1、24.2 抛物线的简单几何性质 【课标要求】1.掌握抛物线的简单几何性质，并能应用性质解题.2.理解直线与抛物线的位置关系.自主学习 基础认识|新知预习|抛物线的几何性质图象 标准方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)对称轴_ _ _ _ 范围x0 x0y0y0 顶点_ _ x 轴y 轴原点离心率e_ 焦点坐标p2，0p2，00，p20，p2准线方程 xp2xp2yp2yp21|自我尝试|1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)抛物线 x22py(p0)有一条对称轴为 y 轴()(2)抛物线 y18x2 的准线方程是 x 132()答案：(1)(2
2、)2四种标准方程对应的抛物线有相同的()A顶点 B焦点C准线 D对称轴解析：四种标准方程对应的抛物线有相同的顶点，都是坐标原点；但是，焦点、准线都不相同；抛物线 y22px(p0)与 y22px(p0)的对称轴为 x 轴，抛物线 x22py(p0)与 x22py(p0)的对称轴为 y 轴 答案：A3已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110 上，则此抛物线的方程是()Ay211x By211xCy222x Dy222x解析：在方程 2x4y110 中，令 y0 得 x112，抛物线的焦点为 F112，0，即p2112，p11，抛物线的方程是 y222x，故选 C.答案：
3、C4已知直线 l 与抛物线 x22py(p0)只有一个交点，则直线l 与抛物线的位置关系是()A相交 B相切C相离 D相交或相切解析：当直线 l 与 y 轴平行或重合时，直线 l 与抛物线 x22py(p0)有一个交点，此时直线 l 与抛物线是相交的 当直线 l 的斜率存在，直线 l 与抛物线 x22py(p0)只有一个交点时，直线 l 与抛物线相切 答案：D5直线 yx1 被抛物线 y24x 截得的线段的中点坐标是_解析：将 yx1 代入 y24x，整理，得 x26x10.由根与系数的关系，得 x1x26，x1x223，y1y22x1x222622 2.所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2
4、)课堂探究 互动讲练类型一 抛物线简单几何性质的应用例 1 已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴正半轴上，设 A，B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴)，且|AF|BF|8，线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q(6,0)，求此抛物线方程【解析】设抛物线方程为 y22px(p0)，其准线为 xp2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|BF|8 得 x1x28p.因为 Q 在 AB 的中垂线上，所以|QA|QB|，即(x16)2y21(x26)2y22，又 y212px1，y222px2，所以(x1x2)(x1x2122p)0.因为 AB 与 x 轴
5、不垂直，所以 x1x2，则 x1x2122p0.所以 p4，即抛物线的方程为 y28x.方法归纳抛物线的几何性质(对称性、范围等)在解决抛物线问题时，有着广泛的应用，但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件，如抛物线的对称性，准线与对称轴垂直等，解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件.跟踪训练 1 已知 A，B 是抛物线 y22px(p0)上不同的两点，O 为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点 F，求直线 AB 的方程 解析：如图所示设 A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，y0)，又 Fp2，0 是AOB 的垂心，则 AFOB，kAFkOB1，即 y0 x0p2y0
6、 x0 1，y20 x0 x0p2，又 y202px0，x02pp25p2.因此直线 AB 的方程为 x5p2.类型二 直线与抛物线的位置关系例 2 已知直线 l：yk(x1)与抛物线 C：y24x.问：k为何值时，直线 l 与抛物线 C 有两个交点，一个交点，无交点？【解析】由方程组ykx1，y24x消去 y 得 k2x2(2k24)xk20.记(2k24)24k416(1k2)若直线与抛物线有两个交点，则 k20，且 0，即 k20，且 16(1k2)0，解得 k(1,0)(0,1)所以当 k(1,0)(0,1)时，直线 l 和抛物线 C 有两个交点 若直线与抛物线有一个交点，则 k20
7、或 k20 时，0.解得 k0 或 k1.所以当 k0 或 k1 时，直线 l 和抛物线 C 有一个交点 若直线与抛物线无交点，则 k20 且 1 或 k1 或 k1 时，直线 l 和抛物线 C 无交点方法归纳研究直线和抛物线的位置关系时，由于消元后所得的方程中含参数，因此要注意分二次项系数为 0 和不为 0 两种情况讨论.跟踪训练 2 已知抛物线 C 的方程为 x212y，过点 A(0，1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点，则实数 t 的取值范围是()A(，1)(1，)B.，22 22，C(，2 2)(2 2，)D(，2)(2，)解析：由两点式可得直线 AB 方程为 4xty
8、t0，由 x212y，4xtyt0 消去 y 可得 2tx24xt0，因为直线 AB 与抛物线 C 没有公共点，所以 1642tt 2或 t0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)中 x0，yR，而抛物线上的点可设为(2pt2,2pt)或y202p，y0).跟踪训练 4 抛物线 y4x2 上一点到直线 y4x5 的距离最短，则该点的坐标是()A.12，1 B(0,0)C(1,2)D(1,4)解析：设抛物线 y4x2 上任一点坐标为 P(x,4x2)，则点 P 到直线 y4x5 的距离为 d|4x24x5|174x122417，所以当x12时，d
9、有最小值，此时，y1，即 P12，1.故选 A.答案：A|素养提升|1抛物线的焦点弦如图，AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的一条弦，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，B 的中点 M(x0，y0)，相应的准线为 l.(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切(2)|AB|2x0p2(焦点弦长与中点关系)(3)|AB|x1x2p.(4)若直线 AB 的倾斜角为，则|AB|2psin2.如当 90时，AB 叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的(5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2p24，y1y2p2.2应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问
10、题用点差法较简便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值|巩固提升|1以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：由题
11、意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4 2，|DE|2 5，可取 A4p，2 2，Dp2，5，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得16p28p24 5，得 p4.答案：B2过点(1,0)作斜率为2 的直线，与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为()A2 13 B2 15C2 17 D2 19解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知 AB 的方程为 y2(x1)，即 y2x2.由y28x，y2x2，得 x24x10，x1x24，x1x21.|AB|1k2x1x224x1x2 14164 5122 15.答案：B3已知 A(2,0)，B 为抛物线 y2x 上的一点，则|AB|的最小值为_解析：设点 B(x，y)，则 xy20，所以|AB|x22y2 x22x x23x4 x32274.所以当 x32时，|AB|取得最小值，且|AB|min 72.答案：72
