1、江苏省扬州市2020届高三数学上学期期初调研试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共7分.请把答案填写在答题卡相应的位置上1.设集合,则_.【答案】2,4,6,8【解析】分析：详解：因为,表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.2.命题“，都有”的否定是_.【答案】，有【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定.【详解】全称命题否定是特称命题，故原命题的否定是“，有”.【点睛】本小题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题.3.设，则命题，命题，则是的_条件.（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“
2、既不充分又不必要”）.【答案】必要不充分【解析】【分析】比较命题和命题中的范围，由此判断充分、必要条件.【详解】由解得，而，故是的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4.矩阵的特征值为_.【答案】3和1【解析】【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可求得特征值.【详解】依题意，特征多项式，令，解得或.【点睛】本小题主要考查特征值的求法，属于基础题.5.函数的定义域为_【答案】(1，3【解析】【分析】根据幂函数与对数函数的性质，列不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式
3、的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.6.已知，则的值是_.【答案】【解析】【分析】将题目所给指数式改写为对数式，然后根据对数运算，求得的值.【详解】依题意，所以.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数运算，属于基础题.7.在平面直角坐标系中，将函数的图像向右平移 个单位长度若平移后得到的图像经过坐标原点，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据图像变换的原则可得,由图像过原点可得,所以,进
4、而根据求得即可【详解】平移后的解析式为,因为函数图像过原点,则，即,所以,即,因为,当时,故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数图像变换,考查已知函数值求角,考查运算能力8.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】要使在上递增，根据复合函数单调性，需二次函数对称轴在的左边，并且在时，二次函数的函数值为非负数，即，解得.即实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.9.在中，角对边分别为，已知_.【答案】【解析】由及正弦定理得
5、，又，.在中，由正弦定理得，答案：10.已知，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得的值.将所求表达式化为只含的式子，由此求得表达式的值.【详解】依题意.而.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、二倍角公式和降次公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得的取值范围.【详解】由于故函数为奇函数，而为上的增函数，故由，有，所以，即，将主变量看成（），表示一条直线在上纵坐标恒小于零，则有，解得.所以填.【点
6、睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.12.在锐角中，点D在边BC上，且与面积分别为2和4，过D作于E，于F，则的值是_【答案】【解析】【分析】由与面积分别为2和4得，然后可得，然后利用求出即可.【详解】因为与面积分别为2和4；，结合，解得，；的值为：故答案为：【点睛】本题考查的是三角形面积公式的应用，属于中档题.13.设且则使函数在区间上不单调的的个数是_.【答案】3【解析】【分析】将问题转化为在区间上有对称轴来解决，列出关于的不等式组，解不等式组求得的取值范围，从而确定个数.【详解】由于函数在区间上不单调，故在区
7、间上有对称轴，由，有，故，由于，故有，即，求得，故填.【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、对称性，考查一元一次不等式的解法，属于中档题.14.已知，函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】画出函数的图像，对分成，等种情况，研究零点个数，由此求得的取值范围.【详解】令，画出函数的图像如下图所示，由图可知，（1）当或时，存在唯一，使，而至多有两个根，不符合题意.（2）当时，由解得，由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故时，符合题意.（3）当时，由解得，由化简得，其判别式为负数，
8、没有实数根；由化简得，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.故当时，不符合题意.（4）当时，由，根据图像可知有三个解，不妨设.即即.i）当时，故三个方程都分别有个解，共有个解，不符合题意.ii)当时，有个解，分别有个解，共有个解，不符合题意.iii）当时，无解，分别有个解，共有个解，符合题意.iv）当时，无解，有个解，有两个解，共有个解，不符合题意.v）当时，无解，无解，至多有个解，不符合题意.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查复合函数零点问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题：本大题共10小题，共计90分，请在答题卡指定区域内
9、作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点.（1）求的值；（2）若，且，求角的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得的值，然后利用二倍角公式求得的值，进而求得的值.（2）先求得的范围，由此求得的值，利用以及两角差的正弦公式，求得的值，由此求得的值.【详解】解：（1）角的终边上有一点P，（2）由，得则因，则.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，属于中档题.16.已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是上的增函数.（1
10、）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用判别式求得为真时的取值范围.根据指数函数的单调性求得为真时的取值范围.由于为真命题，所以真真，求两个的范围的交集，得到最终的取值范围.（2）求得假真时的取值范围，即集合，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解:（1）由为真命题知，解得，所以的范围是，由为真命题知，取交集得到.综上，的范围是.（2）由（1）可知，当为假命题时，；为真命题，则解得：则的取值范围是即，而，可得，解得：所以，的取值范围是【点睛】本小题主要考查根
11、据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集为空集的条件，考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题.17.在中，分别为角，所对边的长，.（1）求角的值：（2）设函数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的值.（2）首先化简为的形式，在根据的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.【详解】解：（1）在中，因为，由正弦定理，所以即，由余弦定理，得又因为，所以（2）因为由（1）可知，且在中，所以，即所以，即所以的取值范围为【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查降次公式、辅
