1、第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.1空间向量基本定理课后篇巩固提升合格考达标练1.在四面体O-ABC中,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为() A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,23答案A解析如图所示,连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,AE=12(AB+AC)=12(OB-2OA+OC),AG1=23AE=13(OB-2OA+OC).因为OG=3GG1=3(OG1-OG),所以OG=34OG1.则OG=34OG1=34(OA+AG
2、1)=34OA+13OB-23OA+13OC=14OA+14OB+14OC.所以(x,y,z)为14,14,14.2.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-OC,则不能与a,b构成空间的一个基的向量是()A.OAB.OBC.OCD.OA或OB答案C解析a=OA+OB+OC,b=OA+OB-OC,OC=12(a-b),OC与向量a,b共面,OC,a,b不能构成空间的一组基.3.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1与B1D1的交点为E,则BE=.答案-12a+12b+c解析如图,BE=BB1+B1E=AA
3、1+12(B1C1+B1A1)=AA1+12(AD-AB)=-12a+12b+c.4.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d= a+ b+ c时,+=.答案3解析由已知d=(+)e1+(+)e2+(+)e3,所以+=1,+=2,+=3,故有+=3.5.如图所示,在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,MA=-13AC,ND=13A1D,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.解连接AN,则MN=MA+AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得AC=AB+AD=a+b,MA=-13AC=-13(a
4、+b),又A1D=AD-AA1=b-c,故AN=AD+DN=AD-ND=AD-13A1D=b-13(b-c),所以MN=MA+AN=-13(a+b)+b-13(b-c)=13(-a+b+c).等级考提升练6.a,b,c为空间向量的一组基,则下列各选项中,能构成空间向量的一组基的是()A.a,a+b,a-bB.b,a+b,a-bC.c,a+b,a-bD.a+b,a-b,a+2b答案C解析对于选项A,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能构成基,排除A;对于选项B,因为(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能构成基,排除B;对于选项D,a+2b=3
5、2(a+b)-12(a-b),所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基,排除D;对于选项C,若c,a+b,a-b共面,则c=(a+b)+(a-b)=(+)a+(-)b,则a,b,c共面,与a,b,c为空间向量的一组基相矛盾,故c,a+b,a-b不共面,可以构成空间向量的一组基,故选C.7.如图,在三棱锥O-ABC中,点D是棱AC的中点,若OA=a,OB=b,OC=c,则BD等于()A.12a-b+12cB.a+b-cC.a-b+cD.-12a+b-12c答案A解析由题意可知BD=BO+OD,BO=-b,OD=12OA+12OC=12a+12c,所以BD=12a-b+12c.故选A.8.(多
6、选题)已知a,b,c是空间的一组基,下列向量中,可以与2a-b,a+b构成空间的一组基的向量是()A.2aB.-bC.cD.a+c答案CD9.(多选题)若a,b,c是空间的一组基,则下列选项中能构成空间的一组基的是()A.a,2b,3cB.a+b,b+c,c+aC.a+2b,2b+3c,3a-9cD.a+b+c,b,c答案ABD解析由于a,b,c不共面,根据空间向量基本定理可判断A,B,D中三个向量也不共面,可以构成空间的一组基.对于C,有3(2b+3c)+(3a-9c)=3(a+2b),故这三个向量是共面的,不能构成空间的一组基.10.(多选题)给出下列命题,其中正确命题有()A.空间任意三
7、个不共面的向量都可以作为一组基B.已知向量ab,则a,b与任何向量都不能构成空间的一组基C.A,B,M,N是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一组基,那么点A,B,M,N共面D.已知向量a,b,c是空间的一组基,若m=a+c,则a,b,m也是空间的一组基答案ABCD解析选项A中,根据空间向量的基的概念,可得任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基,所以A正确;选项B中,根据空间的基的概念,可得B正确;选项C中,由BA,BM,BN不能构成空间的一组基,可得BA,BM,BN共面,又由BA,BM,BN过相同点B,可得A,B,M,N四点共面,所以C正确;选项D中,由a,b,c是空间的一组基,
8、则基向量a,b与向量m=a+c一定不共面,所以可以构成空间的另一组基,所以D正确.故选ABCD.11.已知S是ABC所在平面外一点,D是SC的中点,若BD=xSA+ySB+zSC,则x+y+z=.答案-12解析如图,根据条件BD=12(BC+BS)=12(SC-SB-SB)=-SB+12SC,又BD=xSA+ySB+zSC,由空间向量基本定理得x+y+z=0-1+12=-12.12.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于.答案5解析由题可得AC1=AB+AD+AA1,AC12=AB2+AD
9、2+AA12+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=12+22+32+2cos 60(12+13+23)=25,|AC1|=AC12=5.13.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD和A1C1的中点.证明:(1)AB1GE,AB1EH;(2)A1G平面EFD.证明(1)设正方体棱长为1,AB=i,AD=j,AA1=k,则i,j,k构成空间的一组基.AB1=AB+BB1=i+k,GE=GC+CE=12i+12k=12AB1,AB1GE.EH=EC1+C1H=12k+-12(i+j)=-12i-12j+12k,AB1EH=(i+k)-12i-12j+1
10、2k=-12|i|2+12|k|2=0,AB1EH.(2)A1G=A1A+AD+DG=-k+j+12i,DF=DC+CF=i-12j,DE=DC+CE=i+12k,A1GDF=-k+j+12ii-12j=-12|j|2+12|i|2=0,A1GDF.A1GDE=-k+j+12ii+12k=-12|k|2+12|i|2=0,A1GDE.又DEDF=D,A1G平面EFD.新情境创新练14.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF平面B1AC.证明设AB=a,AD=c,AA1=b,有ab=0,ac=0,bc=0,则EF=EB1+B1F=12(BB1+B1D1)=12(AA1+BD)=12(AA1+AD-AB)=12(-a+b+c),AB1=AB+BB1=AB+AA1=a+b.EFAB1=12(-a+b+c)(a+b)=12(|b|2-|a|2)=0.EFAB1,即EFAB1.同理EFB1C.AB1B1C=B1,EF平面B1AC.
