1、第九章 解析几何第六节 双曲线栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.了解双曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想.双曲线的定义和标准方程，双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系是 2021 年高考考查的热点，题型为选择题、填空题、解答题，分值为 512分.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：(1)在平面内(2)与两定点 F1，F2 的距离的 1 _等于非零常数(
2、3)非零常数 2 _|F1F2|.差的绝对值小于2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)性质范围xa 或 xa，yRya 或 ya，xR对称性对称轴：3 _对称中心：4 _顶点顶点坐标：A1 5 _，A2 6 _顶点坐标：A1 7 _，A2 8_渐近线ybaxyabx 坐标轴原点(a，0)(a，0)(0，a)(0，a)标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)性质离心率e 9 _，e(1，)a，b，c 的关系c2 10 _实虚轴线
3、段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|11 _；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|12 _；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长caa2b22a2b常用结论 1双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.2若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.3同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a；异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.4若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则 SPF1F2 b2tan 2，其中 为F1PF
4、2.5若 P 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)右支上不同于实轴顶点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I 为PF1F2 内切圆的圆心，则圆心 I 的横坐标为定值 a.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()(2)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(3)双曲线方程 x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x2m2y2n20，即 xmyn0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()(5)若双曲线x2a2
5、y2b21(a0，b0)与x2b2y2a21(a0，b0)的离心率分别是 e1，e2，则1e211e221(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(选修 21P62A6 改编)经过点 A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_答案：x2y283(选修 21P61A1 改编)已知双曲线 x2y2161 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点的距离等于_答案：6三、易错自纠4双曲线x236m2y2m21(0m0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_解析：因为双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4
6、)，所以 916b21，解得 b 2，所以该双曲线的渐近线方程是 ybax 2x.答案：y 2x课 堂 考 点 突 破2考点 双曲线的定义及标准方程|题组突破|1(2019 届唐山模拟)已知 F1，F2 是双曲线x24y21 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足F1PF290，则F1PF2 的面积为()A1B 52C2D 5解析：选 A 不妨设|PF1|m，|PF2|n，则由双曲线的定义可知|PF1|PF2|mn|4.又因为F1PF290，所以|PF1|2|PF2|2(2c)220，即 m2n220.又|PF1|PF2|2|mn|216，所以 mn2，所以F1PF2 的面积 S12mn1，故选
7、A2(2020 届合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为 y 22 x，实轴长为 4，则该双曲线的方程为()Ax24y221Bx24y281 或y24x281Cx24y281Dx24y221 或y24x281解析：选 D 因为双曲线的渐近线方程为 y 22 x，a2，所以当焦点在 x 轴上时，ba 22，所以 b 2，所以双曲线的方程为x24y221；当焦点在 y 轴上时，ab 22，所以b2 2，所以双曲线的方程为y24x281.综上所述，该双曲线的方程为x24y221 或y24x281，故选 D3(2020 届陕西摸底)设双曲线x24y231 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线l
8、 交双曲线左支于 A，B 两点，则|AF2|BF2|的最小值为()A13B12C11D10解析：选 C 由题意得双曲线的实半轴长 a2，虚半轴长 b 3.根据双曲线的定义得|AF2|AF1|2a4，|BF2|BF1|2a4，得|AF2|BF2|AF1|BF1|8|AB|8.又|AB|min2b2a 3，所以|AF2|BF2|的最小值为 11，故选 C名师点津1双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：距离之差的绝对值；2a0，b0)的离心率为
