1、专题5.3 三角函数的图象与性质【考纲解读与核心素养】1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.3.高考预测：（1） “五点法”作图；（2）三角函数的性质；（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.4.备考重点：（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】知识点1正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小
2、值周期性奇偶性,奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.知识点2“五点法”做函数的图象“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.【典例剖析】高频考点一 三角函数的定义域和值域【典例1】（2020山东高一期末）函数的定义域为_【答案
3、】【解析】解不等式，可得，因此，函数的定义域为.故答案为：.【典例2】（2017新课标2）函数（）的最大值是_【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则 ，由可得，当时，函数取得最大值1【规律方法】1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域【变式探究】1.（
4、2020上海高三专题练习）函数的最大值为2，最小值为，则_，_.【答案】 【解析】由已知得，解得.故答案为：；.2.（2020全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）要使函数有意义，必须使.由正弦的定义知，就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.角的终边应在轴或其上方区域，.函数的定义域为.（2）要使函数有意义，必须使有意义，且.函数的定义域为.【总结提升】在使用开平方关系sin和cos时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角所在的象限，如果角所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角所在的象限是未知的，则
5、需要按象限进行讨论高频考点二 三角函数的单调性【典例3】（2020海南枫叶国际学校高一期中）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）ABCD【答案】D【解析】由五点作图知，解得，所以，令，解得，故单调减区间为（，），故选D.【典例4】（2020河南洛阳高一期末（理）已知，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，且，所以.故选：.【典例5】（2020浙江柯城衢州二中高三其他）已知函数，则的最大值为_，若在区间上是增函数，则的取值范围是_.【答案】2 【解析】因为函数，所以，所以的最大值为2，因为在区间上是增函数，所以，所以，解得.故答案为：(1). 2 (2). 【规律方
6、法】1.求形如或 (其中A0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“ ()”视为一个“整体”；A0(A0，0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令xZ，将函数转化为yAsinZ的形式求最值3.正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(，)，(，)，上都是增函数(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(，)(，)上是增函数高频考点三 三角函数的周期性【典例6】（2018年全国卷文）函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知得
7、的最小正周期故选C.【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.2.使用周期公式，必
8、须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.【变式探究】已知函数ysinx|sinx|(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期【答案】（1）见解析；（2）是，2.【解析】 (1)ysinx|sinx|函数图象如图所示(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2重复一次，则函数的周期是2【特别提醒】最小正周期是指使
9、函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对x而言.高频考点四 三角函数的奇偶性【典例7】（2018届辽宁省丹东市测试（二）设，若，则函数A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称【答案】C【解析】由题意得， ，函数为偶函数故选C【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利
10、用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.【变式探究】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数的图象可能是（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意得函数的定义域为，函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，故排除C,D又当时，因此可排除B故选A【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(x)与f(x)的关系高频考点五 三角函数的对称性【典例8】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，
11、则的值是_【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心【变式探究】（2021广西钦州一中高三开学考试（理）关于函数有如下四个命题：的图像关于轴对称. 的图像关于原点对称.的图像关于直线对称. 的图像关于点对称.其中所有真命题的序号是_.【答案】【解析】对于，定义域为，显然关于原点对称，且，所以的图象关于y轴对称，命题正确；对于，则，所以的图象不关于原点对称，命题错误；对，则，所以的图象
12、不关于对称，命题错误；对，则，命题正确.故答案为：.【特别提醒】1.求yAsin(x)或yAcos(x)函数的对称轴或对称中心时，应把x作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果2.正切函数图象的对称中心是(，0)而非(k，0)(kZ)高频考点六 三角函数的图象和性质的应用【典例9】（2018年理北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则的最小值为_【答案】【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.【典例10】（2020上海高三专题练习）函数的最大值是_，最小值是_.【答案】 【解析】即，故答案为：；【典例11】（2020陕西省汉中中
13、学（理）已知函数的周期是.（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最值及其对应的的值.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】（1）解：,又,的单调递增区间为（2）解：,当时,当,即时,【规律方法】1求形如yasinxb的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(1sinx1)求解2对于形如yAsin(x)k(A0)的函数，当定义域为R时，值域为|A|k，|A|k；当定义域为某个给定的区间时，需确定x的范围，结合函数的单调性确定值域3求形如yasin2xbsinxc，a0，xR的函数的值域或最值时，可以通过换元，令tsinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过
14、程中要注意正弦函数的有界性4求形如y，ac0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sinx的二次函数求解注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性【变式探究】1.（2020山东潍坊高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，令，即，当时，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.2.（2020陕西新城西安中学高三月考（文）设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】令 ，则不等式 对 恒成立，因此 3.（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)当时，的最大值为，求的值【答案】(1) 最小正周期,为的单调递增区间；(2) .【解析】（1）则的最小正周期当时，单调递增即的单调递增区间为：(2)当时，当，即时，所以 【总结提升】比较三角函数值大小的步骤：异名函数化为同名函数；利用诱导公式把角化到同一单调区间上；利用函数的单调性比较大小
