1、第5讲指数与指数函数1根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数(a0)负数没有偶次方根2分数指数幂(1)a (a0，m，nN*，n1)(2)a(a0，m，nN*，n1)(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)4指数函数的概念函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x
2、是自变量，定义域是R，a是底数说明：形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数5指数函数的图象和性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1增函数减函数1()na(nN*且n1)2.3底数对函数yax(a0，且a1)的函数值的影响如图(a1a2a3a4)，不论是a1，还是0a0，且a1时，函数yax与函数yx的图象关于y轴对称1化简(2)6(1)0的结果为()A9 B7 C10 D9答案B解析 (2)6(1)0(26)17.2化简 (x0，y0)得()A2x2y B2xy C4x2y D2x2y答案D解析因为x0，y0，所以 |2x2y|
3、2x2y.3(2021安徽蒙城月考)已知0a1，b1，则函数yaxb的图象必定不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析yaxb的图象如图由图象可知，yaxb的图象必定不经过第一象限4(2021湖北八校联考)函数f(x)ax20212021(a0且a1)的图象过定点A，则点A的坐标为_.答案(2021,2022)解析令x20210，得x2021，又f(2021)2022，故点A的坐标为(2021,2022)5设a0.993.3，b0.994.5，c1.10.99，则a，b，c的大小关系为_.答案ba0.994.5，即ab，又因为0.993.31.101，所以0.993.3
4、1.10.99，即ac.综上可知，ba0，aa3，求的值解(1)原式(23)(102)(22)322101263.(2)原式.(3)原式(aa)(aa)(a3)(a2)aa1.(4)将aa3两边平方，得aa129，所以aa17.将aa17两边平方，得a2a2249，所以a2a247，所以6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答(5)运算结果不能同时含有根号和
5、分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一1.44_.答案a4解析原式(a)4(a)4a2a2a4.2已知3a2b1，则_.答案解析因为3a2b1，所以ab，所以原式.3化简： (a0，b0)解原式.4计算：0.0272(1)0.解原式(0.33)72149145.考向二指数函数的图象及其应用例2(1)(多选)(2021济南调研)已知实数a，b满足等式2020a2021b，则下列关系式有可能成立的是()A0ba Bab0C0a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_.答案解析当0a1时，y|ax1|的图象如图1.因为y2a与y|ax1|的图象有两个交点，所以02a1，所以0a1
6、时，y|ax1|的图象如图2，而此时直线y2a不可能与y|ax1|的图象有两个交点综上，a的取值范围是0a0，且a1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)根据函数图象的变换规律得到的结论函数yaxb(a0，且a1)的图象可由指数函数yax(a0，且a1)的图象向左(b0)或向右(b0，且a1)的图象向上(b0)或向下(b0，且a1)在0，)的图象相同；当xbc BbcaCbac Dcab答案B解析当x(1,2)时，x22x，所以，即a2x，所以，即bc，所以a，b，c的大小关系
7、为bca.故选B.(2)(2021广西南宁模拟)若3a(ln 2)b3b(ln 2)a(a，bR)，则()A3ab1 B3ab2C3ab1 D3|ab|2答案C解析因为3a(ln 2)b3b(ln 2)a，则3a(ln 2)a3b(ln 2)b，令f(x)3x(ln 2)x，因为y3x在R上为单调递增函数，y(ln 2)x在R上为单调递减函数，故函数f(x)在R上为单调递增函数，又f(a)f(b)，所以ab，即ab0，所以3ab301.故选C.比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小(2)当指数
