1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断 位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddr代数法：由消元得到一元二次方程根的判别式00r1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|1圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x
2、y0yr2.2直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成的直角三角形计算，弦长|AB|2.(2)代数法：设直线ykxm与圆x2y2DxEyF0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xMxN和xMxN，则|MN|.3圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条(2)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即(D1D2)x(E1E2)y
3、(F1F2)0.(3)两个圆系方程过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)1过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0截得的弦长为()A. B2 C D2答案D解析直线方程为yx，圆的标准方程为x2(y2)24，则圆心(0,2)到直线的距离d1，所以所求弦长为22.2圆Q：x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20
4、Bxy40Cxy40 Dxy20答案D解析圆Q的标准方程为(x2)2y24.P(1，)在圆Q上，所求切线方程为(12)(x2)(0)(y0)4，即xy20.3对任意的实数k，直线ykx1与圆C：x2y22x20的位置关系是()A相离B相切C相交D以上三个选项均有可能答案C解析直线ykx1恒经过点A(0，1)，圆x2y22x20的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|，所以点A在圆内，故直线ykx1与圆x2y22x20相交故选C.4圆C1：(x2)2(y2)24和圆C2：(x2)2(y5)216的位置关系是()A相离 B相交 C内切 D外切答案B解析易得圆C1的圆心为C1(2,2)，半径r12，
5、圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r24，圆心距|C1C2|542|r2r1|，所以两圆相交5圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦所在的直线方程为_.答案xy20解析将两圆方程相减，得4x4y80，即xy20.6(2022辽宁鞍山入学考试)若P(2，1)为圆C：(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是_.答案xy30解析C(1,0)，直线CP的斜率为1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程为y11(x2)，即xy30.考向一直线与圆的位置关系例1(1)已知圆O：x2y24上到直线l：xya的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为()A(3，3)B(，3)(3，)C(2
6、，2)D(，2)(2，)答案A解析由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l：xya的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离dr13，即d3，解得3a3.故选A.(2)(多选)(2021新高考卷)已知直线l：axbyr20与圆C：x2y2r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析圆心C(0,0)到直线l的距离d，若点A(a，b)在圆C上，则a2b2r2，所以d|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，
7、b)在圆C内，则a2b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2b2r2，所以d|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2b2r20，即a2b2r2，所以d|r|，直线l与圆C相切，故D正确故选ABD. 判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)代数法：(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离1.若曲线x2y26x0(y0)与直线yk(x2)有公共点，则k的取值范围是()A. BC. D答案C解析x2y26x0(y0)可化为(x3)2y29(y0)，曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆(不包括圆与x轴的
8、交点)，它与直线yk(x2)有公共点的充要条件是圆心(3,0)到直线yk(x2)的距离d3，且k0，3，且k0，解得04，点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x30是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离为dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC|，过点M的圆C的切线长为1. 圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式
9、表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0，进而求出k.注意检验切线斜率不存在的情况3.(2020浙江高考)设直线l：ykxb(k0)，圆C1：x2y21，C2：(x4)2y21，若直线l与C1，C2都相切，则k_，b_.答案解析由题意，两圆圆心C1(0,0)，C2(4,0)到直线l的距离等于半径，即1，1，所以|b|4kb|，所以k0(舍去)或b2k，解得k，b.4(2022江西九江模拟)由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_.答案解析设直线上一
10、点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3,0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|，要使|PQ|最小，即求|PM|最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小距离设圆心到直线yx1的距离为d，则d2，|PM|的最小值为2，此时|PQ| .角度圆的弦长问题例3(1)过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为()A5x12y200B5x12y200或x40C5x12y200D5x12y200或x40答案B解析圆的标准方程为(x1)2(y2)225，由|AB|8知，圆心(1,2)到直线l的距离d3.当直线l的斜率不
