1、2020年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考数 学 试 题试卷满分：150分 考试时间： 分钟：120分钟第卷(60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.随机变量服从二项分布B（，），且E=300，D=100，则等于（ ）A. B.0 C.1 D.2.已知函数，则=()A. B. C. D. 3.记Sn为等差数列an的前n项和若a6a724，S848，则an的公差为()A1 B3 C4 D84.“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”.自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北,某医院组建了由7位援
2、助专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（ ）A.105种 B.210种 C.630种 D.1260种5.若椭圆和双曲线的共同焦点为，是两曲线的一个交点，则的值为 ( )A.B.C.D.6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动六次后位于点(2,4)的概率是()A. B.C.D. 7.,则A.40B.C.80D.8.已知直线ya分别与函数y和y交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是()A. B.C. D.9.如图,是双曲线的左、右焦点，过的
3、直线与双曲线左、右两支分别交于点，若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.10.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D. EDCBAF11.如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为( )A. B. C. D. 12. 已知函数,若存在，使得成立，则的最小值为（）ABCD 第卷(90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.顶点在原点，且过点P(2，3)的抛物线的标准方程是_.14.若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是
4、_.15.某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为_.16.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5 ，10 ，10，5，则此数列的前119项的和为_.(参考数据：，)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤。17.(10分)已知数列an满足an+1an=0(nN*),且,成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=(nN*),求数列bn的前n项和为.18.（12分）已知函数f(x)，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为2，求a的值. 19.（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，点为棱的中点，点分别为棱上的动点(与所在棱的端点不重合），且满足.(1)证明:平面平面;(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.20.（12分）某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
6、方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元.某工厂准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5201015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.(1)求X的分布列；(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？21.（12分）已知点为
7、圆上的动点，点在轴上的投影为，点为线段AB的中点，设点的轨迹为.(1)求点的轨迹的方程；(2)已知直线与交于两点，若直线的斜率之和为3，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.22.（12分）已知函数，函数的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的表达式；（2）若，且在上的最小值为，证明：当时，.2020年高二期中联考数学试题参考答案及评分标准一、选择题题号123456789101112答案ADBCACACBCAD二、填空题13. 或 14. 15. 16. 131022 第12题 参考解析：解：函数f（x）的定义域为（0，+），当x（0，e）时，f（x）0，f（x）单调递
8、增，当x（e，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，又f（1）0，所以x（0，1）时，f（x）0； x（1，+）时，f（x）0，同时,若存在，使得成立，则且，所以，即x2lnx1，又所以，故，令，k0，则，令，解得，令，解得，在（，3）单调递减，在（3，0）单调递增，故选：D三、解答题17.(1)数列an满足an+1an=0(nN*),可得数列an是公比为2的等比数列,又知a2,a3+2,a4成等差数列,可得2(a3+2)=a2+a4,即2(4a1+2)=2a1+8a1,解得a1=2,则an=2n. 5分(2)由（1）知an=2n，所以=7分=9分则.10分18.解(1)易知f(x)的定义域为
9、(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0；当x1时，f(x)0得a 0，结合x(0，e，解得0x；令f(x)0得a 0，结合x(0，e，解得xe.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，10分f(x)max1=，得，即a.，a为所求.故实数a的值为.12分19.（1）证明：连接AC交BD于N，连接MN，底面ABCD为正方形，ACBD，ANNC，又PMMC，MNPA，2分由PA底面ABCD知，MN底面ABCD，又AC底面ABCD，ACMN，又BDMNN，BD，MN平面MBD，AC平面MBD，4分在ABC中，BEBF，BABC，即EFAC，EF平面MBD，
10、又EF平面PEF，平面PEF平面MBD；6分（2）解：设BEBFx，由题意，又PA4，当x2时，三棱锥FPEC的体积最大8分即此时E，F分别为棱AB，BC的中点以A为坐标原点，分别以AF，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（，2，0），F（2，0，0），E（，0），M（，1，2），设为平面MEF的一个法向量，则，取1，得：9分设为平面MEC的一个法向量，则，取1，得：10分则，由图知所求二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.12分20.解：(1)所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.，的分布列为01234566分(2)选择延保方案一，所需费用元的分布列为：7009
11、00110013001500P(元). 8分选择延保方案二，所需费用元的分布列为：100011001200P(元). 10分，该工厂选择延保方案一较合算. 12分21.(1) 设点，由题意可知，即，即，又点在圆上，代入得，即椭圆的方程为.5分（2）设M（x1，y1），B（x2，y2），当l的斜率存在时，设l：ykx+m，由，得（4k2+1）x2+8kmx+4m240，（8km）24（4m24）（4k2+1）0，即4k2m2+10，7分直线QM，QN的斜率之和为3，2k+3，2k3，8分当时，由 4k2m2+10，即或时符合题意，此时，直线l：ykx+恒过定点（，），10分当l的斜率不存在时，x1x2，y1y2，直线QM，QN的斜率之和为3，x2，此时直线l：x，恒过定点（，）12分22.解析：（1）因为，函数的图象在点处的切线方程为.所以，即，又，所以.2分所以. 4分（2）由题意， 的定义域为，当时，恒成立，单调递增，所以，所以.6分要证，即证，只需证.令，则，令（），则，8分所以在上单调递增.又，,所以有唯一的零点；10分当时，即，单调递减，当时，即，单调递增，所以11分又因为，所以，所以，故.12分
