1、专题16 函数动点问题中三角形存在性模型一、等腰三角形存在性问题以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.模型二、直角三角形存在性问题以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”.【例1】（2019郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2x+c经过点A(1,0),B(4,0)，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q.（1）求抛物线的解析式；（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横
2、坐标，若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x4），将点（0，2）代入上式，得：a=，即抛物线的解析式为：y=x2x2；（2）由y=x2x2得：C(0,2), 由勾股定理得：BC=2,由C(0,2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=x2，设P（m，m2m2），则Q(m，m2)，过Q作QMy轴于M，则QMAB，,即，CQ=,PQ=m2+2m, PC=m，当CQ=PQ时，=m2+2m，解得：m=0（舍）或m=4；当CQ=PC时，= m，解得：m=0（舍）或m=2或m=4（舍）；当PQ=PC时，m2+2m= m，解得：m=0
3、（舍）或m=；综上所述，存在点P，使CPQ是等腰三角形，点P的横坐标为：4或2或.【变式11】（2018开封二模）如图，抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点B(3,0)，抛物线的对称轴为x=1.（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在OBC内部（包含OBC边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=3上，PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P的坐标，若不能，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：由题意得：，解得：，即抛物线
4、的解析式为：y=x2+2x+3.（2）在y=x2+2x+3中，当x=0时，y=3，即C(0,3),由B(3,0)，C(0,3)得直线BC的解析式为：y=x+3,在y=x2+2x+3中，当x=1时，y=4，在y=x+3中，当x=1时，y=2，若将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在OBC内部（包含OBC边界），则2h4.（3）当P在x轴上方时，过点P作PDl于M，PNx轴于N，由PBQ为等腰直角三角形可知，PBNPQM，则PN=MQ，设P（m，y），则PN=PM=y，而PM=m+3，y=m+3，m2+2m+3= m+3，解得：m=0或m=1，即P(0,3)或（1,4）；当P
5、点在x轴下方时，同理可得：m2+2m+3=m3，解得：m=或m=，即P(，)或(，)，综上所述，PBQ能成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为：(0,3)或（1,4）或(，)或(，).【例2】（2019省实验四模）如图，已知抛物线经过点A(1,0)，B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解
6、：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x4），将点C(0,2)代入上式得：a=，即抛物线的解析式为：y=（x+1）（x4）=x2+x+2.（2）存在；由题意知，QMB90，分两种情况讨论：当MQB=90时，此时点Q与点P重合于点A，即Q(1,0)；当QBM=90时，BPQMPB，BP2=PMPQ，点D与点C关于x轴对称，D(2,0)，由B(4,0)，D(0, 2)得直线BD的解析式为:y=x2，设P（m，0），则M(m，m2)，Q(m，m2+m+2)，BP=4m，PM=2m，PQ=m2+m+2，（4m）2=（2m）（m2+m+2），解得：m=3或m=4（舍），即Q(3，2);综上所述，
7、点Q的坐标为：(1,0)，(3，2).【变式21】（2019信阳一模）如图,顶点为(2,1)的抛物线y=ax2+bx+c(a0)交y轴于点C(0,3),交x轴于A,B两点,直线l过AC两点,点P是位于直线l下方抛物线上的动点,过点P作PQy轴,交直线l于点Q.(1)求抛物线的解析式;(2)求线段PQ的最大值及此时点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使BCG为直角三角形?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）抛物线的顶点为（2，1），即抛物线解析式可表示为：，将C(0,3)代入上式得：a=1，即抛物线的解析式为：=.（2）由，得当y=
8、0时，x=1或x=3，即B(1,0)，A(3,0),由A(3,0), C(0,3)可得直线AC的解析式为：y=x+3，设Q（m，m+3），则P(m，), 0mOD，故此种情况不存在； 综上所述，存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形，点P的坐标为：（1+，2），P（1，2），P（1+，3），（1，3）2.（2019郑州外外国语测试）如图所示，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a0）与x轴交于另一点A(,0)，在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B、O、C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2所示，