8、相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较7.(2021淮南一模)设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCbca Dbac答案A解析函数yx是(0，)上的增函数，bc.函数yx是R上的减函数，即ac，则a，b，c的大小关系为acb.故选A.8若0ab1，xab，yba，zbb，则x，y，z的大小关系为()Axzy ByxzCyzx Dzyx答案A解析因为0abzbb；又幂函数g(x)xb单调递增，故xabzbb，则x，y，z的大小关系为xzy.角度解简单的
9、指数方程或不等式例4(1)若x满足不等式，则函数y2x的值域是()A. BC. D2，)答案B解析将化为x212(x2)，即x22x30，解得x3,1，所以232x21，所以函数y2x的值域是.(2)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_.答案解析当a1时，由f(1a)f(a1)得4a12a(1a)，即22a222a1，所以2a22a1，无解综上可知，a. 1解指数方程的依据af(x)ag(x)(a0，且a1)f(x)g(x)2解指数不等式的思路方法对于形如axab(a0，且a1)的不等式，需借助函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a1与0ab的不等式，需
10、先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数yax的单调性求解9.已知函数f(x)a的图象过点，若f(x)0，则实数x的取值范围是_.答案解析函数f(x)a的图象过点，a，即a.f(x).f(x)0，0，24x13，即14x2，0x.10方程4x|12x|11的解为_.答案xlog23解析当x0时，原方程化为4x2x120，即(2x)22x120，(2x3)(2x4)0，2x3，即xlog23.当x0时，原方程化为4x2x100，令t2x，则t2t100(0t1)由求根公式得t均不符合题意，故x0，且a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B
11、解析由f(1)，得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|，由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，yx在(，)上单调递减，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减故选B.12(2022山东省肥城一中月考)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)1，则此函数的值域为_.答案0解析当x0时，f(x)121，令t(0t1)，所以g(t)t2t1(0t1)，所以g(t).由于函数f(x)是奇函数，所以当x0，cbc BbacCcba Dcab答案D解析函数y0.86x在R上是减函数，00.860.850.860.751，cab.3(a2a2)x11，x
12、12.故选D.4(2021青岛模拟)已知函数f(x)则函数f(x)是()A偶函数，在0，)上单调递增B偶函数，在0，)上单调递减C奇函数，且单调递增D奇函数，且单调递减答案C解析易知f(0)0，当x0时，f(x)12x，f(x)2x1，此时x0，则f(x)2x1f(x)；当x0，则f(x)12(x)12xf(x)即函数f(x)是奇函数，且单调递增故选C.5已知0ab(1a)bB(1a)b(1a)C(1a)a(1b)bD(1a)a(1b)b答案D解析y(1a)x是减函数，(1a)a(1a)b，又yxb在(0，)上是增函数，1a1b，(1a)b(1b)b，(1a)a(1b)b.故选D.6若关于x的
13、方程|x|a20有解，则a的取值范围是()A0a1 B1a2答案B解析|x|a20有解等价于2a|x|有解因为函数y|x|的值域为(0,1，所以02a1，解得1a2.7已知函数f(x)x4，x(0,4)，当xa时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)a|xb|的图象为()答案A解析x(0,4)，x11，f(x)x4x15251，当且仅当x2时取等号，此时函数有最小值1，a2，b1，此时g(x)2|x1|此函数可以看成函数y的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A正确故选A.8(2021西安模拟)设yf(x)在(，1上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)给出函数f(x)2x14
14、x，若对于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，则()AK的最大值为0 BK的最小值为0CK的最大值为1 DK的最小值为1答案D解析根据题意可知，对于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，则f(x)K在x1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K.令2xt，则t(0,2，f(t)t22t(t1)21，可得f(t)的最大值为1，K1.故选D.二、多项选择题9(2021广东湛江高三模拟)已知函数f(x)则下列判断中正确的是()Af(x)的值域为(0，)Bf(x)的图象与直线y2有两个交点Cf(x)是单调函数Df(x)是非奇非偶函数答案BD解析函数f(x)的图象如图所示由图可知，f(x)的值域为0，
