1、宁大附中2020-2021学年第一学期第四次月考高三数学（理）试卷 卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）1、已知集合A(x,y)|x,yN*,yx，B(x,y)|x+y8，则AB中元素的个数为A.2 B.3 C.4 D.62、复数z=2i-1i（i是虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限C.第三项限D.第四象限3、执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.2B.32C. 53D. 854、在ABC中，B=6，a=3，b=1，则A=A.3B.23C.3或23D.65、已知(0,)，且3cos2-8cos5，则sinA.53B.23C.13
2、D.596、设x，y满足约束条件x+3y3x-y1y0，则zx+y的最小值为A.0B.1C.2D.37、若向量a，b满足|a|=10，b=(-2,1)，ab=5，则a与b的夹角为（）A.90B.60C.45D.308、已知公差d0的等差数列an满足a11，且a2，a4-2，a6成等比数列，若正整数m，n满足 m-n10，则am-an（）A.10B.20C.30D.5或409、孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出
3、的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是 A.132B.133C.134D.13510、已知函数fx=sinx+1sinx，则( ) Afx的最小值为2 Bfx的图像关于y轴对称Cfx的图像关于直线x=对称 Dfx的图像关于直线x=2对称11、函数fx=ln|x|ex的部分图象大致为 12、已知函数fx=x2-2x+aex-1+e-x+1有唯一零点，则a=A.-12B. 13C. 12D.1卷II（非选择题
4、）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）13、已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1+a3+a521，a4+a6+a8168，则S8_14、已知z是z的共轭复数，且满足(1+i)z=4(其中i是虚数单位)，则|z|=_. 15、已知sinx+4=13，则cos54-x=_16、已知函数f(x)=2x-12x+1，若正数a，b满足f(4a)+f(b-9)=0，则1a+1b的最小值为_. 三、解答题（本题共计 6 小题，每题 12 分，共计72分，）17、（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，且a=2c. （1）求cosA的值；
5、（2）若ABC的面积为3154，求ABC的周长.18、（12分）已知等差数列an是递增数列，且a1a59，a2+a410（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=1anan+1(nN*)，求数列bn的前n项和Sn19、（12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减少经济下降对企业和民众带来的损失为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用mm0万元满足x=4-km+1（k为常数），
6、若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品12+24xx元（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20、（12分）已知函数fx=sinxcosx+3sinx（1）求函数fx的最小正周期和对称轴；（2）若fx03，求x0的取值范围21、（12分）已知等比数列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项数列bn满足b1=1，数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n（1
7、）求q的值；（2）求数列bn的通项公式22、（12分）已知函数fx=ln1+ex-2x点Ax1,fx1，Bx2,fx2，Cx3,fx3均在函数y=fx的图象上，且x1，x2，x3成等差数列，其公差为1. （1）判断函数y=fx是否有极值，并说明理由；（2）求证：ABC是钝角三角形；（3）求ABC面积的最大值数学理答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.C【解答】 集合A(x,y)|x,yN*,yx，B(x,y)|x+y8， AB(x,y)|yxx+y=8,x,yN*(1,7),(2,6),(3,5),(4,4) AB中元素的个数为42.A【解答】解：z=2i-1i=
