1、第一课时 空间向量与平行、垂直关系 【课标要求】1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题和垂直问题.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系和垂直关系.自主学习 基础认识|新知预习|1平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线的向量(2)平面的法向量直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 的法向量平行或共线2空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则 lmababa1a2，b1b2，c1c2(R)(2)线面平行设直线 l 的方向向量为 a(a1，b1，c1
2、)，平面 的法向量为u(a2，b2，c2)，则 lauau0 .(3)面面平行设平面，的法向量分别为 u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则 uv a1a2，b1b2，c1c2(R)a1a2b1b2c1c20a1b1a2b2a3b303空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线 l 的方向向量为 a(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b(b1，b2，b3)，则 lmab0 .(2)线面垂直设直线 l 的方向向量是 a(a1，b1，c1)，平面 的法向量是u(a2，b2，c2)，则 laauaua1a2，b1b2，c1c2(R)(3)面面垂直若平面 的法向量 u(a1，b1
3、，c1)，平面 的法向量 v(a2，b2，c2)，则 uvuv0 .a1b1a2b2a3b30a1a2b1b2c1c20|自我尝试|1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)直线 l 的方向向量是惟一的()(2)若点 A，B 是平面 上的任意两点，n 是平面 的法向量，则ABn0()(3)若向量 n1，n2 为平面 的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行()2若 n(2，3,1)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量的是()A(0，3,1)B(2,0,1)C(2，3,1)D(2,3，1)解析：问题即求与 n 共线的一个向量即 n(2，3，1)(2,3，1
4、)答案：D3已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为 u(1，3，z)，向量 v(3，2,1)与平面 平行，则 z 等于()A3 B6C9 D9解析：l，v 与平面 平行，uv，即 uv0，1332z10，z9.答案：C4在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.设正方体的棱长为 1.则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E12，12，1，CE12，12，1，AC(1,1,0
5、)，BD(1，1,0)，A1D(1,0，1)，A1A(0,0，1)CEBD(1)12(1)12 010，CEBD.答案：B5如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：(1)直线 AB 的方向向量有_个；(2)平面 AA1B1B 的法向量有_个8 8 解析：(1)直线 AB 的方向向量有：BA，AB，CD，DC，B1A1，A1B1，C1D1，D1C1，共 8 个(2)平面 AA1B1B 的法向量有：DA，AD，CB，BC，D1A1，A1D1，C1B1，B1C1，共 8 个 课堂探究 互动讲练类型一 求平面的法向量例 1 已知平面 经过三点 A(1,
6、2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，求平面 的一个法向量【解析】因为 A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，所以AB(1，2，4)，AC(2，4，3)设平面 的法向量为 n(x，y，z)，则有 nAB0，nAC0，即x2y4z0，2x4y3z0.得 z0，x2y，令 y1，则 x2，所以平面 的一个法向量为 n(2,1,0).方法归纳利用待定系数法求法向量的解题步骤跟踪训练 1 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，棱长为 1，G，E，F 分别为 AA1，AB，BC 的中点，求平面 GEF 的一个法向量解析：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x
7、 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz.则 E1，12，0，F12，1，0，G1，0，12.由此得GE 0，12，12，EF12，12，0.设平面 GEF 的法向量为 n(x，y，z)由 nGE，nFE可得，nGE 12y12z0，nFE12x12y0，zy，xy.令 y1，则 x1，z1，即平面 GEF 的一个法向量为 n(1,1,1).类型二 用空间向量证明平行问题例 2 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD1 的中点，求证：(1)FC1平面 ADE；(2)平面 ADE平面 B1C1F.【证明】如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz，则有
