1、22.1 椭圆及其标准方程 【课标要求】1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.自主学习 基础认识|新知预习|1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹(2)焦点：两个定点 F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示：|MF1|MF2|(常数)且 2a|F1F2|.常数2a2椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b
2、，c的关系a2b2c2|自我尝试|1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆()(2)已知椭圆的焦点是 F1，F2，P 是椭圆上的一动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|PF2|，则动点 Q 的轨迹为圆()(3)方程x2a2y2b21(a0，b0)表示的曲线是椭圆()答案：(1)(2)(3)2设 P 是椭圆x225y2161 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5C8 D10解析：根据椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a2510，故选 D.答案：D3已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆x23y21
3、上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC的周长是()A2 3 B6C4 3 D12解析：由于ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为 F，利用椭圆的定义，|BA|BF|2 3，|CA|CF|2 3，便可求得ABC 的周长为 4 3.答案：C4若椭圆x216y2251 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6，则点P 到另一个焦点 F2 的距离是()A2 B4C6 D8解析：由椭圆的标准方程可知，a225，a5.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a10，又|PF1|6，|PF2|4.答案：B5已知椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，则椭圆
4、 C 的标准方程为_解析：法一：依题意，可设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，且可知左焦点为 F(2,0)从而有c2，2a|AF|AF|358，解得c2，a4.又 a2b2c2，所以 b212，故椭圆 C 的标准方程为x216y2121.法二：依题意，可设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，则 4a2 9b21，a2b24，解得 b212 或 b23(舍去)，从而 a216.所以椭圆 C 的标准方程为x216y2121.答案：x216y2121课堂探究 互动讲练类型一 椭圆的定义及其应用例 1 如图所示，已知椭圆的方程为x24y231，若点 P 在第二象限，且PF1F
5、2120，求PF1F2 的面积【解析】由已知得 a2，b 3，所以 c a2b2 431，|F1F2|2c2.在PF1F2 中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos120，即|PF2|2|PF1|42|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.将代入解得|PF1|65.所以 SPF1F212|PF1|F1F2|sin120 12652 32 3 35，即PF1F2 的面积是3 35.方法归纳(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|P
6、F2|看作一个整体，运用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求解.跟踪训练 1 设 F1，F2 是椭圆x216y2121 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF1|PF2|2.则PF1F2 是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形解析：由椭圆的定义得|PF1|PF2|8.又|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，故PF1F2 为直角三角形 答案：B类型二 求椭圆的标准方程例 2 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0)，且椭圆
7、经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)【解析】(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)将点(5,0)代入上式解得 a5，又 c4，所以 b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为x225y291.(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以 4a2 0b21，0a2 1b21a24，b21.故所求椭圆的标准方程为y24x21.方法归纳确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的
8、前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定 a2，b2 的具体数值，常根据条件列方程求解.跟踪训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，2)，1，142；(2)过点(3，5)，且与椭圆y225x291 有相同的焦点解析：(1)法一：(分类讨论法)若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由已知条件得 4a2 2b21，1a2 144b21，解得a28，b24.所以所求椭圆的标准方程为x28y241.若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由已知条件得 4b2 2a21，1b2 144a21，解
9、得b28，a24.则 a2b0 矛盾，舍去 综上，所求椭圆的标准方程为x28y241.法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为 Ax2By21(A0，B0，AB).将 两 点(2，2)，1，142代 入，得 4A2B1，A144 B1，解得A18，B14，所以所求椭圆的标准方程为x28y241.(2)因为所求椭圆与椭圆y225x29 1 的焦点相同，所以其焦点在 y轴上，且 c225916.设它的标准方程为 y2a2x2b21(ab0)因为 c216，且 c2a2b2，故 a2b216.又点(3，5)在椭圆上，所以 52a2 32b2 1，即 5a2 3b21.由得 b24，a220，所以所求椭
10、圆的标准方程为y220 x241.类型三 与椭圆有关的轨迹问题例 3(1)已知 P 是椭圆x24y281 上一动点，O 为坐标原点，则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为_；(2)已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程【解析】(1)设 P(xP，yP)，Q(x，y)，由中点坐标公式得xxP2，yyP2，所以xP2x，yP2y，又点 P 在椭圆x24y281 上，所以2x24 2y28 1，即 x2y221.(2)由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)
11、，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24y231(x2)【答案】(1)x2y221方法归纳解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到
12、另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.跟踪训练 3 求过点 P(3,0)且与圆 x26xy2910 相内切的动圆圆心的轨迹方程解析：圆方程配方整理得(x3)2y2102，圆心为 C1(3,0)，半径为 R10.设所求动圆圆心为 C(x，y)，半径为 r，依题意有|PC|r，|CC1|Rr，消去 r 得 R|PC|CC1|PC|CC1|R，即|PC|CC1|10.又 P(3,0)，C1(3,0)，且|PC1|63Ba3 或 a3 或6aa60 得a2a60，a60，所以a3，a6，所以 a3 或6a0，n0，mn)，将 P，Q 两点坐标代入得 925m16n1，1625m9n1，解得 m1，n 125.故该椭圆的标准方程为y225x21，选 A.答案：A3下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点 F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2|2的点P 的轨迹为椭圆；已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4 的点P 的轨迹为线段；到定点 F1(3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；若点 P 到定点 F1(4,0)，F2(4,0)的距离的和等于点 M(5,3)到定点 F1(4,0)，F2(4,0)的距离的和，则点 P 的轨迹为椭圆解析：因为 28，所以点 P的轨迹为椭圆故填.答案：