8、2i2-ii2=-2-i-1=2+i，对应点的坐标为(2,1)，位于第一象限故选A3.C【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=32，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=53，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：53.故选C4.C5.A【解答】由3cos2-8cos5，得3(2cos2-1)-8cos-50，即3cos2-4cos-40，解得cos2（舍去），或cos=-23 (0,)， (2,)，则sin=1-cos2=1-(-23)2=536.C【解答】作出不
9、等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由zx+y可得y-x+z，则z表示直线y-x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，由题意可得，x+3y=3x-y=1，解得A(32,12)，当y-x+z经过点A时，z最小，由可得A(32,12)，此时zx+y27.C【解答】 b=(-2,1)， |b|=(-2)2+12=5，又|a|=10，ab=5，两向量的夹角的取值范围是，0,， cos=ab|a|b|=5105=22 a与b的夹角为458.C【解答】由题知(a4-2)2=a2a6， an为等差数列， (3d-1)2(1+d)(1+5d)， d0，解得d3，从而am-an(m-n)d30，9.D【解
10、答】解：能被3除余2且被5除余1的数有：11，26，41，构成的数列为首项为11，公差为15的等差数列，通项公式为an=11+(n-1)15=15n-4，令15n-42021，解得n135.则此数列的项数为135.故选D.10.D解：A，由sinx0可得函数的定义域为x|xk,kZ，故定义域关于原点对称；设sinx=t，则y=f(x)=t+1t，t-1,1，由对勾函数的图象和性质得，y2或y-2，故A错误；B，因为f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-(sinx+1sinx)=-f(x)，故f(x)是奇函数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称，故B错误；C，f(+x)=si
11、n(+x)+1sin(+x)=-sinx-1sinx，f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=sinx+1sinx，故f(+x)f(-x)，f(x)的图象不关于直线x=对称，故C错误；D，又f(2+x)=sin(2+x)+1sin(2+x)=cosx+1cosx，f(2-x)=sin(2-x)+1sin(2-x)=cosx+1cosx，故f(2+x)=f(2-x)，定义域为x|xk,kZ，f(x)的图象关于直线x=2对称，故D正确故选D.11.A【解答】解: f(x)的定义域为x|x0,且ex0，又当x(-,-1)(1,+)时，ln|x|0, f(x)0,排除C，D;又 f(x)不是偶函
12、数，排除选项B.故选A.12.C【解答】解：由题意知：fx=x2-2x+aex-1+e-x-1=-1+x-12+aex-1+1ex-1，所以函数fx有唯一零点等价于方程1-x-12=aex-1+1ex-1有唯一解，等价于函数y=1-x-12的图象与y=aex-1+1ex-1的图象只有一个交点当a=0时，fx=x2-2x-1，此时有两个零点，与题意矛盾，当a0时，由于y=1-x-12在-,1上递增、在1,+上递减，y=aex-1+1ex-1-,1上递增、在1,+上递减，所以函数y=1-x-12的图象的最高点为A1,1，y=aex-1+1ex-1的图象的最高点为B1,2a，由于2a00时，由于y=
13、1-x-12在-,1上递增、在1,+上递减，且y=aex-1+1ex-1在-,1上递减、在1,+上递增，所以函数y=1-x-12的图象的最高点为A1,1，y=aex-1+1ex-1的图象的最低点为B1,2a，由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=12符合条件；综上所述，a=12，故选C二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.255【解答】等比数列an的前n项和为Sn，a1+a3+a521，a4+a6+a8168， a1+a1q2+a1q4=21a1q3+a1q5+a1q7=168，解得a11，q2， S8=1(1-28)1-2=25514.22【解答】解：
