1、第九章 解析几何第七节 抛物线栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单性质.抛物线的定义、标准方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系是 2021 年高考考查的热点，题型为选择题、填空题，有时出现解答题，分值为 512 分.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内(2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 1 _(3)定点 2 _定直线上相等不在2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22p
2、x(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点 O(0，0)对称轴 x 轴 y 轴标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离焦点3 _4 _5 _6 _离心率 e1准线方程x 7 _x 8 _y 9 _y 10 _Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2p2p2p2p2标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR
3、开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)|PF|11_|PF|12 _|PF|13_|PF|14_x0p2x0p2y0p2y0p2常用结论 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)|AF|p1cos，|BF|p1cos，弦长|AB|x1x2p 2psin2(为弦 AB 的倾斜角)(3)1|FA|1|FB|2p.(4)以弦 AB 为直径的圆与准线相切(5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上基础自测一、疑误辨析1判断下列
4、结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 21P72A1 改编)顶点在原点，且过点 P(2，3)的抛物线的标准方程是_答案：y292x 或 x243y3(选修 21P67A3 改编)抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5 的点的个数为_答案：2三、
5、易错自纠4抛物线 yax2 的准线方程是 y1，则 a 的值为()A14B14C4D4解析：选 B 由题意知抛物线的标准方程为 x21ay，所以准线方程为 y 14a1，解得 a14.5动圆过点(1，0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x.答案：y24x6已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y24ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_解析：由题知，直线 l 的方程为 x1，则直线与抛物线的交点为(1，
6、2 a)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为 4，所以 4 a4，即 a1.则抛物线方程为 y24x，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)答案：(1，0)课 堂 考 点 突 破2考点 抛物线的标准方程及几何性质|题组突破|1(2019 届南昌市一模)抛物线 y2x2 的准线方程是()Ax12Bx12Cy18Dy18解析：选 D 抛物线 y2x2 的标准方程为 x212y，其准线方程为 y18，故选 D2(2019 届湖北四地七校 3 月联考)已知抛物线 y22px(p0)，点 C(4，0)，过抛物线的焦点作垂直于 x 轴的直线，与抛物线交于 A，B 两点，若CAB 的面积为 24，则以直线 AB
7、为准线的抛物线的标准方程是()Ay24xBy24xCy28xDy28x解析：选 D 因为 ABx 轴，且 AB 过焦点 F，所以线段 AB 是焦点弦，且|AB|2p，所以 SCAB122pp24 24，解得 p4 或 p12(舍)，所以抛物线方程为 y28x，所以直线 AB 的方程为 x2，所以以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为 y28x，故选 D3(2019 届安徽省五校二检)已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，点 Px0，12 在抛物线 C 上，且|PF|34，则 p()A14B12C34D1解析：选 B 抛物线的准线方程为 yp2，因为 Px0，12 在抛物线上，所以点
8、 P 到准线的距离 d12p2|PF|34，则 p12，故选 B名师点津求抛物线方程的 3 个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系(3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题考点一 抛物线的定义及应用多维探究与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等常见的命题角度有：(1)到焦点与定点的距离之和最小问题；(2)到点与准线的距离之和最小问题；(3)焦点弦中的距离之和最小问题命题角度一 到焦点与定点的距离之和最小问题【例 1】(2019 届重庆模
9、拟)已知点 F 是抛物线 y24x 的焦点，P 是该抛物线上任意一点，M(5，3)，则|PF|PM|的最小值是()A6B5C4D3解析 由题意知，抛物线的准线 l 的方程为 x1，过点 P 作 PEl 于点 E，由抛物线的定义，得|PE|PF|，易知当 P，E，M 三点在同一条直线上时，|PF|PM|取得最小值，即(|PF|PM|)min5(1)6，故选 A 答案 A命题角度二 到点与准线的距离之和最小问题【例 2】设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P到直线 x1 的距离之和的最小值为_解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线方程是 x
10、1，由抛物线的定义知，点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到 F的距离于是问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小，连接 AF 交抛物线于点P，此时最小值为|AF|1（1）2（01）2 5.答案 5命题角度三 焦点弦中的距离之和最小问题【例 3】已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B分别作 y 轴垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析 由题意知 F(1，0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值，依抛物线定义
