1、第3章 3.1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是()A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bc解析：对于A，可举反例：当ab时，ab0；对于C，a2b2只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于D，abac可以移项整理推得a(bc)故选B.答案：B2正方体ABCDABCD中，向量与的夹角是()A30B45C60 D90解析：BCAD，ADB为正三角形，DAB60，60.答案：C3设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AA0，AA0，AA0，则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形
2、D不确定解析：如右图所示，设Aa，Ab，Ac，CC(ab)(cb)acbcabb2b20.同理BB0，DD0.故选B.答案：B4.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，则AC1的长为()A. B.C. D.解析：AA，|AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，A，A90，A，A，60.|A|.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5在空间四边形ABCD中，ACBACB_.解析：设Ab，Ac，Ad，则Cdc，Bdb，cb.原式0.答案：06已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为135，mab，nab
3、，则mn，则_.解析：mn(ab)(ab)|a|2abab|b|21834cos 13534cos 135166121664，mn，640，.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知正三棱锥ABCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AEEBAFFDCGGD12，求下列向量的数量积：(1)AD；(2)AB；(3)GA；(4)EB.解析：(1)|A|a，|a，A，D120，所以AD|D|cos 120a2.(2)因为BAA，所以ABA(AA)AAAA，又因为|A|a，|a，A，AA，A60，所以ABa2a20.(3)因为点F，G是AD，DC上的点
4、，所以GA，所以GA，因为a2，所以GAa2.(4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以EB，所以EBBB，结合图形可知B，B60，所以EBBBaacos 60a2.8在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|2|AM|，|CN|ND|，求|MN|.解析：MMBCA(AA)(AA)AAA.MM(AA)(AAA)AAAAAA2a2a2a2a2a2a2a2.故|M|a.即|MN|a.尖子生题库9(10分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a.(1)用向量法求A1B和B1C的夹角；(2)用向量法证明A1BAC1；(3)用向量法求AC1的长度解析：(1)因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，所以|a.因为A，A，所以(A)(A)a2，所以cos，即A1B和B1C的夹角为60；(2)证明：因为AA，A，所以0，A1BAC1；(3)由(2)知，AA，所以2(AA)23a2，所以|AC1a.