8、D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC1(0,2,1)，DA(2,0,0)，AE(0,2,1)(1)设 n1(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1DA，n1AE，即n1DA 2x10，n1AE2y1z10，得x10，z12y1，令 z12，则 y11，所以 n1(0，1,2)因为FC1 n1220，所以FC1 n1.又因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.(2)因为C1B1(2,0,0)，设 n2(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量 由 n2FC1，n2C1B1，得
9、n2FC1 2y2z20，n2C1B1 2x22，得x20，z22y2.令 z22，得 y21，所以 n2(0，1,2)，因为 n1n2，所以平面 ADE平面 B1C1F.方法归纳利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.跟踪训练 2 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S 分别是 AA1，D1C1，AB，CC1 的中点求证：PQRS.证明：法一：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x 轴
10、，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.则 P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，PQ(3,2,1)，RS(3,2,1)，PQ RS，PQ RS，即 PQRS.法二：RSRCCS12DC DA 12DD1，PQ PA1 A1Q 12DD1 12DC DA，RSPQ，RSPQ，即 RSPQ.类型三 空间向量向量证明垂直问题例 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1，D1B1 的中点，求证：EF平面 B1AC.【证明】设正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，
11、B，(2,2,2),E(2,2,1)，F(1,1,2)法一：EF(1，1,1)，AB1(0,2,2)，AC(2,2,0)，EFAB1(1，1,1)(0,2,2)0，EFAC(1，1,1)(2,2,0)0，EFAB1，EFAC，又 AB1ACA，EF平面 B1AC.法二：设平面 B1AC 的法向量为 n(x，y，z)又AB(0,2,2)，AC(2,2,0)，则 nAB1，nACnAB1 2y2z0，nAC2x2y0，令 x1，可得平面 B1AC 的一个法向量为 n(1,1，1)又EFn，EFn，EF平面 B1AC.方法归纳(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方
12、向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为 0.跟踪训练 3 在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AS底面 ABCD，且 ASAB，E 是 SC 的中点求证：平面 BDE平面 ABCD.解析：设 ASAB1，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E12，12，12.方法一 如图，连接 AC，交 BD 于点 D，连接 OE，则点 O的坐标为12，12，0.易知AS(0,0,1)，OE 0，0，12，OE 12AS，OEAS.
13、又 AS底面 ABCD，OE平面 ABCD.又 OE平面 BDE，平面 BDE平面 ABCD.方法二 设平面 BDE 的法向量 n1(x，y，z)易知BD(1,1,0)，BE12，12，12，n1BD，n1BE，即n1BD xy0，n1BE12x12y12z0.令 x1，可得平面 BDE 的一个法向量为 n1(1,1,0)AS底面 ABCD，平面 ABCD 的一个法向量为 n2AS(0,0,1)n1n20，平面 BDE平面 ABCD.|素养提升|1向量法处理空间平行问题的两个应用(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求
14、出字母的值(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式2空间垂直关系的判断方法(1)坐标法：利用图形建立恰当的坐标系，把空间垂直问题转化为向量坐标的计算问题(2)向量法：通过将相关向量用基向量表示，然后通过数量积运算完成证明的方法3向量法证明空间几何问题的两种基本思路思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断思路二：用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题(2)通过向
15、量运算，研究点、线、面之间的位置关系(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题|巩固提升|1已知 a1，2，52，b32，x，y 分别是直线 l1，l2 的一个方向向量若 l1l2，则()Ax2，y152 Bx32，y154Cx3，y15 Dx3，y154解析：l1l2，321x2y52，x3，y154，故选 D.答案：D2已知平面 内有一个点 A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是()A(1，1,1)B.1，3，32C.1，3，32 D.1，3，32解析：依题意知，PAn，所以PAn0，逐一验证可知，选 B.答案：B3如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D 是 A1C1 的中点，点 E 在棱 AA1 上，要使 CE面 B1DE，则 AE_.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 B1(0,0,3a)，C(0，2a,0)，D2a2，2a2，3a.设 E(2a,0，z)(0z3a)，则CE(2a，2a，z)，B1E(2a,0，z3a)，B1D 2a2，2a2，0.又CEB1D a2a200，由题意得 2a2z23az0，解得 za 或 2a.故 AEa 或 2a.答案：a 或 2a