9、3，则其渐近线方程为()Ay 2xBy 3xCy 22 xDy 32 x解析 双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 bxay0.又离心率ca a2b2a 3，a2b23a2.b 2a(a0，b0)渐近线方程为 2axay0，即 y 2x.故选 A 答案 A命题角度二 已知渐近线求离心率【例 2】(1)(2019 年浙江卷)渐近线方程为 xy0 的双曲线的离心率是()A 22B1C 2D2(2)(2019 年全国卷)双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为 130，则双曲线 C 的离心率为()A2sin 40B2cos 40C1sin 50D1cos 5
10、0解析(1)因为双曲线的渐近线方程为 xy0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，都满足 ab，所以 c 2a，所以双曲线的离心率 eca 2.故选 C(2)依题意知，batan 130tan(130180)tan 50，两边平方得c2a2a2tan250e21，即 e21tan2501cos250，又 e1，e1cos 50，故选 D 答案(1)C(2)D命题角度三 由离心率或渐近线求双曲线方程【例 3】(2019 届重庆市第一次调研抽测)已知抛物线 y24 5x 的准线 l 过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点 F，且该双曲线的一条渐近线过点 P(1，2)，则该
11、双曲线的方程为()Ax24y21Bx2y241Cx24y221Dx22y241解析 由题意知，抛物线 y24 5x 的准线 l：x 5，因为抛物线 y24 5x的准线 l 过双曲线x2a2y2b21 的一个焦点 F，所以 F(5，0)，所以 a2b25.因为该双曲线的一条渐近线过点 P(1，2)，所以2ba，所以 b2a，所以 a1，b2，所以该双曲线的方程为 x2y241，故选 B 答案 B名师点津解决有关渐近线与离心率关系问题的 2 个注意点(1)已知渐近线方程 ymx，若焦点位置不明确要分|m|ba或|m|ab讨论(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用考点二 直线与双曲
12、线的位置关系【例 4】已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点2a3，0 且与双曲线 C 的一条渐近线垂直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆 与直线 l 交于 M，N 两点，若|MN|4 23 c，则双曲线 C 的渐近线方程为()Ay 2xBy 3xCy2xDy4x解析 由题意得，渐近线方程为 ybax，设垂直于直线 l 的渐近线方程为 ybax，则直线 l 的斜率 k1ab，则直线 l 的方程为 yabx23a，整理可得，axby23a20，焦 点(c，0)到 直 线 l 的 距 离 d ac23a2a2b2 ac23a2c，则|MN|2c
13、2d2 2c2ac23a2 2c24 23 c，整理可得 c49a2c212a3c4a40，即 e49e212e40，即(e1)(e2)(e23e2)0.又双曲线的离心率 e1，所以 e2.又 a2b2c2，eca，所以 b 3a，故双曲线 C 的渐近线方程为 y 3x，故选 B 答案 B名师点津直线与双曲线位置关系的判断方法直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为 0 的判断|跟踪训练|过双曲线 x2y221 的一个焦点作直线 l，交双曲线于 A，B 两点若|AB|4，则这样的直线有()A4 条B3 条C
14、2 条D1 条解析：选 B 当直线 l 与双曲线的左、右两支各有一个交点时，弦长|AB|的最小值为实轴长 2a2；当直线 l 与双曲线的其中一支有两个交点时，弦长|AB|的最小值为通径长2b2a 4.根据双曲线的对称性可知，若|AB|4，则当直线 l 与双曲线的左、右两支各有一个交点时，这样的直线有 2 条；当直线 l 与双曲线的其中一支有两个交点时，这样的直线有 1 条综上，若|AB|4，则这样的直线有且仅有 3 条考点 双曲线的离心率范围问题【例】(2020 届成都摸底)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)，点 Nc，3b22a
15、.若双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|MN|4b，则双曲线 C 的离心率的取值范围为()A133，5B(5，13)C1，133(5，)D(1，5)(13，)解析 由双曲线定义知|MF2|MF1|2a，所以|MF2|MF1|2a.又|MF2|MN|4b 恒成立，所以|MF1|MN|2a4b 恒成立，即|MF1|MN|4b2a 恒成立(|MF1|MN|)min4b2a.由平面几何知识，得当 MF1x 轴时，|MF1|MN|取得最小值3b22a，所以3b22a 4b2a，即 3 ba28ba40，解得 0ba23或ba2.又 eca1ba2，所以 e1，133(5，)，故选 C 答案
16、 C名师点津求解双曲线离心率的取值范围(1)几何法：借助平面几何图形中的不等关系(线段长度、角度、斜率等)，如焦半径|PF1|ca，)或|PF1|ac，)、三角形中两边之和大于第三边、渐近线等(2)不等式法：借助题目中给出的不等信息(3)代数法：借助函数的值域求解范围|跟踪训练|(2019 届长春市第二次质量监测)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是()A53，2B1，53C(1，2D53，解析：选 B 由|PF1|4|PF2|及|PF1|PF2|2a，得|PF2|2a3 ca，故 c2a3 a5a3，则 eca53.又因为双曲线的离心率 e1，所以 1e53.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