9、若点M在这条抛物线上，且MBO=ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得POCMOB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）y=x过点B（2，t），t=2，即B（2,2），将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得：，解得：a=2，b=3，抛物线的解析式为：y=2x23x；（2）过C作CDy轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BFCD于F，如图所示，设C（t，2t23t），则E(t，0)，D（t，t），点C在第四象限，OE=t，BF=2t，CD=t（2t23t）=2t2+4t，SOBC=SCDO+SCDB=CD（OE+BF）=（2t2+4t）
10、（t+2t）=2t2+4t，2t2+4t=2，解得：t=1，C(1，1).（3）存在. 如图，连接AB、OM，设BM与y轴交于点N，由B(2,2)，知AOB=NOB=45，OB=OB，ABO=MBO,AOBNOB，ON=OA=，即N（0，），设直线BM的解析式为：y=kx+，将B（2,2）代入得：k=，即直线BM的解析式为：y=x+，联立y=x+，y=2x23x，解得：x=2，y=2（点B）或x=，y=，即M（，），POCMOB，=2，POC=BOM，当点P在第一象限时，过M作MGy轴于G，过P作PHx轴于H，如图，CAO=BOG=45，BOM=BOC，GOM=POH，PHO=MGO=90，M
11、OGPOH，=2，由M（，）得：MG=，OG=，PH=，OH=，即P（，）；当点P在第三象限时，过M作MGy轴于G，过P作PHy轴于H，同理得：PH=，OH=，即P(，)，综上所述，满足条件的点P的坐标为：(，)，（，）.3.（2018信阳一模）如图，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC=10，抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，CPQ的面积为S求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值；在S最大的情况下，在抛物线y=x2
12、+bx+c的对称轴上，若存在点F，使DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析.【解析】解：（1）在RtAOC中，由勾股定理可得，OC=6，C（6，0），将A（0，8）、C（6，0）两点坐标代入y=x2+bx+c，得：c=8，36+6b+c=0，解得：b=，c=8，抛物线的解析式为：y=x2+x+8；（2）过点Q作QEBC于点E，可得：AQAB，即，QE=（10m）=6m，S=CPQE=m（6m）=（m5）2+，当m=5时，S取最大值；抛物线y=x2+x+8的对称轴为x=，可得：D（3，8），Q（3，4），由图可知，（i）当FDQ=90时，F1（
13、，8），（ii）当FQD=90时，F2（，4），（iii）当DFQ=90时，设F（，n），由勾股定理得：FD2+FQ2=DQ2，即，解得，n=或n=，F3（，），F4（，），综上所述，点F坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，），F4（，）.4.（2019南阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB90，ACBC，OA1，OC4，抛物线yx2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点E、
14、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】见解析.【解析】解：（1）ACB90，ACBC，OA1，OC4，A（1，0），B（4，5），二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（4，5），1b+c=0， 16+4b+c=5，解得：b2，c3；（2）设直线AB的解析式为：y=kx+m，直线AB经过点A（1，0），B（4，5），直线AB的解析式为：yx+1，设点E（t，t+1），则F（t，t22t3），EF（t+1）（t22t3）（t）2+，当t时，EF的最大值为，此时点E的坐标为
15、（，）；（3）由yx22x3=（x1）24，得：D(1,4),由（2）知点F的坐标（，），S四边形EBFDSBEF+SDEF（41）；）当E为直角顶点时，设点P（m，m22m3）则：m22m3，解得：m11+，m21，P1（1，），P2（1+，），）当F为直角顶点时，设P（n，n22n3）则：n22n3，解得：n1，n2（与点F重合，舍去），P3（，），综上所述：所有点P的坐标为：（1，），（1+，），（，）5.（2019西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断A
16、BC的形状；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，A（5，0），B（0，10），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，抛物线过点B（0，10），C（8，4），O(0,0)，c=0，25a+5b=0，64a+8b=4，a=，b=，c=0抛物线解析式为：y=x2x，A（5，0），B（0，10），C（8，4），AB2=52+102=125，BC2=82+（104）2=100，AC2=42+（85）2=25，AC2+BC2=AB2，AB