15、)，A错误；C显然错误；f(x)的图象与直线y2有两个交点，B正确；f(x)的图象既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D正确故选BD.10(2021湖南岳阳模拟)若4x4y5x5y，则()Axx3Clg (yx)0 Dy3x答案AD解析不等式4x4y5x5y，即4x5x4y5y，令f(x)4x5x4x，由指数函数的单调性可得，f(x)是R上的增函数，不等式即f(x)f(y)，xy.故选AD.11(2021淄博模拟)关于函数f(x)的性质，下列说法中正确的是()A函数f(x)的定义域为RB函数f(x)的值域为(0，)C方程f(x)x有且只有一个实根D函数f(x)的图象是中心对称图形答案ACD解析
16、函数f(x)的定义域为R，所以A正确；因为y4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x1)f(x)，所以f(x)关于点对称，所以D正确故选ACD.12(2022武汉质量评估)若实数a，b满足2a3a3b2b，则下列关系式中可能成立的是()A0ab1 Bba0C1ab Dab答案ABD解析设f(x)2x3x，g(x)3x2x，f(x)和g(x)在(，)上均为增函数，且f(0)g(0)，f(1)g(1)x(，0)时，f(x)g(x)；x(1，)时，f(x)g(x)由函数f(x)与g(x)的图象可知，
17、若f(a)2a3a3b2bg(b)，则ba0或0abb1或ab.故选ABD.三、填空题13(2021湖南长沙一模)使得“”成立的一个充分条件是_.答案0x2x2，解得0x0，均有3x2x；当a0，且a1时，有a3a2；y()x是增函数；y2|x|的最小值为1；在同一平面直角坐标系中，y2x与y2x的图象关于y轴对称答案解析任取x0，均有3x2x，正确；当a1时，a3a2，当0a1时，a30，且a1)的值域为1，)，则a的取值范围为_，f(4)与f(1)的大小关系是_.答案(1，)f(4)f(1)解析因为|x1|0，函数f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域为1，)，所以a1.由于函数f(x)
18、a|x1|在(1，)上是增函数，且它的图象关于直线x1对称，则函数f(x)在(，1)上是减函数，故f(1)f(3)，f(4)f(1)16已知函数y9xm3x3在区间2，2上单调递减，则m的取值范围为_.答案(，18解析设t3x，则y9xm3x3t2mt3.因为x2，2，所以t.又函数y9xm3x3在区间2,2上单调递减，即yt2mt3在区间上单调递减，故有9，解得m18.所以m的取值范围为(，18四、解答题17. 函数yF(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)ax与幂函数g(x)xb“拼接”而成(1)求F(x)的解析式；(2)比较ab与ba的大小；(3)若(m4)b(32m)b，求m的
19、取值范围解(1)依题意，得解得所以(2)因为ab2，ba，指数函数yx在R上单调递减，所以2，即abba.(3)由(m4)(32m)，得解得m0，且a1)(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立解(1)由于ax10，则ax1，得x0，函数f(x)的定义域为x|x0关于原点对称，对于定义域内任意x，有f(x)(x)3(x)3(x)3x3f(x)，函数f(x)为偶函数(2)由(1)知f(x)为偶函数，只需讨论x0时的情况当x0时，要使f(x)0，则x30，即0，即0，则ax1.又x0，a1.当a(1，)时，f(x)0在定义域上恒成立19(2022海南省高三
20、第一次联考)已知函数f(x)2x，g(x)x22ax.(1)当a1时，求函数yf(g(x)(2x3)的值域；(2)设函数h(x)若ab0，且h(x)的最小值为，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(g(x) (2x3)，令x22x，y2，x2,3，1,8，而y2是增函数，y256，函数的值域是.(2)当a0时，则b0，g(x)在(，a)上单调递减，在(a，b)上单调递增，所以g(x)的最小值为g(a)a20，f(x)在b，)上单调递增，最小值为2b201，而h(x)的最小值为，所以这种情况不可能当a0时，则b0，g(x)在(，b)上单调递减且没有最小值，f(x)在b，)上单调递增，最小值为2b，所以h(x)的最小值为2b，解得b(满足题意)，所以g(b)gaf，解得a.所以实数a的取值范围是.