14、z=41+i=2-2i，故z=2+2i，所以|z|=22.故答案为：22.15.-13【解答】解：cos54-x=cos32-4+x=-sin4+x=-13故答案为-1316.1【解答】解：函数f(x)的定义域是R，且f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x)，则f(x)是奇函数又f(x)=2x+1ln2(2x+1)20，则f(x)在R上是增函数因为f(4a)+f(b-9)=0，所以f(4a)=-f(b-9)=f(9-b)，则4a=9-b，4a+b=9又a，b均为正数，所以1a+1b=191a+1b(4a+b)=195+ba+4ab195+2ba4ab=1，当且仅当ba=4
15、ab，即b=2a=3时取等号，故1a+1b的最小值为1故答案为：1三、解答题（本题共计 6 小题，每题 12 分，共计72分）17.解：(1) a，b，c成等差数列， 2b=a+c，又a=2c， b=32c，cosA=b2+c2-a22bc=3c22+c2-2c223c2c=-14(2)由(1)得，cosA=-14，sinA=1-cos2A=1-142=154.SABC=3154，可得12bcsinA=3154即123c2c154=3154，解得c=2，b=3c2=3，a=2c=4， ABC的周长为918.设首项为a1，公差为d的等差数列an是递增数列，且a1a59，a2+a410则：a1(a
16、1+4d)=9a1+d+a1+3d=10，解得：a11或9，a59或1，由于数列为递增数列，则：a11，a59故：d2则：an1+2(n-1)2n-1由于an2n-1，则：bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)，=14n2-1=1(2n+1)(2n-1)，=12(12n-1-12n+1)所以：Snb1+b2+.+bn，=121-13+13-15+12n-1-12n+1，=12(1-12n+1)，=n2n+119.解：(1)由题意知，当m=0时，x=2（万件），则2=4-k，解得k=2，x=4-2m+1因为每件产品的销售价格为12+24xx元，所以2020年的利润y=x12+24xx-
17、8-16x-m=36-16m+1-mm0(2)当m0时，m+10，所以16m+1+m+1216=8，当且仅当m=3时等号成立所以y-8+37=29，当且仅当16m+1=m+1，即m=3时，ymax=29故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元20.解：(1)因为fx=sinxcosx+3sin2x=12sin2x+321-cos2x=12sin2x-32cos2x+32=sin2x-3+32，所以fx的最小正周期T=，由2x-3=k+2,kZ，得x=512+k2,kZ，故fx的对称轴为x=512+k2,kZ(2)因为fx03，所以sin2x0-3+323，即sin2x
18、0-332，所以-43+2k2x0-33+2k，kZ，即-2+kx03+k,kZ，即x0的取值范围为x0|-2+kx03+k,kZ21.解：（1）等比数列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28-a4，解得a4=8，由8q+8+8q=28，可得q=2（12舍去），则q的值为2；（2）设cn=(bn+1-bn)an=(bn+1-bn)2n-1，可得n=1时，c1=2+1=3，n2时，可得cn=2n2+n-2(n-1)2-(n-1)=4n-1，上式对n=1也成立，则(bn+1-bn)an=4n-1，即有bn+1-bn=(4n-1)(
19、12)n-1，可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+.+(bn-bn-1)=1+3(12)0+7(12)1+.+(4n-5)(12)n-2，12bn=12+3(12)+7(12)2+.+(4n-5)(12)n-1，相减可得12bn=72+4(12)+(12)2+.+(12)n-2-(4n-5)(12)n-1=72+412(1-12n-2)1-12-(4n-5)(12)n-1，化简可得bn=15-(4n+3)(12)n-222.(1)解：因为fx=ln1+ex-2x，所以xR，且fx=ex1+ex-2=-2-ex1+ex0，即函数fx在-,+上是单调减函数，故函数y=fx没有极值(2)
20、证明：据题意Ax1,fx1，Bx2,fx2，Cx3,fx3，且x1x2fx2fx3，x2=x1+x32，BA=(x1-x2,f(x1)-f(x2)，BC=(x3-x2,f(x3)-f(x2)， BABC=x1-x2x3-x2+fx1-fx2fx3-fx2. x1-x20，fx1-fx20，fx3-fx20， BABC0，所以(1+ex+1)(1+ex-1)(1+ex)21，所以SABC=2SBCD=12ln(1+ex+1)(1+ex-1)(1+ex)2.令gx=(1+ex+1)(1+ex-1)(1+ex)2，则gx=ex(ex-1)2-e-1e(1+ex)3，所以当x-,0时，gx0，gx为增函数；当x0,+时，gx0，gx为减函数由函数gx是R上的连续函数知当x=0时有gxmax=2+e+1e4，所以ABC面积的最大值为12ln2+e+1e4=lne+1-ln2e高三数学（理）第四次月考试卷5 / 2