1、专题二 图形的裁剪、平移与拼接 目 录 类型三 以图形折叠为背景求角类型二 求相关图形的周长类型四 以图形折叠为背景求线段长类型一 求有关图形的面积数据剖析 题型突破 3 求有关图形的面积 一 求阴影部分图形的面积的有关计算,是河北中考的热点题型,多以选择题、填空题的形式考查阴影部分的面积,通常结合图形的变换来考查,分值在23分,难度中等.求解这类问题的关键是将阴影部分的图形转化为可求解的规则图形的组合.通过等量代换将不规则的图形转化为常见图形来解决.方法:和差法、变换法、代数法.返回子目录 题型讲解 方法点拔 解题技巧 如图 1,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线 AC,E
2、G 剪开,拼成如图2所示的KLMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且KLMN的面积为50,则正方形 EFGH 的面积为()A.24 B.25 C.26 D.27返回子目录 分析：根据图2先确定长方形的长与宽和正方形边长之间的关系,再根据KLMN的面积为50列方程即可求解.例题1B解析：设长方形纸片ABCD的长为c,宽为b,正方形纸片 EFGH的边长为a,则由图2可知,a-b=c-a,于是2a=b+c;由长方形ABCD的面积+正方形EFGH的面积+空白面积=50,即bc+a2+(a-b)(c-a)=50,得a(c+b)=50;将2a=b+c代入,得2a2=50,所以a2=25,即正方
3、形EFGH 的面积为25.返回子目录【高分点拨】阴影部分的面积往往都是不规则图形,所以把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解决这类问题的主要思路,以下介绍几种常用的方法:和差法,不改变图形的位置,用规则图形面积的和或差表示,经过计算即得所求图形面积;移动法,通过平移、旋转、割补、等体积变换等将图形的位置进行移动求解;代数法,借助于列方程(组),通过解方程求解.(2021保定模拟)如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为2a,则纸片的剩余部分的面积为()A.5a B.4a C.3a D.2a 返回子目录 解析:如图所示:可将正六边形分为6个全等的三角形,
4、阴影部分的面积为2a,每一个三角形的面积为a.剩余部分可分割为4个三角形,剩余部分的面积为4a.故选B.当堂检测1B数据剖析 题型突破 3 求相关图形的周长 二 求阴影部分图形的周长的有关计算,是河北中考的热点题型,多以选择题、填空题的形式考查阴影部分的周长,通常结合图形的变换来考查,分值在23分,难度中等.求解这类问题的关键是将阴影部分的图形转化为可求解的规则图形的组合.通过等量代换将不规则的图形转化为常见图形来解决.方法:和差法、变换法、代数法.返回子目录 题型讲解 方法点拔 解题技巧 如图,等边三角形ABC的边长为1 cm,D,E分别是AB,AC上的点,将ADE沿直线DE折叠,点A落在点
5、A处,且点A在ABC外部,则阴影部分的周长为()A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm返回子目录 分析：由题意,得AE=AE,AD=AD,故阴影部分的周长可以转化为ABC的周长.解析：将ADE沿直线DE折叠,点A落在点A处,AD=AD,AE=AE.阴影部分图形的周长=BC+BD+CE+AD+AE=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=3(cm).故选C.例题2C【高分点拨】此类问题涉及的阴影部分的图形一般为不规则的图形,解决的方法有以下三种:在规则图形中找与所求图形存在数量关系的边,利用勾股定理或锐角三角函数求得线段长度,有时会涉及弧长;将所求图形进行平移、拼接,转化
6、为规则图形的和差关系求解;构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系求解.(2018河北中考)如图,点I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为()A.4.5 B.4 C.3 D.2 返回子目录 解析:如图,连接AI,BI.点I为ABC的内心,AI平分CAB,CAI=BAI.由平移,得ACDI,CAI=AID.BAI=AID.AD=DI.同理,得BE=EI.DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,即图中阴影部分的周长为4.故选B.当堂检测2B以图形折叠为背景求角是近年来中考的热点问题,通常是把某个图形按照给定的条件折叠
