1、20 探索问题1已知函数(a,cR,a0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1) （1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由 命题意图 本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力 知识依托 函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题 错解分析 不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解 技巧与方法 充分利用题设条件是解题关键 本题是存在型探索题
2、目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证 转化思想解 （1）f(x)是奇函数f(x)=f(x)，即bx+c=bxcc=0f(x)=由a0，b是自然数得当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0f(x)的最大值在x0时取得 x0时，当且仅当即时，f(x)有最大值=1,a=b2 又f(1)，,5b2a+2 把代入得2b25b+20解得b2又bN,b=1,a=1,f(x)=（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，P(x0,y0)则Q（2x0,y0)，,消去y0，得x022x01=0解之，得x0=1,P
3、点坐标为()或()进而相应Q点坐标为Q（）或Q() 过P、Q的直线l的方程 x4y1=0即为所求 2如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且AB=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段 （1）建立适当的平面直角坐标系，求AMN的外心C的轨迹E；（2）接上问，当AMN的外心C在E上什么位置时，d+BC最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离） 命题意图 本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力 知识依托 求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程 错解分析 建立恰当的直角坐标
4、系是解决本题的关键，如何建系是难点，第二问中确定C点位置需要一番分析 技巧与方法 本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目 数形结合思想解 （1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系 设AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（xp,0)，N(x+p,0)，由题意，有CA=CM,化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线 （2）由（1）得，直线c恰为轨迹E的准线 由抛物线的定义知d=CF，其中F（0,）是抛物线的焦点 d+BC=CF+BC由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交
5、点即为所求的点直线BF的方程为联立方程组得 即C点坐标为() 此时d+BC的最小值为BF= 3. 在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.分析：本题主要考查数列的概念和性质、不等式的性质，综合运送知识分析问题和解决问题、探索问题的综合能力。 分类讨论思想方法答案：（）解：（答案不惟一）（）解：因为绝对差数列，所以自第20项开始，该数列是。即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，
6、0，3，所以当时，an的极限不存在。当（）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项，证明如下：假设中没有零项，由于，所以对于任意的n，都有，从而当；当即的值要么比至少小1，那么比至少小1。令则由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c10（n=1,2,3,）矛盾，从而必有零项。若第一次出现的零项为第n项，记，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A即所以绝对差数列中有无穷多个零的项。4. 设f(x)是定义在0, 1上的函数，若存在x*(0，1)，使得f(x)在0, x*上单调递增，在x*，1上单调递减，则称f(x)为0, 1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间
7、 对任意的0，l上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（I）证明：对任意的x1，x2(0，1)，x1x2，若f(x1)f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；（II）对给定的r（0r0.5），证明：存在x1，x2(0，1)，满足x2x12r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5r；（III）选取x1，x2(0, 1)，x1x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2
8、，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）分析：本题考查函数的定义、单调性及不等式等基础知识，及理解分析问题、解决问题的探索创新的能力 分类讨论思想方法答案：（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在0, x*上单调递增，在x*, 1上单调递减 当f(x1)f(x2)时，假设x*(0, x2)，则x1x2f(x1)， 这与f(x1)f(x2)矛盾，所以x*(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间. 当f(x1)f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则x*x1f(x2)， 这与f
9、(x1)f(x2)矛盾，所以x*(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间.（II）证明：由（I）的结论可知： 当f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l1x2； 当f(x1)f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1x1； 对于上述两种情况，由题意得 由得 1x2x11+2r，即x1x12r. 又因为x2x12r，所以x2x1=2r, 将代入得 x10.5r, x20.5r， 由和解得 x10.5r， x20.5r 所以这时含峰区间的长度l1l10.5r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5r（III）解：对先选择的x1；x2，x1x3时，含峰区间的长度为x1 由条件x1x30.02，得x1(12x1)0.02，从而x10.34 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x10.34，x20.66，x3=0.32