11、存在，即直线l的方程为x4时，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.则有3，k.此时直线l的方程为5x12y200.综上，直线l的方程为5x12y200或x40.(2)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.答案4解析由题意可知直线l过定点(3，)，该定点在圆x2y212上，不妨设点A(3，)，由于|AB|2，r2，所以圆心到直线AB的距离为d3，又由点到直线的距离公式可得d3，解得m，所以直线l的斜率km，即直线l的倾斜角为30.如图，过点C作CHBD，垂足为H，所以|
12、CH|2，在RtCHD中，HCD30，所以|CD|4. 求直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r22d2.(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)5.(多选)直线ykx1与圆C：(x3)2(y3)236相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A6 B8 C12 D16答案BC解析因为直线ykx1过定点(0，1)，故圆C的圆心(3,3)到直线ykx1的距离的最大值为5.又圆C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为22.又当直线yk
13、x1过圆心时弦长|AB|取最大值，为直径12，故|AB|2，12故选BC.6(2020天津高考)已知直线xy80和圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点若|AB|6，则r的值为_.答案5解析因为圆心(0,0)到直线xy80的距离d4，由|AB|2可得62，解得r5.考向三两圆的位置关系例4(1)圆C1：(x1)2(y2)24与圆C2：(x3)2(y2)24的公切线的条数是()A1 B2 C3 D4答案C解析圆C1：(x1)2(y2)24的圆心为(1,2)，半径为2，圆C2：(x3)2(y2)24的圆心为(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|422，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两
14、圆外切，故公切线的条数为3.故选C.(2)若圆C：x2(y4)218与圆D：(x1)2(y1)2R2的公共弦长为6，则圆D的半径为()A5 B2 C2 D2答案D解析由得2x6y4R2，因为公共弦长为6，所以直线2x6y4R2经过圆C的圆心(0,4)，即20644R2，则R228，所以圆D的半径为2.故选D. (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法(2)两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解7.(多选)已知点A(2,0)，圆C：(xa1)2(ya)21上
15、存在点P，满足|PA|2|PO|210(O为坐标原点)，则a的取值可能是()A1 B1 C D0答案ABC解析设P(x，y)，由|PA|2|PO|210，A(2，0)，得(x2)2y2x2y210，整理得，(x1)2y24.圆C：(xa1)2(ya)21上存在点P，满足|PA|2|PO|210，即两圆(x1)2y24与(xa1)2(ya)21有交点，则121213，解得|a|.a的取值可能是1，1，.故选ABC.8已知圆C与圆x2y210x10y0相切于原点，且过点A(0，6)，则圆C的标准方程为_.答案(x3)2(y3)218解析设圆C的标准方程为(xa)2(yb)2r2，其圆心为C(a，b
16、)，半径为r(r0)x2y210x10y0可化为(x5)2(y5)250，其圆心为(5，5)，半径为5.两圆相切于原点O，且圆C过点(0，6)，点(0，6)在圆(x5)2(y5)250内，两圆内切，解得a3，b3，r3，圆C的标准方程为(x3)2(y3)218.一、单项选择题1直线mxy20与圆x2y29的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法确定答案A解析圆x2y29的圆心为(0,0)，半径为3，直线mxy20恒过点A(0,2)，而022249，所以点A在圆的内部，所以直线mxy20与圆x2y29相交故选A.2两圆C1：x2y22x6y260，C2：x2y24x2y40的位置关系是()A
17、内切 B外切C相交 D外离答案A解析由于圆C1的标准方程为(x1)2(y3)236，故圆心为C1(1,3)，半径为6；圆C2的标准方程为(x2)2(y1)21，故圆心为C2(2，1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C1C2|561，显然两圆内切3(2021广东华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A(a,0)(a0)，且倾斜角为30的直线与圆O：x2y2r2(r0)相切于点B，且|AB|，则OAB的面积是()A. B C1 D2答案B解析在RtAOB中，BAO30，|AB|，故|OB|1，所以SOAB|AB|OB|，故选B.4过点P(2,4)作圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为()A3
18、x4y40B4x3y40Cx2或4x3y40Dy4或3x4y40答案C解析当斜率不存在时，直线x2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，则1，解得k，得切线方程为4x3y40.综上，得切线方程为x2或4x3y40.5(2021北京高考)已知圆C：x2y24，直线l：ykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m()A2 BC D答案C解析由题可得圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线的距离d，则弦长为2，则当k0时，弦长取得最小值为22，解得m.故选C.6若曲线y 与直线yk(x2)4有两个交点，则实数k的取值范围是()A. BC(1，) D(1,3答
19、案A解析根据题意画出图形，如图所示由题意可得，曲线y的图象为以(0,0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2,4)，当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离dr，即2，解得k；当直线l过B点时，直线l的斜率k1，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.故选A.7(2022山师大附中模拟)设P为直线3x4y40上的动点，PA，PB为圆C：(x2)2y21的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为()A. B2 C D2答案A解析如图，连接AC，BC，PC.易知圆C的圆心坐标为(2,0)，|AC|BC|r1，CAPA，CBPB.设P(x0，y0)，则3x04y040