7、,通过折叠前后图形变换的相互关系来命题.折叠型问题立意新颖,变化巧妙,对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效.解决这类问题首先要熟练掌握折叠的性质,明确哪些量在折叠前后是不变的,利用这些不变的量将已知和未知建立起联系,从而顺利解决问题.返回子目录 题型讲解 方法点拨 解决此类问题,要掌握以下知识:(1)折叠的性质:位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形;满足折叠性质,即折叠前后的两部分图形全等,对应角相等.(2)找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系.(3)一般运用平行线,角平分线,三角形全等,直角三角形,相似三角形等知识进行解答.解题技巧 如图,矩形纸片ABCD,AB=
8、4,BC=3,点P在边BC上,将CDP沿DP折叠,点C落在点E处,PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则cosADF的值为()A.B.C.D.返回子目录 分析：先证明FEOPBO,得出线段EF与线段AF,DF之间的数量关系,再根据勾股定理列方程求出DF,即可求得cosADF的值.解析：四边形ABCD是矩形,A=B=C=90,DC=AB=4,DA=BC=3.CDP沿DP折叠,得到EDP,E=C=B=90,DE=DC=4,CP=PE,例题3C解析：在FEO与PBO中，=,=,=,FEOPBO(AAS),FE=PB,EO=BO,设FE=PB=x,则CP=PE=3-x,BF=BO+OF=OE
9、+OP=PE=3-x,AF=AB-BF=4-(3-x)=x+1,DF=DE-FE=4-x,在RtDAF中,由勾股定理,得DA2+AF2=DF2,即32+(x+1)2=(4-x)2,解得x=,DF=4-x=,cosADF=,故选C.返回子目录 【高分点拨】图形折叠时会出现相等的线段和相等的角,解题时要善于转化相应的等量关系,利用勾股定理列方程求解是本题的关键.已知一张三角形纸片ABC(如图甲),其中AB=AC.将纸片沿过点B的直线折叠,使点C落到边AB上的点E处,折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点E的直线折叠,点A恰好与点D重合,折痕为EF(如图丙).原三角形纸片ABC中,ABC的大小为 .返
10、回子目录 解析:设A=x,根据翻折不变性可知A=EDA=x,C=BED=A+EDA=2x,AB=AC,ABC=C=2x.A+ABC+C=180,5x=180,x=36,ABC=72.当堂检测372数据剖析 题型突破 3 以图形折叠为背景求线段长 四 以图形折叠为背景求线段的长是近年来中考的热点问题,通常是把某个图形按照给定的条件折叠,通过折叠前后图形变换的相互关系来命题.折叠型问题立意新颖,变化巧妙,对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效.有关图形折叠的相关计算,先要熟知折叠是一种轴对称变换,即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称;然后根据图形折叠的性质,即折叠前、后图形的
11、对应边和对应角相等,对应点的连线被折痕垂直平分进行相关计算.返回子目录 题型讲解 方法点拨 折叠问题中构造方程的方法:(1)用相似得方程;(2)把条件集中到一个直角三角形中,根据勾股定理得方程.解题技巧 以图形折叠为背景求线段长 四 如图,在O中,点C在优弧 上,将弧 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若O的半径为,AB=4,则BC的长是(）A.2 B.3 C.D.返回子目录 分析：连接AC,DC,OD,根据折叠的性质,圆内接四边形的性质求得A=CDA,再根据勾股定理即可求出BC的长.例题4B解析：如图,连接AC,DC,OB,OC,OD,过点C作CEAB于点E,过点O作OFCE于点F,在 上作
