1、高考大题规范练(五)平面解析几何1已知椭圆C：y21的上、下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与直线l：y2分别交于点M，N。(1)设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)求线段MN长的最小值。解(1)证明：由题意，A(0,1)，B(0，1)，令P(x0，y0)，则x00，直线AP的斜率k1，BP的斜率k2。又点P在椭圆上。y1(x00)，从而有k1k2。即k1k2为定值。(2)由题设可以得到直线AP的方程为y1k1(x0)，直线BP的方程为y(1)k2(x0)，由得由得直线AP与直线l的交点M，直线BP与直线l的交点N。又k1k2，|M
2、N|4k1|2 4，当且仅当|4k1|，即k1时取等号，故线段MN长的最小值是4。2(2016北京西城模拟)已知A，B是抛物线W：yx2上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k(k0)。设抛物线W的焦点在直线AB的下方。(1)求k的取值范围；(2)设C为W上一点，且ABAC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由。解(1)抛物线yx2的焦点为。由题意，得直线AB的方程为y1k(x1)，令x0，得y1k，即直线AB与y轴相交于点(0,1k)。因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，所以1k，解得k0，所以0kb0)过点P(1，1)，c为
3、椭圆的半焦距，且cb。过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N。(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l1的斜率为1，求PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程。解(1)由条件得1，又c22b2，所以a23b2，所以b2，a24，所以椭圆C的方程为1。(2)易知l1的方程为y1(x1)，即yx2。由消去y，得x23x20，所以M(2,0)，同理易得N(1,1)。因为P(1，1)，所以|PM|，|PN|2，所以PMN的面积为22。(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减得(x1x2)(x1x2)3(y1y2)(y1y2)0。因为线段MN的中
4、点在x轴上，所以y1y20，从而可得(x1x2)(x1x2)0。若x1x20，则N(x1，y1)。因为PMPN，所以0，得xy2。又因为x3y4，所以x11，所以M(1,1)，N(1，1)或M(1，1)，N(1,1)，所以直线MN的方程为yx。若x1x20，则N(x1，y1)。因为PMPN，所以0，得y(x11)21。又因为x3y4，所以x1或x11。经检验：x满足条件，x1不满足条件。综上，直线MN的方程为xy0或x。4.如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为。(1)求a，b的值；(2)过点B的
5、直线l与C1，C2分别交于P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程。解(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点。设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2。a2，b1。(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)。易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240。(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根。由根与系数的关系，得xP，从而yP，点P的坐标为。同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)。(k，4)，k(
6、1，k2)。APAQ，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k。经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)。5已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标。解(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1。(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(2,0)，设T点的坐标为(3，m)。则直线TF的斜率kTFm。当m0时，直线PQ的斜率kPQ。直线PQ的方程是xmy2。当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式。设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0。所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4。所以PQ的中点M的坐标为。所以直线OM的斜率kOM，又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ。由可得，|TF|，|PQ| 。所以 。当且仅当m21，即m1时，取等号，此时取得最小值。所以当最小时，T点的坐标是(3,1)或(3，1)。
