1、第4讲三角函数的图象与性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数ysinx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)；在余弦函数ycosx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数ysinxycosxytanx图象定义域xRxR值域1,11,1R单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减在(2k1)，2k(kZ)上递增；在2k，(2k1)(kZ)上递减在(kZ)上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1无最值奇偶性奇偶
2、奇对称性对称中心(k，0)，kZ，kZ，kZ对称轴直线xk，kZ直线xk，kZ无对称轴最小正周期221函数yAsin(x)(0)和yAcos(x)(0)的最小正周期T，函数yAtan(x)(0)的最小正周期T.函数y|Asin(x)|，y|Acos(x)|，y|Atan(x)|的周期均为T.函数y|Asin(x)b|(b0)，y|Acos(x)b|(b0)的周期均为T.2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期3三角函数中奇函数一般可化为yAsinx或yAtanx的形式，偶函数一般可化为yA
3、cosxb的形式4若f(x)Asin(x)(A0，0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)1函数ytan的定义域是()ABCD答案D解析ytantan，由xk，kZ，得xk，kZ.故选D.2函数y1sinx，x0,2的大致图象是()答案B解析当x0时，y1；当x时，y0；当x时，y1；当x时，y2；当x2时，y1.结合正弦函数的图象可知B正确故选B.3下列函数中，周期为2的奇函数为()Aysincos Bysin2xCytan2x Dysin2xcos2x答案A解析ysin2x为偶函数；ytan2x的周期为；ysin2xcos2x为非
4、奇非偶函数，故B，C，D都不正确故选A4(2021新高考卷)下列区间中，函数f(x)7sin单调递增的区间是()A BC D答案A解析令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.取k0，则x.因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间故选A5(多选)(2021银川三模)已知函数f(x)cos，则下列说法正确的是()Af(x)的最小正周期是Bf(x)的图象关于点对称Cf(x)在上为减函数Df(x)的图象关于直线x对称答案ABC解析对于函数f(x)cos，它的最小正周期为，故A正确；令x，求得f(x)0，可得f(x)的图象关于点对称，故B正确；当x时，2x0，故f(x)在上为减函数，故C正确；令x，求
5、得f(x)0，故f(x)的图象不关于直线x对称，故D错误故选ABC6函数y32cos的最大值为_，此时x_.答案52k(kZ)解析函数y32cos的最大值为325，此时x2k(kZ)，即x2k(kZ)考向一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y的定义域为()AB(kZ)C(kZ)DR答案C解析由cosx0，得cosx，2kx2k，kZ.(2)函数ylg sin2x的定义域为_.答案解析由得3x或0x.函数ylg sin2x的定义域为.(3)(2019全国卷)函数f(x)sin3cosx的最小值为_.答案4解析f(x)sin3cosxcos2x3cosx2cos2x3cosx122，1cosx1
6、，当cosx1时，f(x)有最小值4.(4)函数ysinxcosxsinxcosx，x0，的最大值与最小值的差为_.答案2解析令tsinxcosx，又x0，tsin，t1，由tsinxcosx，得t212sinxcosx，即sinxcosx.原函数变为yt，t1，即yt2t.当t1时，ymax11；当t1时，ymin11.故函数的最大值与最小值的差为2. 1三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)(2)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴(3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别
7、求解，然后利用数轴或三角函数线求交集2三角函数值域的求法(1)利用ysinx和ycosx的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)b(或yAcos(x)b)的形式求值域 (3)把sinx或cosx看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域，如yasin2xbsinxc，可先设sinxt，转换为关于t的二次函数求值域(4)利用sinxcosx和sinxcosx的关系将原函数转换成二次函数求值域1.(2021新乡三模)已知函数f(x)4sin1的定义域是0，m，值域为1,5，则m的最大值是()A B C D答案A解析x0，m，2x.f(x)的值域为1,5，2m，解得m，m的最大值为