12、点D关于BC的对称点H,连接BH,CH.沿BC折叠,CDB=H.H+A=180,CDA+CDB=180,A=CDA,CA=CD.CEAD,AE=ED=1.D为AB的中点,AB=4,ODAB,BD=2.又OB=,OD=1.四边形OFED为正方形,OF=EF=1.又OC=,CF=2,CE=3.又BE=ED+BD=3,BC=3.返回子目录【高分点拨】利用折叠的性质,找出相等的线段和角,结合正方形、全等三角形、圆内接四边形和勾股定理即可求解.如图,ABC的面积为6,AC=3,现将ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的C处,P为直线AD上的一点,则线段BP的长不可能是()A.3 B.4 C.5
13、.5 D.10返回子目录 解析:如图,过B作BNAC于N,BMAD于M,将ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的C处,CAB=CAB,BN=BM.ABC的面积等于6,边AC=3,ACBN=6,BN=4,BM=4,即点B到AD的最短距离是4,BP的长不小于4,即只有选项A的3不正确,故选A.当堂检测4A返回子目录 1.(2021河北模拟)如图1,等边ABD与等边CBD的边长均为2,将ABD沿AC方向向右平移k个单位到ABD的位置,得到图2,则下列说法:阴影部分的周长为4;当k=时,图中阴影部分为正六边形;当k=时,图中阴影部分的面积是;正确的是()A.B.C.D.专题二 高效测评 C解
14、析：如图所示，两个等边ABD,CBD的边长均为2,将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置,AM=AN=MN,MO=DM=DO,OD=DE=OE,EG=EC=GC,BG=RG=RB,OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=2+2=4,故正确;k=,AF=,AM=AFcos30=1,MN=1,MO=(2-1)=,MOMN,阴影部分不是正六边形,故错误;阴影部分的面积=ABD的面积-AMN的面积-ODE的面积-RGB的面积=,故正确.故选C.2.(2021石家庄模拟)如图,在ABC中,C=90,BC=6,点D,E分别在AB,AC上,将ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,若CA=AA,则折痕
15、DE的长为()A.4B.3 C.2 D.解析:ABC沿DE折叠,使点A落在点A处,DEA=DEA=90,AE=AE,DEBC,ACBAED.CA=AA,AE=AE,AE=AC.ACBAED,=,即=,DE=2.故选C.C3.(2021保定模拟)如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折,点B落在点D的位置,且AD交y轴于点E.那么点D的坐标为()A.,B.,C.,D.,解析:如图,过D作DFAF于F,点B的坐标为(1,3),AO=1,AB=3,根据折叠可知CD=OA,而D=AOE=90,DEC=AEO,CDEAOE(AAS
16、),OE=DE,OA=CD=1,A根据折叠可知CD=OA,而D=AOE=90,DEC=AEO,CDEAOE(AAS),OE=DE,OA=CD=1,设OE=x,那么CE=3-x,DE=x,在RtDCE中,CE2=DE2+CD2,(3-x)2=x2+12,x=.DFAF,DFEO,AEOADF,而AD=AB=3,AE=CE=3-=,=,即=,DF=,AF=,OF=-1=,点D的坐标为 ,.故选A.4.(2020邯郸模拟)如图,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将BMN沿MN翻折得到FMN,若MFAD,FNDC,则D的度数为()A.115 B.105 C.95 D.85解析:MFAD,
17、FNDC,FMB=A=100,BNF=C=70,B+F=360-100-70=190,根据翻折的性质可知B=F,B=95,D=360-100-70-95=95,故选C.C5.(2020石家庄模拟)如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使点B落在点P处,折痕为EC,连接AP并延长AP交CD于点F,连接CP并延长交AD于点Q.给出以下结论:四边形AECF为平行四边形;PBA=APQ;FPC为等腰三角形;APBEPC.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4B解析:由折叠可知ECPB,EB=EP,E是AB的中点,EA=EB=EP.APB=90,即AFPB.AFEC
