只
13、有一个整数解，即只有一个整数解，令，则的图象在直线的上方只有一个整数解作出的图象，由图象可知的取值范围为（3）（2）即，故选14（2020梅河口市校级模拟）已知函数在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】C【解析】由题意，当时，与函数恒有一个交点，的最大值的端点坐标为函数有两个不同的零点，即函数与且有一个交点；当时，函数的函数值为3，即坐标为，若，即直线与抛物线相切，则只有一个解，即，可得，若，要使函数与且有一个交点，则，综上可得实数的取值范围是故选15（2020运城模拟）定义在上的函数满足，且，若函数有5个零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解析
14、】由得，所以是周期为的周期函数，作出函数的图象如图所示，直线经过点，由图知，当直线夹在直线与直线之间时，与函数的图象有5个交点，易知，则；实数的取值范围是故选16（2020道里区校级四模）定义：表示的解集中整数的个数若，且，则实数的取值范围是A，B，C，D，【答案】B【解析】当时，由幂函数和对数函数的性质可知，不只有两个整数解，当时，若，即，解得，整数解不是两个，当时，（3），（3），（3）（3），所以3是一个整数解，若另一个整数解为2时，解得，若另一个整数解为4时，无解，综上所述的取值范围为，故选17（2020天心区校级模拟）已知函数，若方程有3个不同实数根，则实数的取值范围是ABCD【答案
15、】D【解析】当直线与曲线相切时，设切点为，则切线斜率，所以，即，解得又当时，所以（1）当时，有1个实数根，此时有1个实数根，不满足题意；（2）当时，有2个实数根，此时有1个实数根，满足题意；（3）当时，无实数根，此时最多有2个实数根，不满足题意综上，故选18（2020桃城区校级模拟）已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是A，BC，D，【答案】D【解析】（1）当时，所以是的一个零点；（2）当时，由题知应有两个不为零的不同零点，即有两个不为零的不同实根，即与的图象有两个不为零的不同交点，又，令，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减，令，则，所以时，单调递增；当时，单调递减，所以的
16、大致图象是数形结合，知当或，时，函数有三个零点故选19（2020让胡路区校级三模）已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是ABCD【答案】B【解析】画出函数的图象如图中实线部分所示，方程恰有四个不相等的实数根，即函数与函数的图象有四个不同的交点，而是斜率为，过定点的直线，当直线与相切时，即图中，设切点坐标为，则切线的方程为，又点在切线上，代入可解得，直线的斜率为，当直线过原点，即图中，计算可知直线的斜率为，所以当时，两函数的图象有4个不同的交点故选20（2020河南模拟）已知函数函数零点的个数为A1B2C3D4【答案】【解析】令B，则，当时，即，即，当时，有一个解，即方程有一
17、个解；当时，；，且，所以，当 时，而，于是方程无解当 时，由 （1）知，即，当 时， 有一个解；当 时，所以 无解，综上，函数 有两个零点故选21（2020邵阳三模）已知函数，若方程有4个不等的实根，则实数的取值范围为ABCD【答案】A【解析】令，方程等价于，得，令，则，故当时，；当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，（1），当时，因此作出函数的图象如下图所示因为方程 实根的个数等价于函数的图象与直线， 的交点个数，若方程有4个不等的实根，那么有以下两种情况，情况一：，此时；情况二：，解得综上所述，的取值范围为故选22（2020河南模拟）已知函数，若方程有2不同的实数解，则实数的取
18、值范围是ABC，D【答案】B【解析】方程有2不同的实数解，等价于有2不同的实数解，记，则方程，函数，可得函数在递增，在递减，其图象如下：当，即是，根据图象可知，故此时无解，当时，要使方程有2不同的实数解，只需，故实数的取值范围是，故选23（2020思明区校级一模）已知函数，若函数的零点有2个或3个，则实数的取值范围为ABCD【答案】B【解析】令，则，所以当时，；当时，即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，（e），当时，令，则，所以当时，；当时，即函数在区间，上单调递减，在区间上单调递减，当时，函数的零点有2个或3个，等价于函数图象与直线的交点有2个或3个，画出函数的与直线图象如下图所示数形结合可知，实数的取值范围为故选
