1、选修44 坐标系与参数方程栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形的方程.4.了解参数方程，了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.考情分析核心素养1.极坐标与直角坐标、极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的应用是 2021 年高考考查的热点，题型为解答题，分值为 10分.2.参数方程与
2、普通方程互化，参数方程的应用，参数方程与极坐标方程的综合应用是 2021 年高考考查的热点，题型为解答题，分值为10 分.1.数学建模2.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1定点射线长度单位角度单位知识梳理1极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个 1 _O，叫做极点；自极点 O 引一条 2 _Ox，叫做极轴；再选定一个 3 _、一个 4_(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的 5 _|OM|叫做点 M 的极径，记为.极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M
3、的极角，记为.极坐标：有序数列(，)叫做点 M 的极坐标，记作 M(，)距离2极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：x 6 _，y 7 _；2 8 _，tan yx（x0）.cos sin x2y23参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C 上 9 _P 的坐标(x，y)是某个变数 t 的函数：xf（t），yg（t），并且对于 t 的每一个允许值，由函数式xf（t），yg（t）所确定的点P(x，y)都在 10 _，那么方程xf（t），yg（t）叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参变数，简称 11 _相对于
4、参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 12 _任意一点曲线C上参数普通方程常用结论 直线、圆、椭圆的参数方程1过点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)注意 t 的几何意义 2圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为xx0rcos，yy0rsin(为参数)3椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程为xacos，ybsin(为参数)基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点 P 的
5、直角坐标为(1，3)，则点 P 的一个极坐标是2，3.()(3)过M0(x0，y0)，倾斜角为2 的直线l的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段 M0M的数量()(4)方程x2cos，y12sin(为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2 为半径的圆()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 44P25 例 3 改编)曲线x1cos，y2sin(为参数)的对称中心()A在直线 y2x 上B在直线 y2x 上C在直线 yx1 上D在直线 yx1 上答案：B3(选修 44P1
6、5T3 改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y1x(0 x1)的极坐标方程为()A1cos sin，02B1cos sin，04Ccos sin，02Dcos sin，04答案：A4(选修 44P37 例 2 改编)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xt，yta(t 为参数)过椭圆 C：x3cos，y2sin(为参数)的右顶点，则常数 a 的值为_答案：3三、易错自纠5圆 5cos 5 3sin 的圆心的极坐标为_解析：将方程 5cos 5 3sin 两边同乘，得 25cos 5 3sin，化成直角坐标方程为 x2y25x5 3y0.圆心坐标为5
7、2，5 32，化成极坐标为5，53.答案：5，53(答案不唯一)6在平面直角坐标系中，若曲线 C 的参数方程为x2 22 t，y1 22 t(t 为参数)，则其普通方程为_解析：依题意，消去参数可得 x2y1，即 xy10.答案：xy10课 堂 考 点 突 破2考点一 曲线的极坐标方程【例 1】(2019 年全国卷)在极坐标系中，O 为极点，点 M(0，0)(00)在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4，0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1)当 03时，求 0 及 l 的极坐标方程；(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程解(1)因为 M(
8、0，0)在 C 上，当 03时，04sin 32 3.由已知得，|OP|OA|cos 32.设 Q(，)为 l 上除 P 的任意一点连接 OQ，在 RtOPQ 中，cos3|OP|2.经检验，点 P2，3 在曲线 cos3 2 上所以 l 的极坐标方程为 cos3 2.(2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos 4cos，即 4cos.因为 P 在线段 OM 上，且 APOM，故 的取值范围是4，2.所以 P 点轨迹的极坐标方程为 4cos，4，2.名师点津有关曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标
9、解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决|跟踪训练|1(2019 年江苏卷)在极坐标系中，已知两点 A3，4，B2，2，直线 l 的方程为sin4 3.(1)求 A，B 两点间的距离；(2)求点 B 到直线 l 的距离解：(1)设极点为 O，在OAB 中，A3，4，B2，2，由余弦定理，得AB32（2）223 2cos24 5.(2)因为直线 l 的方程为 sin4 3，所以直线 l 过点3 2，2，倾斜角为34.又 B2，2，所以点 B 到直线 l 的距离为(3 2 2)sin34 2 2.考点二 参数方程及应用【例 2】(2019 届湖南五市十校联考)在直角坐标系 xOy 中，设倾
10、斜角为 的直线l 的参数方程为x3tcos，ytsin(t 为参数)，直线 l 与曲线 C：x 1cos，ytan(为参数)相交于不同的两点 A，B(1)若 3，求线段 AB 的中点的直角坐标；(2)若直线 l 的斜率为 2，且过已知点 P(3，0)，求|PA|PB|的值解(1)由曲线 C：x 1cos，ytan(为参数)，可得曲线 C 的普通方程是 x2y21.当 3时，直线 l 的参数方程为x312t，y 32 t(t 为参数)，代入曲线 C 的普通方程，得 t26t160，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2.则 t1t26，所以线段 AB 的中点对应的 tt1t223，故线段
11、AB 的中点的直角坐标为92，3 32.(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，化简得(cos2sin2)t26cos t80，则|PA|PB|t1t2|8cos2sin2 8（1tan2）1tan2，由已知得，tan 2，故|PA|PB|403.名师点津参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在将参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形|跟踪训练|2已知曲线 C：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数)(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的
12、直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值解：(1)曲线 C 的参数方程为x2cos，y3sin(为参数)直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin)到 l 的距离为 d 55|4cos 3sin 6|，则|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan 43.当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55.当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例 3】(2019 年全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x1t21t2，y
13、4t1t2(t 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2cos 3sin 110.(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)求 C 上的点到 l 距离的最小值解(1)因为11t21t21，且 x2y221t21t2 24t2（1t2）21，所以 C 的直角坐标方程为 x2y241(x1)l 的直角坐标方程为 2x 3y110.(2)由(1)可设，C 的参数方程为xcos，y2sin (为参数，)C 上的点到 l 的距离为|2cos 2 3sin 11|74cos3 117.当 23 时，4cos3 11 取得最小值 7，故 C 上的点到
14、l 距离的最小值为 7.名师点津参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 和 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的|跟踪训练|3(2020 届贵阳摸底)已知直线 l 的参数方程为x12 32 t，y12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos.(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)设点 P12，0，直线
15、 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|PB|的值解：(1)将直线 l 的参数方程消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 x 3y120，曲线 C 的极坐标方程为 2cos，即 22cos，又 x2y22，xcos，所以曲线 C 的直线方程为 x2y22x0，即(x1)2y21.(2)将直线 l 的参数方程x12 32 t，y12t(t 为参数)代入曲线 C 的方程(x1)2y21 得t2 32 t340，0，设 t1，t2 分别是点 A，B 对应的参数，则 t1t2 32，t1t234，又点 P12，0 在直线l 上，所以|PA|PB|AB|t1t2|（t1t2）24t1t2 152.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