18、.又ABCD,四边形AECF是平行四边形,可见结论正确.EPQ=EPC=90,且由知APB=90,APQ=EPB.EP=EB,EPB=PBA.PBA=APQ,可见结论正确.若FPC是等腰三角形,则FCP=FPC=APQ=PBA,PCB=PBC.PB=PC.又PC=BC,PBC是等边三角形.由所给条件只能推出PBC是等腰三角形,可见结论错误.若APBEPC,则PB=PC,同可知,这个结论不一定能推出,可见结论错误.综上所述,结论正确,即有2个正确结论,故选B.6.(2020苏州模拟)如图,矩形ABCD中,BC=4,DC=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为 .(
19、结果保留)解析:如图,连接OE.阴影部分的面积=SBCD-(S正方形OECD-S扇形OED)=24-=.7.(2020杭州模拟)如图,在RtABC中,B=90,C=30,O为AC上一点,OA=2,以O为圆心,以OA为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE,OF,则图中阴影部分的面积是_.解析:在RtABC中,B=90,C=30,A=60.又OA=OF,OAF是等边三角形,AOF=60,COF=120.BC与O相切于点E,OEBC.在RtOCE中,OEC=90,C=30,OE=2,OC=22=4.在RtABC中,C=30,AC=AO+OC=2+4=6,AB=3,BC=ACcosC=
20、6=3.如图,设O与AC相交于点D,过点O作OGAF于点G,则OG=OAsin A=2=.SABC=ABBC=33=,SAOF=AFOG=2=,S扇形DOF=,S阴影部分=SABC-SAOF-S扇形DOF=-=-.8.(2020河北预测)如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于点Q,连接CM.下列结论:CQ=CD;四边形CMPN是菱形;P,A重合时,MN=2;PQM的面积S的取值范围是3S5.其中正确的_(把正确结论的序号都填上).解析:如图1,PMCN
21、,PMN=MNC,MNC=PNM,PMN=PNM,PM=PN.又NC=NP,PM=CN.又MPCN,四边形CNPM是平行四边形.又CN=NP,四边形CNPM是菱形,故正确.CPMN,BCP=MCP,MQC=D=90.CM=CM,若CQ=CD,则RtCMQRtCMD(HL),DCM=QCM=BCP=30,这个不一定成立,故错误.点P与点A重合时,如图2,设BN=x,则AN=NC=8-x,在RtABN中,AB2+BN2=AN2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,CN=8-3=5,AC=+=4,CQ=AC=2,QN=,MN=2QN=2.故正确.当MN过点D时,如图3,此时,CN最短,四边形CM
22、PN的面积最小,则S最小值=S菱形CMPN=44=4,当点P与点A重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大值=54=5,4S5,故错误.故答案为.9.(2020唐山模拟)如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2 cm,BOC=60,BCO=90,将BOC绕圆心O逆时针旋转至BOC,点C在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为 cm2.(结果保留)解析:BOC=60,BOC是BOC绕圆心O逆时针旋转得到的,BOC=60,BCOBCO,BOC=60,CBO=30,BOB=120.AB=2 cm,OB=1 cm,OC=cm,BC=cm,S扇形BOB=(cm2),S扇形CO
23、C=(cm2),阴影部分面积=S扇形BOB+SBCO-SBCO-S扇形COC=S扇形BOB-S扇形COC=-=.10.(2020大连模拟)将纸片ABC沿DE折叠使点A落在A处的位置.(1)如果A落在四边形BCDE的内部(如图1),A与1+2之间存在怎样的数量关系?并说明理由;(2)如果A落在四边形BCDE的BE边上,这时图1中的1变为0角,则A与2之间的关系是 ;(3)如果A落在四边形BCDE的外部(如图2),这时A与1,2之间又存在怎样的数量关系?并说明理由.2A=2解:(1)如图1中,2A=1+2,理由:沿DE折叠A和A重合,AED=AED,ADE=ADE.AED+ADE=180-A,1+2=180+180-2(AED+ADE),1+2=360-2(180-A)=2A.(2)如图2,2=A+EAD=2A,故答案为2A=2.(3)如图3,2A=2-1,理由:沿DE折叠A和A重合,A=A.DME=A+1,2=A+DME,2=A+A+1,即2A=2-1.