17、C是直角三角形（2）存在，由y=x2x，得抛物线的对称轴为x=，由（1）知：AB2=125，设点M（，m），若BM=BA时，则（）2+（m10）2=125，m1=，m2=，即M1（，），M2（，）；若AM=AB时，（）2+m2=125，m3=，m4=，M3（，），M4（，）；若MA=MB时，（5）2+m2=（）2+（10m）2，m=5，M（，5），此时点M是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，综上所述，点M的坐标为：（，），M2（，），（，），M4（，）. 6.（2019郑州联考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO
18、，点F为OB中点图1 图2（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图2，若点G与点B关于抛物线对称轴对称，直线BG与y轴交于点M，点N是线段BG上的一动点，连接NF，MF，当NFO3BNF时，连接CN，将直线BO绕点O旋转，记旋转中的直线BO为BO，直线BO与直线CN交于点Q，当OCQ为等腰三角形时，求点Q的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）在y中，当y0，解得：x1，x2，A（，0），C（，0）当x1时，y2即B（1，2），设直线BC的解析式为ykx+b得：，解得，直线BC的解析式为yx+.（2）由题意知：M（0，2）NFO3BNFFBN2BNF作FBN的角平分线交x轴于点E，则OBEEB
19、GOEBBNF过点B作BJx轴于J，过点F作FDMN，则J（1，0），由勾股定理得：OB3，OE3，EJ2，BJOM=2，tanBEJtanBNF=，由FD，得ND1，N（，2），tanNCO，当OQ1=CQ1时，此时Q在OC的垂直平分线上，OC点Q1的横坐标为：，由tanNCO，得纵坐标为：，Q1（，）；当OQ2OC时，过点Q2作Q2POC于P，OQ2,设PCx，则Q2Px，OPx,由勾股定理解得：解得：x=或x=0（舍），Q2（，）；当OCCQ3时，过点Q3作Q3KOC于K，CQ3，CK，Q3K，Q3（，）同理，得当Q在NC延长线上时，得Q点坐标为（+，）；综上所述：点Q的坐标为（，），（
20、，），（，），（+，）7.（2019平顶山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y=，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C.（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图，过A点的直线垂直x轴于点M，点N为直线AM上任意一点，当BCN为直角三角形时，请直接写出点N的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）抛物线y=过点A（1，3）、B（0，1），解得：，即抛物线的表达式为：y=，y=，顶点坐标为：；（2）设N（1，n）B（0，1）、C（4，3）BN212+（n1）2n22n+2，CN232+（n3）2n26n+18，BC242+2220当BNC90时，BN2+CN2
21、BC2，即（n22n+2）+（n26n+18）20解得：n10，n24，即N(1,0)，（1,4）；当CBN90时，BN2+BC2CN2，即（n22n+2）+20n26n+18解得：n1，即N(1,1);当BCN90时，BC2+CN2BN2，即20+n26n+18n22n+2解得：n9，即N(1,9);综上所述，N点的坐标为：（1，0），（1，4），（1，1），（1，9）.8.（2017预测卷）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的
22、P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标 【答案】见解析.【解析】解：直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），m=6，解得：，抛物线的解析式为y=2x28x+6（2）设点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6）=2（n）2+，当n=时，线段PC有最大值，为（3）若PAC为直角三角形，当APC=90时，由题意知，PCy轴，APC=45，这种情况不存在；当PAC=90时，由题意知，APC=45，即APC为等腰直角三角形，设P(m
23、，m+2)，则C（m，2m28m+6），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：m+2= m+2（2m28m+6），解得：m=（舍）或m=3，此时P(3,5)；当ACP=90时，则C点纵坐标为，由对称性，知C(,),P（，）综上所述，PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）9.（2019许昌月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CEx轴，垂足为点E，tanABO=，OB=4，OE=2（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DFy轴，垂足为点F，连接OD、BF如果S
24、BAF=4SDFO，求点D的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）OB=4，OE=2，BE=OB+OE=6CEx轴，CEB=90在RtBEC中，CEB=90，BE=6，tanABO=，CE=BEtanABO=6=3，C（2，3），m=23=6，即反比例函数的解析式为y=（2）设点D的坐标为（n，）（n0），在RtAOB中，AOB=90，OB=4，tanABO=，OA=OBtanABO=4=2，SBAF=AFOB=（2+）4=4+SDFO=3SBAF=4SDFO，4+=43，解得：n=，经验证，n=是分式方程的解，点D的坐标为（，4）10.（2018洛宁县模拟）如图,在平面直角坐标系中,一次函数y
