1、第五章计数原理1基本计数原理1.1计数原理课后篇巩固提升合格考达标练1.某班有男生26人,女生24人,从中选一位同学为数学课代表,则不同选法的种数有() A.50种B.26种C.24种D.616种答案A解析根据分类加法计数原理,因数学课代表可为男生,也可为女生,因此共有26+24=50种选法.2.已知x2,3,7,y-3,-4,8,则xy可表示不同的值的个数为()A.8B.12C.10D.9答案D解析分两步:第一步,在集合2,3,7中任取一个值,有3种不同的取法;第二步,在集合-3,-4,8中任取一个值,有3种不同取法.故xy可表示33=9个不同的值.3.某班小张等4位同学报名参加A,B,C三
2、个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有()A.27种B.36种C.54种D.81种答案C解析小张的报名方法有2种,其他3位同学各有3种,所以由分步乘法计数原理知共有2333=54种不同的报名方法.4.张华去书店,发现3本好书,决定至少买其中1本,则购买方法共有种.答案7解析购买方法可分3类:买1本书、买2本书、买3本书,各类的购买方法依次有3种、3种和1种,故购买方法共有3+3+1=7(种).5.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为()A.8B.6C.5D.3答案B解析从A处到B处的电路接通可分两步,第一步:前一个并联电路接通有2条线路
3、,第二步:后一个并联电路接通有3条线路;由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为32=6,故选B.6.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有()A.60种B.40种C.20种D.10种答案C解析设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10 种情况,假设A,B两人拿到自己的外衣,则C,D,E三人不能拿到自己的外衣,则只有C取D,D取E,E取C,或C取E,D取C,E取D两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有1
4、02=20种情况.7.小张正在玩“开心农场”游戏,他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物),若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒,则不同的种植方案共有种.答案48解析当第一块地种茄子时,有432=24种不同的种法;当第一块地种辣椒时,有432=24种不同的种法,故共有48种不同的种植方案.8.已知集合A=2,4,6,8,10,B=1,3,5,7,9,在A中任取一元素m,在B中任取一元素n,组成数对(m,n),问:(1)有多少个不同的数对?(2)其中mn的数对有多少个?解(1)从集合A中先选出m有5种方法,从集合B
5、中再选出n有5种方法,根据分步乘法计数原理知共有55=25个不同的数对.(2)在(1)中的25个数对中,mn的数对可以分类来解,当m=2时,n=1,有1种结果;当m=4时,n=1,3,有2种结果;当m=6时,n=1,3,5,有3种结果;当m=8时,n=1,3,5,7,有4种结果;当m=10时,n=1,3,5,7,9,有5种结果.综上所述,共有1+2+3+4+5=15个满足条件的数对.等级考提升练9.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方法种数是()A.24B.36C.42D.60答案D解析每个比赛
6、项目选择场馆都有4种方法,于是总的方法共有444=64(种),在同一个体育馆比赛的项目超过两项即三项的安排方法有4种,于是在同一个体育馆比赛的项目不超过两项的安排方法共有64-4=60(种).10.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法种数是()34A.6B.12C.18D.24答案A解析因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填后与之相邻的空格可填6,7,8中任一个,余下两个数字按从小到大只有一种方法,共有23
7、=6种方法,故选A.11.植树节那天,4位同学植树,现有3棵不同的树,若一棵树限1人完成,则不同的植树方法种数有()A.123种B.13种C.34种D.43种答案D解析完成这件事分三步:第一步,植第一棵树,有4种不同的方法;第二步,植第二棵树,有4种不同的方法;第三步,植第三棵树,有4种不同的方法.由分步乘法计数原理知有444=43种植树方法,故选D.12.(2020山西大同模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和
8、羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有()A.30种B.50种C.60种D.90种答案B解析甲同学选择牛,乙有2种选择方法,丙有10种选择方法,三位同学都满意的选择方法有1210=20种;甲同学选择马,乙有3种选择方法,丙有10种选择方法,三位同学都满意的选择方法有1310=30种,所以总共有20+30=50种选择方法.故选B.13.(多选题)已知a2,3,4,b4,6,7,则方程x2a2+y2b2=1可表示不同的椭圆的个数用式子表示为()A.3+3+3B.3+3+2C.33-1D.33答案BC解析第一步:a有3种不同的选取方法;第二步:b有3种不同的选取方法,但a
9、取4时,b不能取4,故有33-1=8种方法.14.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,99,3位回文数有90个:101,111,121,191,202,999.则(1)5位回文数有个;(2)2n(nN+)位回文数有个.答案(1)900(2)910n-1解析(1)5位回文数相当于填5个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法,第2位和第4位一样,有10种填法,中间一位有10种填法,共有91010=900种填法,即5位回文数有900个.(2)根据回文数的定义,结合分步乘法计数原理,知有910n-1个回文数.1
10、5.如图所示的电路,若合上两只开关以接通从A到B的电路,则有种不同的接通电路的方法.答案13解析由A到B的通电线路接通方法可分为三类:第一类,上路接通,有21=2种方法;第二类,中路接通,有17=7种方法;第三类,下路接通,有22=4种方法.根据分类加法计数原理,共有2+7+4=13种不同的方法.16.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),a1,2,3,4,5,6,7,b1,2,3,4,5,则这样的椭圆共有多少个?解依题意按a,b的取值分为6类,第一类:a=2,b=1;第二类:a=3,b=1,2;第三类:a=4,b=1,2,3;第四类:a=5,b=1,2,3,4;第五类:a=6,b=
11、1,2,3,4,5;第六类:a=7,b=1,2,3,4,5.由分类加法计数原理知,这样的椭圆共有1+2+3+4+5+5=20(个).新情境创新练17.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放,两个世博会宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?(用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序)解完成这件事有三类方法.第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6,分6步完成这件事,共有332211=36种不同的播放方式;第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6,分6步完成这件事,共有332211=36种不同的播放方式;第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6,同样分6步完成这件事,共有332211=36种不同的播放方式.由分类加法计数原理知,6个广告不同的播放方式有36+36+36=108(种).
