1、3.2.3直线的一般式方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线的一般式方程(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)都表示直线(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化(难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学学科素养直线的一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示(3)系数的几何意义：当B0时，则k(斜率)，b(y轴上的截距)；当B0，A0时，则a(x轴上的截距)，此时
2、不存在斜率思考：当A0或B0或C0时，方程AxByC0分别表示什么样的直线？提示(1)若A0，则y，表示与y轴垂直的一条直线(2)若B0，则x，表示与x轴垂直的一条直线(3)若C0，则AxBy0，表示过原点的一条直线1在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是()A30B60C150D120C直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.2若方程AxByC0表示直线，则A，B应满足的条件为()A. A0 B. B0C. AB0 D. A2B20D方程AxByC0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2B20. 故选D. 3斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为_2xy10由直线点斜式方程可
3、得y32(x1)，化成一般式为2xy10.4过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线的一般式方程是_3x2y60由截距式得，所求直线的方程为1，即3x2y60.直线的一般式方程【例1】根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是，经过点A(8，2)；(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是，3；(4)经过两点P1(3，2)，P2(5，4).解(1)由点斜式得y(2)(x8)，即x2y40.(2)由斜截式得y2，即y20.(3)由截距式得1，即2xy30.(4)由两点式得，即xy10.1求直线的一般式方程的策略(1)首先选择不同的形式求出直线方程，再整
4、理成AxByC0的形式(2)直线AxByC0中虽然参数含有三个，但其实只需两个即可：或点与斜率，或斜率和截距，或两个截距等2直线方程的几种形式的转化提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件1(1)下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是()A3x4y70B4x3y70C4x3y420 D3x4y420(2)直线x5y90在x轴上的截距等于()AB5 CD3(1)B(2)D(1)将一般式化为斜截式，斜率为的有：B、C两项又yx14过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确(2)令y0，则x3.由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直【例2】(1)已知直线l1：2x
5、(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解法一：(1)由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，l1l2，需.解得m2或m3，m的值为2或3.(2)由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1k21，即1，a1.综上可知，当a1或a1
6、时，直线l1l2.法二：(1)令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2，m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.1直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，(1)若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10).(2)若l1l2A1A2B1B20.2与直线AxByC0平行或垂直的直线方程的设
7、法：与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC)；与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0.2已知直线l的方程为3x4y120，求直线l的一般式方程，l满足(1)过点(1，3)，且与l平行；(2)过点(1，3)，且与l垂直解法一：由题设l的方程可化为yx3，l的斜率为.(1)由l与l平行，l的斜率为.又l过(1，3)，由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90.(2)由l与l垂直，l的斜率为，又过(1，3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，即4x3y130.法二：(1)由l与l平行，可设l方程为3x4ym0.将点(1，3)代入上式得m9.所求直线方程为3x4y90.(
8、2)由l与l垂直，可设其方程为4x3yn0.将(1，3)代入上式得n13.所求直线方程为4x3y130.与含参数的一般式方程有关的问题探究问题1直线kxy13k0是否过定点？ 若过定点，求出定点坐标提示kxy13k0可化为y1k(x3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3，1).2若直线ykxb(k0)不经过第四象限，k，b应满足什么条件？提示若直线ykxb(k0)不经过第四象限，则应满足k0且b0.【例3】已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围思路探究：(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过
9、第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.解(1)证明：法一：将直线l的方程整理为ya，直线l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限法二：直线l的方程可化为(5x1)a(5y3)0.上式对任意的a总成立，必有即即l过定点A. 以下同法一(2)直线OA的斜率为k3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率akOA3，a3.1本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？解由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有0a3.2本例中将方程改为“x(a1)ya20”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
10、解(1)当a10，即a1时，直线为x3，该直线不经过第二象限，满足要求(2)当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为yx，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a1.综上可知a1.直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标(2)将方程转化为f(x，y)mg(x，y)0；解方程组的解(x0，y0)；(x0，y0)即为含参数直线的定点1根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1k2且b1b2；若都不存在，则还要判定不重合(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1xB1yC1
11、0，l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10，或A1C2A2C10.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性2根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k21.(2)一般地，设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.第二种方法可避免讨论，减小失误1直线1，化成一般式方程为()Ayx4By(x3)C4x3y120 D4x3y12C直线1化成一般式方程为4x3y120.2如果axbyc0表示的直线是
12、y轴，则系数a，b，c满足条件()A.bc0 Ba0Cbc0且a0 Da0且bc0Dy轴方程表示为x0，所以a，b，c满足条件为bc0，a0.3已知直线l的斜率是直线2x3y120的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x3y120在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为_x3y240直线2x3y120的斜率为，所以kl.又直线2x3y120在y轴的截距为4，所以直线l在y轴上的截距为8，所以直线l的方程为yx8，即x3y240.4已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的截距为4，则直线l的点斜式方程为_；截距式方程为_；斜截式方程为_；一般式方程为_y4(x0)1yx4xy40点斜式方程：y4(x0)，截距式方程：1，斜截式方程：yx4，一般式方程xy40.5已知直线l1：ax2y30，l2：3x(a1)ya0，求满足下列条件的a的值(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)l1l2，解得a2.(2)l1l2得a32(a1)0，得a.