20、，所以y0x01.由勾股定理知|AP|，所以S四边形APBC2SRtACP|AC|AP|AP| ，当x0时，所求面积最小为 .8在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是()A. B0,1C. D答案A解析因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21，设点M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|C
21、D|21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.9(2020全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为()A2xy10 B2xy10C2xy10 D2xy10答案D解析圆的方程可化为(x1)2(y1)24，则M(1，1)，点M到直线l的距离为d2，所以直线l与圆相离依圆的知识可知，点A，P，B，M四点共圆，且ABPM，所以|PM|AB|4SPAM4|PA|AM|4|PA|，而|PA|，当直线lPM时，|PM
22、|最小，|PM|min，|PA|min1，此时|PM|AB|最小直线PM的方程为y1(x1)，即yx，由解得所以P(1，0)所以以PM为直径的圆的方程为(x1)(x1)y(y1)0，即x2y2y10.两圆的方程相减可得2xy10，即为直线AB的方程故选D.二、多项选择题10已知圆C：x2y22mx2(m1)y2m22m30(mR)上存在两个点到点A(0，1)的距离为4，则m的值可能为()A1 B1 C3 D5答案ACD解析由题知，圆C：(xm)2y(m1)222与圆A：x2(y1)242相交故|42|CA|42，即2 6，解得m(1，2)(0，1)，m的值可能为5，3,1.故选ACD.11(2
23、021湖南湘潭三模)已知直线l：kxy2k0和圆O：x2y216，则()A直线l恒过定点(2,0)B存在k使得直线l与直线l0：x2y20垂直C直线l与圆O相交D若k1，直线l被圆O截得的弦长为4答案ABC解析由l：kxy2k0，得k(x2)y0，令解得所以直线l恒过定点(2,0)，故A正确；直线l0：x2y20的斜率为，则当k2时，满足直线l与直线l0：x2y20垂直，故B正确；因为直线l恒过定点(2,0)，而(2)20244，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4d4，45 10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d44，40，k1)的点的轨迹是圆，后人将这
24、个圆称为阿氏圆若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，PAB面积的最大值是_.答案2解析以经过点A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)设P(x，y)，即x2y26x10，则(x3)2y28，当点P到AB(x轴)的距离最大时，PAB的面积最大，此时面积为222.四、解答题17已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，求出点N的
25、坐标；若不存在，请说明理由解(1)设圆心C(a,0)，则2a0或a5(舍去)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N的坐标为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立18已知圆C：x2(ya)24，点A(1,0)(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，
26、当|MN|时，求MN所在直线的方程解(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，1a24，a或a，即实数a的取值范围为(，)(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点易知MNCD，且D为MN的中点|MN|，|DM|.又|MC|2，|CD|，cosMCA，cosMCA，|AC|，|OC|2，|AM|1，MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x1)2y21，圆C的方程为x2(y2)24或x2(y2)24，MN所在直线的方程为(x1)2y21x2(y2)240或(x1)2y21x2(y2)240，即x2y0或x2y0，因此MN所在直线的方程为x2y0或x2y0.19已知圆C：
27、x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求|PM|取得最小值时点P的坐标解(1)圆C的标准方程为(x1)2(y2)22，圆心为(1,2)，半径为，易知切线斜率存在由圆C的切线在两坐标轴上的截距相等，可分两种情况当截距不为零时，直线斜率为1，可设切线的方程为yxb，即xyb0，由，解得b1或b3，故切线的方程为xy10或xy30.当截距为零时，可设切线的方程为ykx，即kxy0，由，解得k2或k2，故切线的方程为y(2)x或y(2)x.综上可知，切线的方程为xy
28、10或xy30或y(2)x或y(2)x.(2)|PM|PO|，|PO|取最小值时，|PM|也取最小值切线PM与半径CM垂直，|PM|2|PC|2|CM|2，又|PM|PO|，|PC|2|CM|2|PO|2，(x11)2(y12)22xy，2x14y130，即点P(x1，y1)在直线2x4y30上，|PO|的最小值等于点O到直线2x4y30的距离d，d.故|PO|取得最小值时，|PO|2xyd22，解得所求点P的坐标为.20(2021全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x1交C于P，Q两点，且OPOQ.已知点M(2,0)，且M与l相切(1)求C，M的方程；(2)设A1，A
29、2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与M相切判断直线A2A3与M的位置关系，并说明理由解(1)由题意，知直线x1与C交于P，Q两点，且OPOQ，设C的焦点为F，P在第一象限，则根据抛物线的对称性，知POFQOF45，所以P(1,1)，Q(1，1)设C的方程为y22px(p0)，则12p，得p，所以C的方程为y2x.因为圆心M(2,0)到l的距离即M的半径，且距离为1，所以M的方程为(x2)2y21.(2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)当A1，A2，A3中有一个为坐标原点时，另外两个点的横坐标的值均为3，此时直线A2A3与M相切；当x1x2x3时，可知，直线A1A2的方程为x(y1y2)yy1y20，此时有1，即(y1)y2y1y23y0.同理可得，(y1)y2y1y33y0.所以y2，y3是方程(y1)y22y1y3y0的两根则y2y3，y2y3.依题意可得，直线A2A3的方程为x(y2y3)yy2y30.设点M到直线A2A3的距离为d(d0)，则有d21，d1.此时，直线A2A3与M相切综上，直线A2A3与M相切