12、助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.18.如图，在P地正西方向16km的A处和正东方向2km的B处各一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F（1）若在P处看E，F的视角，在B处看E测得，求AE，BF；（2）为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设，公路PF的毎千米建设成本为a万元，公路PE的毎千米建设成本为8a万元为节省建设成本，试确定E，F的位置，使公路的总建设成本最小【答案】（1），（2）当AE为4km，且BF为8km时，成本最小【解析】【分析】（1）首先由条件可得，然后分别得到和，然后利用即可求出（2）首先得出，然后利用导数求
13、出其单调性即可【详解】（1）中，由题意可知，则；在中，在中；因为，所以，于是，所以；所以，（2）在中，由题意可知，则；同理在中，则；令，则，令，得，记，当时，单调递减；当时，单调递增；所以时，取得最小值，此时；所以当AE为4km，且BF为8km时，成本最小【点睛】本题考查的是三角函数的实际应用，属于中档题.19.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”.(1)判断函数是否为“依附函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域上“依附函数”，求的取值范围；(3)已知函数在定义域上为“依附函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.【答案】
14、(1)不是，理由见解析；(2)；(3).【解析】【分析】（1）举出反例：取，但是不存在，即可判定；（2）根据依附函数的关系，结合在递增，故，即，即可求得取值范围；（3）根据依附函数的关系结合单调性分析可得，将问题转化为存在，使得对任意的，有不等式都成立，即关于t的不等式恒成立，即可求解.【详解】(1)对于函数的定义域内存在，则，无解.故不是“依附函数”；(2)因为在递增，故，即，由，故，得，从而在上单调递增，故，(3)若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；若故在上单调递减，从而，解得（舍）或.从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，即恒成立，由，得，由，可得，又在单调递减，故当时，从而，解
15、得，综上，故实数的最大值为.【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于读懂题意，根据依附函数的定义分别判别求值，本题对转化与化归思想考查较多，将问题进行等价转化求解，最后一问的不等式一定弄清“主元”避免混淆.20.己知函数在处的切线方程为，函数（1）求函数解析式；（2）求函数的极值；（3）设（表示p，q中的最小值），若在上恰有三个零点，求实数k的取值范围【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）求出，然后利用和建立方程组求解即可（2）求出，然后分和两种情况讨论即可（3）由于仅有一个零点1，且恒成立，条件可转化为在上有且仅有两个不等于1的零点，然后分、四种情况讨论.【详解】（1），因为
16、在处的切线方程为，所以，解得，所以（2）的定义域为，若时，则在上恒成立，所以在上单调递增，无极值若时，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以当时，有极小值，无极大值（3）因为仅有一个零点1，且恒成立，所以在上有且仅有两个不等于1的零点当时，由（2）知，在上单调递增，在上至多一个零点，不合题意，舍去，当时，在无零点，当时，当且仅当等号成立，在仅一个零点，当时，所以，又图象不间断，在上单调递减，故存在，使，又，下面证明，当时，在上单调递增，所以，又图象在上不间断，在上单调递增，故存在，使，综上可知，满足题意的k的范围是【点睛】本题考查的是知识点有导数的几何意义、利用导数研究函数的极值和零点
17、问题，属于综合题.21.己知矩阵.（1）求；（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据逆矩阵的求法，求得的逆矩阵.（2）设出上任意一点的坐标，设出其在矩阵对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入方程，化简后可求得的方程.【详解】解（1）设所求逆矩阵为，则，即，解得，所以.（2）设曲线上任一点坐标为，在矩阵对应的变换作用下得到点，则，即，解得.因为，所以，整理得，所以的方程为.【点睛】本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.22.在直角坐标系
18、中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离.【答案】（1）的普通方程为；的普通方程为；（2）.【解析】【分析】（1）消去曲线参数方程的参数，得到的普通方程，根据极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得的直角坐标方程.（2）设出曲线的参数方程，利用点到直线距离公式求得点到曲线的距离的表达式，再根据三角函数最值求得到曲线的最小距离.【详解】解:（1）消去参数得到，故曲线的普通方程为，由得到，即，故曲线的普通方程为（2）设点的坐标为，点到曲线的距离所以，当时
19、，的值最小，所以点到曲线的最小距离为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查椭圆上的点到直线的最小距离的求法，考查三角函数辅助角公式以及最值的求法，属于中档题.23.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得，再根据三角形中位线性质得为的中点（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相
20、等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设，的交点为，连接因为平面，平面平面，所以因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点 （2）取的中点，连接，因为，所以又平面平面，且平面，所以平面因为平面，所以因为是正方形，所以 如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，于是平面的法向量为，所以由题知二面角为锐角，所以它的大小为 （3）由题意知， 设直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为24.袋中装有9只球，其中标有数字1，2
21、，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量的分布列和期望.【答案】（1）；（2）的分布列见解析；期望是【解析】【分析】（1）先计算出一次取出的个小球上有两个数字相同的概率，然后用减去这个概率，求得取出的3个小球上的数字互不相同的概率.（2）所有可能的取值为：2，3，4，5，根据分类加法计数原理和古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】解:（1）一次取出的个小球上的数字互不相同的事件记为则为一次取出的个小球上有两个数字相同（2）由题意可知所有可能的取值为：2，3，4，5；的分布列为：2345则答：随机变量的期望是【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用对立事件的方法计算概率，考查分类加法计数原理，考查离散型随机变量分布列和期望的求法，属于中档题.- 24 -
