1、绝密启用前信阳市实验高级中学2021-2022学年高三毕业班开学摸底测试数学（理科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.设i为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ）
2、A.-1B.0C.1D.23.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的的值为（ ）A.B.2C.D.34.一个陶瓷圆盘的半径为10cm，中间有一个边长为4cm的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（ ）A.3.132B.3.137C.3.142D.3.1475.将3个黑球、3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A.14种B.15种C.16种D.18种6.已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段BC的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A.B.C.D.7.已
3、知，分别为圆：与：的直径，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.8.如图所示的“数字塔有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔前10层的所有数字之积最接近（ ）A.B.C.D.9.过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点，与准线在第三象限交于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）A.B.C.D.210.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于，两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.11.记个两两无交集的区间的并集为阶区间，如为2阶区间.设函数，则不等式的解集为（ ）A.2阶区间B.3阶区间C.
4、4阶区间D.5阶区间12.在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球，的半径分别为，则（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是偶函数，则的最小值为_.14.在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为_.15.数列满足递推公式，且，则_.16.若存在实数，使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有_.（填上所有正确答案的序号），；，；，；，.三
5、、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，线段BC的中点为D.（）求角B的大小；（）已知，求的大小.18.如图，在直三棱柱中，点，分别为和的中点.（I）棱上是否存在点使得平面平面?若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（）求二面角的余弦值.19.某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A，B两种，且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长（单位：mm）
6、分别为随机变量X，Y，其中X服从正态分布，服从正态分布.（）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间的概率；（）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；（）在（）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.注：若，则，.20.已知圆：上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.（）求点的轨迹的方程；（）过点作直线与曲线交于A，B两点，点K的坐标为，直线，与轴分别交于M，N两点，求证：线段MN的中点为定点，并求出面
7、积的最大值.21.已知，函数.（）若在区间上单调递增，求的值；（）若，恒成立，求的最大值.（参考数据：）（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）求，的极坐标方程和的直角坐标方程；（）设，分别交于，两点（与原点不重合），求的最小值.23.选修45：不等式选讲已知.（I）当时，解不等式；（）若的最小值为1，求的最小值.信阳市实验高级中学2021-2022学年高三毕业班
8、开学摸底测试数学（理科）答案1.C由题意知，则.2.B设，则.由题意有，所以.3.C程序的运行过程为12210时，；时，此时输出.4.B.5.D首先将熙球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白熙白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有27=14种；情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白熙”、“白照黑白黑白”、“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.6.C由已知可得，和都是直角三角形，则当它们都是等腰直角三角形且平面平面BCD时，三
9、棱锥的体积最大，最大值为.7.A如图，其中，所以.8.A如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.9.C如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，所以，所以.10.B如图，因为，所以.因为，所以.在中，即，得，则.在中，由得.11.D当且时，.令得，可得和的变化情况如下表：-0+令，则原不等式变为，由图象知的解集为，再次由图象得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.12.D根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距
10、离，因此球内切于正方体.不妨设，两个球心，和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示则，所以.又因为，因此，得，所以.13.2令得，所以，当且仅当时取等号.14.等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点A，B，C，D，E，F，其中点A，B，C，D与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点E，则点E与点的中间位置的点的纵坐标必然大于2或小于-2，不可能为，因此点E也舍去，只有点F满足题意.此时点为最大值点，所以，又，则，所以点，之间的图象单调，将，代入的表达式有由知，因此.15.2020左右两端同乘以有，从而，将以上式子累加得.由得.令，有.16. 时，令，则，单调递增，即.
11、令，则，单调递减，即，因此，满足题意.时，易知，满足题意注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，因此切线为，易知，因此不存在直线满足题意.时，注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，因此切线为.令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即.令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，即.因此，满足题意.17.解：（）由正弦定理得.而.由以上两式得，即.由于，所以，又由于得，得.（I）设，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整理得，由于，所以，.在中，由余弦定理有.所以，所以，.18.解：（）存在点满足题意，且.证明如下：取的中点为，连接，.则，所以平面.因为，是
12、的中点，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交线为，所以平面，所以.在平面内，所以，从而可得.又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.（）如图所示，以为坐标原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系.易知，所以，.设平面的法向量为，则有取，得.同理可求得平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角，所以其余弦值为.19.解：（I）记这只蜻蜓的翼长为t.因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的.所以.（）由于两种蜻蜓的个体数量相等，X，Y的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知.由（）可知，得.（）设蜻蜓的翼长为，则.由题有，所以.因此的分布列为0123.20.
13、解：（I），所以点的轨迹是一个椭圆，且长轴长，半焦距，所以，轨迹的方程为.（）当直线AB的斜率为0时，与曲线C无交点.当直线AB的斜率不为0时，设过点的直线方程为，点A，B坐标分别为，.直线与椭圆方程联立得消去，得.则，.直线KA的方程为.令得.同理可得.所以.所以的中点为.不妨设点在点的上方，则.21.解：（）的定义域为，.易知单调递增，由题意有.令，则.令得.所以当时，单调递增；当时，单调递减.所以，而又有，因此，所以.（）由知，又由于，则，下面证明符合条件.若，.所以.易知单调递增，而，因此必存在使得，即.且当时，单调递减；当时，单调递增.则.综上，的最大值为3.22.解：（）直线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为.由曲线的极坐标方程得，所以的直角坐标方程为.（）与的极坐标方程联立得所以.与的极坐标方程联立得所以.所以.所以当时，取最小值2.23.解：（）令，作出它们的大致图象如下：由或（舍），得点横坐标为2，由对称性知，点横坐标为-2，因此不等式的解集为.（）.取等号的条件为，即，联立得因此的最小值为.
