1、第2课时抛物线的简单性质Q 一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的X 1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围_x0_x0_y0_y0_对称性对称轴：_x轴_对称轴：_y轴_顶点_坐标原点_离心率_1_通径过焦
2、点且与对称轴垂直的弦AB，|AB|_2p_2.焦半径抛物线上一点与焦点F连线的线段叫作焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|AF|AF|_x0_|AF|_x0_|AF|_y0_|AF|_y0_3.与焦点弦有关结论对于抛物线y22px(p0)的焦点弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)有以下结论：|AB|_x1x2p_；若直线AB的倾斜角为，则|AB|_；_；x1x2_，y1y2_p2_.Y 1抛物线y3x2的准线方程是(C)AyByCyDy解析由抛物线y3x2得x2
3、y，.可得准线方程为y.故选C2设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，2)与点F的距离为4，则k等于(B)A4B4或4C2D2或2解析由题设条件可设抛物线方程为x22py(p0)，又点P在抛物线上，则k24p，|PF|424，即p4，k4.3抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是(A)ABCD3解析设(x0，y0)为抛物线yx2上任意一点，y0x，d，dmin.4过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为(B)A8B16C32D61解析由抛物线y28x的焦点为(2,0)，得直线的方程为yx2.代入y28x，得(x2)28x，即x2
4、12x40.x1x212，弦长x1x2p12416.5若抛物线y2mx与椭圆1有一个共同的焦点，则m_8_.解析椭圆焦点为(2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m8.H 命题方向1抛物线的对称性典例1正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解析如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y2px1，y2px2.又|OA|OB|，xyxy，即xx2px12px20，(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20,2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴
5、对称由于AB垂直于x轴，且AOx30.tan30，而y2px1， y12p.于是|AB|2y14p.规律总结1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论2不能把抛物线看作是双曲线的一支虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线跟踪练习1等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是(B)A8p2B4p2C2p2Dp2解析由抛物线的对称性质及OAOB知，直线OA的方程为yx，由，解得A(2p,2p)，则B(2p，2p)，|AB|4p，SABO4
6、p2p4p2.命题方向2抛物线焦点弦的性质典例2斜率为2的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长解析如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x1.由题设，直线AB的方程为：y2x2.代入抛物线方程y24x，整理得：x23x10.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x1的距离|AA|，即|AF|AA|x11，同理|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22325.规律总结解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解跟踪练
7、习2(2019河南洛阳市高二期末测试)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1x210，则弦AB的长度为(C)A16B14C12D10解析设抛物线的焦点为F，则|AB|AF|BF|x11x21x1x2210212.命题方向3抛物线性质的综合应用典例3已知点A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积(2)求证：直线AB过定点解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)则y2px1，y2px2，OAOB，x1x2y1y20yy4p2x1x24p2y1y2y1y24p2x1x24p2(2)证明：y2px1y2
8、px2得yy2p(x2x1)直线AB的斜率为直线AB的方程为yy1(xx1)即yx也就是y(x2p)直线AB过定点(2p,0 )规律总结应用抛物线性质解题的常用技巧1抛物线的中点弦问题用点差法较简便2轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系3在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化4圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值跟踪练习3(福建泉州市普通
9、高中20172018学年质量检测)如图，等腰直角三角形直角顶点位于原点O，另外两个顶点M，N在抛物线C：y22px(p0)上，若三角形OMN的面积为16.(1)求C的方程；(2)若抛物线C的焦点为F，直线l：y2x1与C交于A，B两点，求ABF的周长解析(1)由已知得等腰直角三角形的底边长为8，由对称性可知M，N关于x轴对称，所以抛物线C过点M(4,4)，代入可得p2，所以C的方程为y24x.(2)由消去y，得4x28x10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，x1x2，由抛物线的定义，得|AF|x11，|BF|x21，|AF|BF|x1x22，|AB|x1x2|，所以周长为|
10、AF|BF|AB|x1x224.X 与抛物线有关的最值问题 (1)具备定义背景的最值问题，可用定义转化为几何问题来处理(2)最值问题常用方法是由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解典例4已知点F(1,0)，点P为平面上的动点，过点P作直线l：x1的垂线，垂足为Q，且.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足0，求|的取值范围解析(1)设P(x，y)，则Q(1，y)，F(1,0)，(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，2(x1
11、)2(x1)y2，即y24x，动点P的轨迹C的方程为y24x.(2)由(1)知，M(0,0)，设A(，y1)，B(，y2)，则(，y1)，(，y2y1)，0，y1(y2y1)0，又y1y2，y10，y2(y1)，yy3223264，当且仅当y，即y14时取等号又|(y64)，当y64，即y28时，|min8，故|的取值范围是8，)规律总结常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题(2)求抛物线上一点到定点的最值问题可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，
12、再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围(3)方法：设P(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上一点，则x0，即P(，y0)由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用如：y22px(p0)，则x0，y20.跟踪练习4已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_(0,0)_.解析设P，则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)Y 典例5设抛物线ymx2(m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程错
13、解由ymx2(m0)可得其准线方程为y.由题意知2或4，解得m8或m16，故所求抛物线的标准方程为y8x2或y16x2.辨析本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看作是抛物线的标准方程，得到准线方程为y；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到一个解正解ymx2(m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m，故所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.典例6设点A的坐标为(a,0)(aR)，求抛物线y22x上的点到A点的距离的最小值错解设曲线上任一点M的坐标为(x，y)，M点到A点的距离为d，则d
14、2(xa)2y2x2(2a2)xa2x(a1)22a1.因为aR，所以当xa1时，d2取最小值2a1，所以dmin.辨析上述解法中，一方面忽视了抛物线中x的范围限制，另一方面没能从中发现a，导致解题的错误一般地，若抛物线y22px(p0)上的点到点(a,0)的距离为d，则有dmin正解同上述解法，得d2x(a1)22a1，因为x0，)，所以当a1，xa1时，d2a1，dmin.当a0)的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点(其中M在G、N之间且G在第一象限)，若|GF|4，|MN|2|MF|，则p_2_.解析如图所示，过M作MHlH，由|MN|2|MF|，得
15、|MN|2|MH|，MN所在直线斜率为，MN所在直线方程为y(x)，联立，得12x220px3p20.解得xGp.则|GF|p4，即p2.故答案为：2.4抛物线y2x的焦点和准线的距离等于_0.5_.解析抛物线y2x中2p1，p0.5，抛物线y2x的焦点和准线的距离等于0.5.5过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为_10_.解析由抛物线y28x知，p4.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，根据抛物线定义知：|AF|x2，|BF|x2，|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，x1x2|AB|p.由条件知3，则x1x26，|AB|p6，又p4，|AB|10.