8、.故选A2函数ylg (sinxcosx)的定义域是_.答案解析要使函数有意义，必须使sinxcosx0.利用图象在同一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象，如图所示：在0,2内，满足sinxcosx的x为，在内sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.考向二三角函数的单调性例2(1)(2021临汾模拟)已知，则下列各数中最大的是()Asin(sin) Bsin(cos)Ccos(sin) Dcos(cos)答案D解析当时，sin，cos，则sin(sin)sincos，sin(cos)sincos，cos(sin)cos，cos(cos)cos.0cosco
9、scos，即最大的是cos，即cos(cos)，故选D.(2)函数y2sin(x0，)的单调递增区间是()A BC D答案C解析y2sin2sin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，即函数的单调递增区间为，kZ，当k0时，单调递增区间为.(3)已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是_.答案解析函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0且4k0，kZ，得k1，所以. 1求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如x)整体当作一个角，利用基本三角函数(ysinx，ycosx，ytanx)
10、的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间提醒：要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，若bc BacbCcab Dbac答案A解析由2kx2k，kZ得2kx2k，kZ.所以f(x)2cos的单调递减区间为(kZ)，所以f(x)在上单调递减，所以fff，即abc.4(2022山东德州开学考试)函数y|tanx|的单调递增区间为_，单调递减区间为_.答案，kZ，kZ解析作出函数y|tanx|的图象，如图观察图象可知，函数y|tanx|的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.5(2022新余期末)若函数f(x)sinx(0)在区间上单调递增，在区间
11、上单调递减，则_.答案解析f(x)sinx(0)的图象过原点，当0x，即0x时，ysinx单调递增；当x，即x时，ysinx单调递减由f(x)sinx(0)在上单调递增，在上单调递减，知，.多角度探究突破考向三三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度三角函数的周期性例3(1)(2021全国乙卷)函数f(x)sincos的最小正周期和最大值分别是()A3和 B3和2C6和 D6和2答案C解析由f(x)sincos可得f(x)sin，故函数f(x)的最小正周期为T6，最大值为，故选C(2)函数f(x)sin2x|sin2x|的周期为_.答案解析作出函数f(x)的大致图象，如图所示根据图象可知f(x)为
12、周期函数，最小正周期为. 若求最小正周期，可把所给三角函数式化为yAsin(x)(0)或yAcos(x)(0)的形式，则最小正周期为T；三角函数式yAtan(x)(0)的最小正周期为T.求含有绝对值符号的三角函数的周期时，可画出函数的图象，通过观察图象得出周期6.(2021广东汕头模拟)函数ysincos的最小正周期为()A B C D2答案C解析，2x，ysincos2cos.所求函数的最小正周期为.7若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_.答案2或3解析由题意知12，即k2k.又kN，所以k2或k3.角度三角函数的奇偶性例4已知函数y2sin是偶函数，则的值为(
13、)A0 B C D答案B解析因为函数y2sin为偶函数，所以k(kZ)又，所以，解得，经检验符合题意故选B.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象的性质，对yAsin(x)，代入x0，若y0，则为奇函数，若y为最大值或最小值，则为偶函数8.若函数y3cos为奇函数，则|的最小值为_.答案解析依题意得，k(kZ)，k(kZ)，因此|的最小值是.角度三角函数的对称性例5(1)(2021云南、贵州、四川、广西四省模拟)已知函数f(x)tanxsinxcosx，则()Af(x)的最小正周期为2Bf(x)的图象关于y轴对称Cf(x)的图象不关于对称Df(x)的图象关于(，0)对称答案D解