25、x2的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线yax2bxc关于直线x对称，且经过B, C两点，与x轴交于另一点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为直线BC上方的抛物线上的一点,过点P作PQx轴于M，交BC于Q，求PQ的最大值； (3)在抛物线的对称轴上找出使BDC为直角三角形的点D,直接写出点D的坐标. 【答案】见解析【解析】解：（1）在yx2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=4，即C(0,2)，B(4,0)，抛物线yax2bxc关于直线x对称，A(1,0),将A(1,0), C(0,2)，B(4,0)代入yax2bxc得：，解得：即抛物线的解析式为：；（2）设点P(x, )
26、，则Q(x, x2)，（0x4）PQ=（x2）=，当x=2时，PQ有最大值，最大值为2；（3）存在，设D(，m)，由C(0,2)，B(4,0)得：BC2=20，CD2=+（m2）2，BD2=+m2，当点C为直角顶点时，BD2= CD2+ BC2+m2=+（m2）2+20，解得：m=5，即D(，5)，当点B为直角顶点时，同理可得：+（m2）2=+m2+20，解得：m=5，即D(，5)，当点D为直角顶点时，同理可得：+m2+（m2）2=20，解得：m=或m=，即D(，)，D(，)，综上所述，点D的坐标为：(，5)，(，5)，(，)，(，).11.（2019郑州外国语模拟）在平面直角坐标系中，抛物线
27、y=x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(1,0)，C(0,3).(1)求抛物线的解析式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线与点D，当CDP为等腰三角形时，求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(1,0)，C(0,3)代入y=x2+bx+c得：，解得：，即抛物线的解析式为：y=x2+2x+3；（2）在y=x2+2x+3中，当y=0时，x=1或x=3，即B(3,0),设直线BC的解析式为：y=kx+n，有：，解得：，直线BC的解析式为：y=x+3，设D(m，m2+2m+3)，则P(m，m+3)，DP=m2+3m，0m0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，
28、m）作PMx轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m1，连接CA，若ACP为直角三角形，求m的值.（3）在坐标轴上是否存在点E，使得PEC是以点P为顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）若m=2，则抛物线解析式为：y=x24x，抛物线的对称轴为：x=2，令y=0，得x=0或x=4，即A(4,0)，点P(1,2)，且BPx轴，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，B(1,3)，C(3,3).（2）抛物线y=x22mx的对称轴为：x=m，A(2m，0),则P(1,m)，
29、B(1,12m)，由点B关于抛物线对称轴的对称点为C，得：C(2m1,12m)，由勾股定理得：PA2=(2m1)2+m2=5m24m+1，PC2=(2m2)2+(m1)2=5m210m+5，AC2=1+(2m1)2=4m24m+2，当点C为直角顶点时，5m24m+1=5m210m+5+4m24m+2，解得：m=或m=1（舍）当点P为直角顶点时，4m24m+2=5m210m+5+5m24m+1，解得：m=（舍）或m=1（舍）；当点A为直角顶点时，5m210m+5=4m24m+2+5m24m+1，解得：m=（舍）或m=1（舍）；综上所述，m=.（3）存在；由点P（1，m），m0，知点P在x轴下方，
30、连接BC，如图所示，则BC=|2m2|，PM=m，PB=|m1|，当点E在x轴上时，可证得：PMECBP，即MP=BC，ME=PB，m=|2m2|，解得：m=2或m=，ME=1或，OE=2或，即E(2,0)或（，0）；当点E在y轴上时，过P作PNy轴于N，同理可得：|m1|=1，NE=BC=|2m2|，解得：m=2或m=0（舍），NE=2，OE=4，即E(0，4),综上所述，点E的坐标为：(2,0)或（，0）或(0，4).13.（2017禹州市二模）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4），矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD，AB分别在x轴，y轴上，且AD=
31、2，AB=3（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由当t=1时，射线AB上存在点Q，使QME为直角三角形，请直接写出点Q的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x2）2+4，把（0，0）代入解析式得：a=1，抛物线解析式为y=（x2）2+4，即：y=x2+
32、4x（2）存在由题意得：点P的坐标为（t，t），点N的坐标为（t，t2+4t），PN=t2+3t，当PN=0，即t=0或t=3时， P、N、C、D所构成的多边形为三角形，此时S=3，当PN0时， PNCD，ADDC，S=（CD+PN）AD= 3+（t2+3t）2，=（t）2+，当t=时，S最大=3，以点P、N、C、D所构成的多边形的面积S有最大值，这个最大值为：；过点M作MGAB于点G，作MHx轴于点H，由M（2，4），E（4，0）得：EH=2，MH=4，MG=1，设点Q的坐标为（1，m），（i）若Q1ME=90，则MGQ1MHE，MG：GQ1=MH：EH，即1：GQ1=4：2，解得：GQ1=，m=，点Q1的坐标为（1，）；（ii）若MQE=90，则MGQ2Q2AE，MG：GQ2=AQ2：AE，1：（4m）=m：3，解得：m=1或m=3，点Q2的坐标为（1，1）或（1，3）；（iii）若QEM=90，则点Q在BA的延长线上，不符合题意综上所述，点Q的坐标为：（1，），（1，1），（1，3）