11、知当|AB|为通径，即|AB|2p4 时最小，所以|AC|BD|的最小值为 2.答案 2名师点津与抛物线有关的最值问题的 2 个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决|跟踪训练|1已知 P 为抛物线 y24x 上的一个动点，Q 为圆 x2(y4)21 上的一个动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是()A2 51B2 52C 171D 172解析：选 C 由题意得圆 x2(y4)21
12、 的圆心 A(0，4)，半径 r1，抛物线的焦点F(1，0)由抛物线的几何性质可得点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是|AF|r 1161 171.故选 C2已知点 F 为抛物线 y28x 的焦点，O 为坐标原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值为()A6B24 2C2 13D4 3解析：选 C 由已知可得抛物线 y28x 的焦点为 F(2，0)，准线方程为 x2.设点 A 的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得 2x04，所以 x02，y04.O 关于准线的对称点为 O(4，0)，则当点 P 为 A
13、O与准线 x2 的交点时，|PA|PO|有最小值，且最小值为|AO|2 13.考点二 直线与抛物线的位置关系【例 4】(2019 年全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l与抛物线 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)若AP3PB，求|AB|.解 设直线 l：y32xt，A(x1，y1)B(x2，y2)(1)由题设得 F34，0，故|AF|BF|x1x2324，所以 x1x252.由y32xt，y23x可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212（t1）9.从而12（t1）952，解得 t78.所以
14、l 的方程为 y32x78.(2)由AP3PB可得 y13y2.由y32xt，y23x可得 y22y2t0.所以 y1y22，从而3y2y22，故 y21，y13.代入抛物线 C 的方程得 x13，x213.故|AB|4 133.名师点津直线与抛物线相交问题处理规律1凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质2对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答，并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的
15、灵活应用3对于抛物线 x22py 的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率由 yx22p得 kyx0p.|跟踪训练|3(2020 届惠州调研)已知 F 是抛物线 C：y2x2 的焦点，N 是 x 轴上一点，线段FN 与抛物线 C 相交于点 M，若 2FM MN，则|FN|()A58B12C38D1解析：选 A 解法一：因为抛物线 C：y2x2，所以 F0，18，抛物线 C 的准线方程为 y18.如图，过点 M 作抛物线准线的垂线，交 x 轴于点 A，交抛物线 C 的准线于点 B，则 MAOF，所以|MA|OF|MN|FN|.因为 2FM MN，所以|MA|2318 112，|MF|MB|
16、11218 524，|FN|3|FM|58，故选 A 解法二：因为抛物线 y2x2，所以 F0，18.设 N(x0，0)，则由 2FM MN 得 M13x0，112，代入抛物线方程，得 112213x0 2，解得 x2038，则|FN|ON|2|OF|238 16458，故选 A4(2019 届武汉市武昌区高三调考)过抛物线 E：x24y 的焦点 F 的直线交抛物线于M，N 两点，抛物线在 M，N 两点处的切线交于点 P.(1)证明：点 P 落在抛物线 E 的准线上；(2)设MF 2FN，求PMN 的面积解：(1)证明：抛物线 x24y 的焦点坐标为(0，1)，准线方程为 y1.设直线 MN
17、的方程为 ykx1，代入抛物线方程 x24y 中，整理得 x24kx40.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24.对 y14x2 求导，得 y12x，所以直线 PM 的方程为 yy112x1(xx1)，直线 PN 的方程为 yy212x2(xx2)联立方程，消去 x，得 y1.所以点 P 落在抛物线 E 的准线上(2)因为MF(x1，1y1)，FN(x2，y21)，且MF 2FN，所以x12x2，1y12（y21），又由(1)知，x1x24，解得 x218，x222.不妨取 M(2 2，2)，N 2，12，则由得 P22，1.易得|MN|92，点 P 到直线 MN
18、 的距离 d3 22，所以PMN 的面积 S12923 22 27 28.考点 与抛物线有关的创新交汇应用问题【例】(2019 届郑州市第一次质量预测)抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB60，过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线 CD，垂足为 D，则|AB|CD|的最小值为()A 3B1C2 33D2解析 如图，过 A，B 两点分别作准线的垂线 AQ，BP，垂足分别为 Q，P.设|AF|a，|BF|b，由抛物线的定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形 ABPQ 中，2|CD|AQ|BP|ab，在ABF中，由余弦定理得，|A
19、B|2a2b22abcos 60a2b2ab，即|AB|2(ab)23ab.因为 abab22，所以|AB|2(ab)23ab(ab)23ab22（ab）24，即|AB|ab2，所以|AB|CD|ab2ab2 1，故选 B 答案 B名师点津抛物线常与平面向量、三角、不等式、导数的几何意义等知识交汇应用，求解时注意利用条件，结合图形分析转化|跟踪训练|抛物线 y24x 的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上两动点，若|AB|32(x1x22)，则AFB 的最大值为()A23B56C34D3解析：选 A 因为|AB|32(x1x22)，|AF|BF|x1x2px1x22，所以|AF|BF|2 33|AB|.在AFB 中，由余弦定理得 cosAFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|（|AF|BF|）22|AF|BF|AB|22|AF|BF|43|AB|2|AB|22|AF|BF|113|AB|22|AF|BF|1.又|AF|BF|2 33|AB|2|AF|BF|AF|BF|13|AB|2，所以 cosAFB13|AB|2213|AB|2112，所以AFB 的最大值为23.故选 A点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