14、析因为f(x)f(x)，所以f(x)的最小正周期不是2，故A错误；因为f(x)f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象不关于y轴对称，故B错误；因为f(x)tanxsinxcosxf(x)，所以f(x)的图象关于对称，故C错误；因为f(2x)tanxsinxcosxf(x)，所以f(x)的图象关于(，0)对称，故D正确，故选D.(2)已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为，则下列说法正确的是()A函数f(x)的图象关于点对称B函数f(x)的图象关于点对称C函数f(x)的图象关于直线x对称D函数f(x)的图象关于直线x对称答案B解析设函数f(x)的最小正周期为T，依题意得T，2，f(
15、x)2sin.f2sin20，因此函数f(x)的图象不关于点对称，A不正确；f2sin0，因此函数f(x)的图象关于点对称，B正确，D不正确；f2sin12，因此函数f(x)的图象不关于直线x对称，C不正确故选B. 求函数yAsin(x)图象的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题(1)ysinx图象的对称中心是(k，0)，kZ，yAsin(x)图象的对称中心，由方程xk，kZ解出x即可(2)ysinx图象的对称轴是直线xk，kZ，由xk，kZ解出x，即可得到函数yAsin(x)图象的对称轴(3)注意ytanx图象的对称中心为(kZ)9.(2020全国卷)关于函数f(x)sinx有如下四个命
16、题：f(x)的图象关于y轴对称；f(x)的图象关于原点对称；f(x)的图象关于直线x对称；f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是_.答案解析函数f(x)的定义域为x|xk，kZ，定义域关于原点对称，f(x)sin(x)sinxf(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，命题错误，命题正确；对于命题，因为fsincosx，fsincosx，则ff，所以函数f(x)的图象关于直线x对称，命题正确；对于命题，当x0时，sinx0，则f(x)sinx02，命题错误一、单项选择题1函数f(x)ln (cosx)的定义域为()AB.CD.答案C解析由cosx0解得2kx，但f(x)在m，
17、n上的最大值为2，最小值为1，x1，x2m，n时，f(x1)f(x2)的最大值为3，不可能等于4.所以“存在x1，x2m，n使得f(x1)f(x2)4”是“nm”的充分不必要条件故选A4函数f(x)tanx(0)的图象的相邻两支截直线y1所得的线段长为，则f的值是()A0 B C1 D答案D解析由条件可知，f(x)的周期是.由，得4，所以ftantan.5若函数f(x)sin(0,2)是偶函数，则()A B C D答案C解析f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，即直线x0为其对称轴k(kZ)，3k(kZ)，0,2，.故选C6(2021广东江门一模)若f(x)sin，则()Af(1)f(
18、2)f(3)Bf(3)f(2)f(1)Cf(2)f(1)f(3)Df(1)f(3)f(2)答案A解析由2x，可得x，所以函数f(x)在区间上单调递减由于12，且1f(2)由于23，故f(2)f(3)所以f(1)f(2)f(3)故选A7(2021天津市和平区模拟)函数f(x)cos2x的导函数为f(x)，则函数g(x)2f(x)f(x)在x0，内的单调递增区间是()A BC D答案C解析f(x)2sin2x，g(x)2cos2x2sin2x4cos，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，令k1得x，g(x)在x0，内的单调递增区间是.故选C8(2021榆林四模)已知函数f(x)coscos(0)
19、的最小正周期为，且曲线yf(x)关于直线x对称，则|的最小值为()A B C D答案B解析x，f(x)coscossincossin.f(x)的最小正周期是，1，则f(x)sin.曲线yf(x)关于直线x对称，22k，kZ，2k，kZ，即，kZ，则当k0时，|，当k1时，|，则|的最小值为，故选B.二、多项选择题9(2021龙岩三模)已知两个函数f(x)tan和g(x)，下列说法正确的是()A两个函数的定义域相同B两个函数都是奇函数C两个函数的周期相同D两个函数的值域相同答案BC解析对于A，f(x)的定义域为x|x2k，kZ，而g(x)的定义域为x|xk，kZ，所以A不正确；对于B，因为f(x
20、)tantanf(x)，所以f(x)为奇函数，又g(x)g(x)，则g(x)也为奇函数，所以B正确；对于C，因为f(x2)tantantanf(x)，所以f(x)的周期为2；又g(x2)g(x)，则g(x)的周期也为2，所以C正确；对于D，因为f(0)0，而g(x)0，所以两个函数值域不相同，所以D不正确故选BC10(2021泰安模拟)下列关于函数ytan的说法正确的是()A在区间上单调递增B最小正周期是C图象关于点成中心对称D图象关于直线x对称答案AC解析对于A，当x时，2x，所以函数ytan在上单调递增，A正确；对于B，函数ytan的最小正周期为T，所以B错误；对于C，当x时，2x，所以函
