1、第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知 识 梳 理 判断真假1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题，其中_的语句叫做真命题，_的语句叫做假命题.判断为真判断为假2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系 若綈p,则綈q 若q,则p 若綈q,则綈p(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有_的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性_.相同 没有关系 3.充分条件、必要条件与充要条件
2、的概念 若pq，则p是q的_条件，q是p的_条件 p是q的_条件 pq且q p p是q的_条件 p q且qp p是q的_条件 pq p是q的_条件 p q且q p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 常用结论与微点提醒 1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(AB且B A)，与A的充分不必要条件是B(BA且A B)两者的不同.3.A是B的充分不必要条件綈B是綈A的充分不必要条件.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“x22x31 是 a1b的()解析 若“ab1
3、”，当 a2，b1 时，不能得到“a1b”，若“a1b”，例如当 a1，b1 时，不能得到“ab1”，故“ab1”是“a1b”的既不充分也不必要条件.答案 D 3.(老教材选修21P2例1改编)下面有4个命题：集合N中最小的数是1；若a不属于N，则a属于N；若aN，bN，则ab的最小值为2；x212x的解可表示为1，1.其中真命题的个数为_.答案 0 解析 为假命题，集合 N 中最小的数是 0；为假命题，如 a12不满足；为假命题，如 a0，b1，ab1，比 2 小；为假命题，所给集合中的元素不满足互异性.4.(2017北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若abc，则abc”是假命题的一
4、组整数a，b，c的值依次为_.解析 abc，取a2，b4，c5，则ab6a是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.解析 由已知，可得x|2xa，a2.答案(，2 6.(2020青岛二中检测)直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.答案 1k3 解析 直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点等价于|10k|2 2，解得1k1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21”B.“若 am2bm2，则 a4x0 成立D.“若 sin 12，则 6”是真命题(2)(2018北京卷)能说明“若f(x)f(0)对任意的x(0，2都成立，则f(x)在0，2上是
5、增函数”为假命题的一个函数是_.解析(1)对于选项A，“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”，A错；对于B项，若“am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am23x，C错；对于 D 项，原命题的逆否命题为“若 6，则 sin 12”是真命题，故原命题是真命题.(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为0，2的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)minf(0).答案(1)D(2)f(x)sin x，x0，2(答案不唯一，再如 f(x)0，x0，1x，0B 是 sin Asin B 的充要条件D.命题“若anan120，则 xa；命题 q：若 ma2，则 m
6、Babsin Asin B.解析(1)A 错，f(x)1x为奇函数，但 f(0)无意义；D 错，若an递减，则 an1ananan12a，则x0，它是真命题时，a0.命题q的逆否命题是：若msin x，则ma2恒成立，它是真命题时a21，解得a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x1或xx2，则綈p是綈q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)由5x6x2，得2x3，即q：2x0，b0 时，得 4ab2 ab，即 ab4，充分性成立；当 a4，b1时
7、，满足 ab4，但 ab54，不满足 ab4，必要性不成立，故“ab4”是“ab4”的充分不必要条件.规律方法 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练2】(1)(2019天津卷)设xR，则“x25x0”是“|x1|1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a0”是“函数 f(x)sin x1xa 为奇函数”的_条件.解析(
8、1)由“x25x0”可得“0 x5”；由“|x1|1”可得“0 x2”.由0 x5/0 x2；但0 x20 x5，所以“x25x0”是“|x1|10或1m2，1m10，m9，又因为S为非空集合，所以1m1m，解得m0，综上，实数m的取值范围是9，).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练3】(2020 湖南雅礼中学月考)若关于x的不等式|x1|a成立的充分条件是0 x4，则实数a的取值范围是()A.(，1B.(，1)C.(3，)D.3，)解析|x1|a1ax1a，因为不等式|x1|a 成立的充分条件是 0 x4，所以(0，4)(1a，1a)，所以1a0，1a4，解得 a3.答案 D