21、数ytan的图象关于点对称，C正确；对于D，正切型函数ytan的图象没有对称轴，所以D错误故选AC11(2019全国卷改编)关于函数f(x)|sinx|sin|x|，下述四个结论正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)在区间上单调递减Cf(x)在，上有4个零点Df(x)的最大值为2答案ABD解析对于A，由f(x)|sin(x)|sin|x|sinx|sin|x|f(x)，可得f(x)为偶函数，故A正确；对于B，当x时，f(x)|sinx|sin|x|sinxsinx2sinx，所以f(x)在区间上单调递减，故B正确；对于C，当x0，时，f(x)|sinx|sin|x|sinxsinx2sinx
22、，当x0或x时，f(x)0，又因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)在，上有3个零点：，0，故C错误；对于D，由|sinx|1，sin|x|1可得f(x)|sinx|sin|x|2，因为f|sin|sin|2，所以f(x)的最大值为2，故D正确故选ABD.12(2022济南市高三上学期期末)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数yAsint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数f(x)sinxsin2x，则下列结论正确的是()A2是f(x)的一个周期Bf(x)在0,2上有3个零点Cf(x)的最大值为Df(x)在上是增函数答案ABC解
23、析因为f(x)sinxsin2x.ysinx的周期是2，ysin2x的周期是，所以f(x)sinxsin2x的周期是2，故A正确；当f(x)sinxsin2x0，x0,2时，sinxsinxcosx0，sinx(1cosx)0，sinx0或1cosx0，解得x0或x或x2，所以f(x)在0,2上有3个零点，故B正确；f(x)cosxcos2x2cos2xcosx1(2cosx1)(cosx1)，cosx10，当cosx1，即2kx0，f(x)单调递增；当1cosx，即2k0)，满足f(x)Asinxf(x)，即是奇函数；根据最小正周期T2，可得.故函数可以是f(x)Asinx(A0)中任一个，
24、可取f(x)sinx.14(2021辽宁沈阳皇姑区校级四模)已知x，函数y3cosx的图象与函数y8tanx的图象交于点P，点P在x轴上的垂足为P1，直线PP1交ysinx的图象于点P2，则|P1P2|_.答案解析设点P的横坐标为x0，则3cosx08tanx0，3cos2x08sinx0，即3(1sin2x0)8sinx0，求得sinx0或sinx03(舍去)，则|P1P2|sinx0|.15(2021江西南昌模拟)已知函数f(x)sinxcosx(0)，若f(x)在上恰有2个极值点，则的取值范围为_.答案解析函数f(x)sinxcosx2sin(0)，f(x)在上恰有2个极值点，x，得0时
25、，有所以a33，b5；当a0时，有所以a33，b8.综上所述，a33，b5或a33，b8.19已知函数f(x)2sinxcosxcoscos，xR.(1)求f的值；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值；(3)求函数f(x)在区间上的单调区间解(1)f(x)2sinxcosxcoscossin2xcos2xcossin2xsincos2xcossin2xsinsin2xcos2x22sin，f2sin2sin2.(2)x，2x，2f(x) ，当2x时，x，此时f(x)minf2，当2x时，x，此时f(x)maxf().(3)x，2x，由正弦函数图象知，当2x时，即x时，f
26、(x)单调递减；当2x时，即x时，f(x)单调递增故函数f(x)在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为.20(2021衢州市高三模拟)设O为坐标原点，定义非零向量(a，b)的“相伴函数”为f(x)asinxbcosx(xR)，向量(a，b)称为函数f(x)asinxbcosx的“相伴向量”记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.(1)设函数h(x)2sincos，求证：h(x)S；(2)记(0,2)的“相伴函数”为f(x)，若函数g(x)f(x)2|sinx|1，x0,2的图象与直线yk有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围解(1)证明：因为h(x)2sincossinxcosx，所以函数h(x)的相伴向量，所以h(x)S.(2)由题意知af(x)2cosx，则g(x)2cosx2|sinx|1则g(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又g(0)1，g3，g()3，g3，g(2)1，因为函数g(x)f(x)2|sinx|1，x0,2的图象与直线yk有且仅有四个不同的交点，所以实数k的取值范围为1k3.
