1、一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合，则 .【答案】【解析】试题分析：,则考点：集合运算2.若复数（是虚数单位），则的虚部为 .【答案】3【解析】试题分析：,则的虚部为3考点：复数概念3.如图，若输入的值为，则相应输出的值为 .【答案】【解析】试题分析：,由流程图得考点：流程图4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组、第二组、第八组. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数
2、为 .【答案】144【解析】试题分析：由图得，身高180cm以上（含180cm）的频率为，则人数为考点：频率分布直方图5.双曲线的焦点到渐近线的距离为 .【答案】4【解析】试题分析：焦点，渐近线，即，则考点：双曲线渐近线6.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .【答案】【解析】试题分析：从5个数中，随机抽取2个不同的数共有10种情况，其中满足2个数的和为偶数共有1+3,1+5,2+4,3+5这4种，则这2个数的和为偶数的概率是考点：古典概型概率7.已知等比数列满足，则该数列的前5项的和为 .【答案】31考点：等比数列通项与求和8.已知正四棱锥底面
3、边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 .【答案】5【解析】试题分析：，得；正四棱锥底面对角线长为8，则此四棱锥的侧棱长为考点：正四棱锥体积9.已知函数（），且（），则 .【答案】【解析】试题分析：由得，由且，不妨设，则，解得，则考点：给值求角10.已知，若，则 .【答案】【解析】试题分析：,由得即，又解得考点：向量数量积，同角三角函数关系，二倍角公式11.已知且，则的最小值为 .【答案】3【解析】试题分析：令，又得，解得即，当且仅当时取“=”考点：基本不等式求最值12.已知圆O：，若不过原点O的直线与圆O交于、两点，且满足直线、的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为 .【答案】【解析】试题分
4、析：设，代入圆的方程，化简得：设，得， ，由得解得考点：直线与圆位置关系13.已知数列中，（），（），记，若，则 .【答案】1343考点：数列周期14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. 若集合，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】试题分析：时，满足时，由图像知，0-3a3ayx综上，实数的取值范围为考点：函数图像二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.如图，已知直三棱柱中，、分别为、中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行
5、出发进行论证，而线线平行，一般可从平面几何条件中寻找，例如中位线性质（2）证明面面垂直，首先转化为线面垂直:平面,而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直的判定及性质定理.先由平面几何条件得,即，又由得平面.考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理.16.已知函数（）的周期为.（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角，对应的边分别为，若，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）研究三角函数性质，一般将三角函数化为基本三角函数形式，即利用降幂公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式：，再根据正弦函数性质求其值域（2）先由确定，这样三角形面积公式就选用，从而
6、问题转化为求，这可利用余弦定理的变形得到：，即，试题解析：解：（1） 2分的周期为，且，解得 4分又， 得， 即函数在上的值域为7分（2） 由，知，解得：，所以 9分由余弦定理知：，即，因为，所以 12分 14分考点：降幂公式、二倍角公式、配角公式，余弦定理17.如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），为坐标原点.（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求点坐标，一般方法为待定系数法，即列两个独立条件，解方程组就可.M满足直线的方程及直线的方程，而直线的斜率为斜率，因此可由点斜式写出直线的方程
7、为：，而直线与OP垂直，因此由OP斜率的负倒数得直线斜率，也可由点斜式写出直线的方程，联立两方程解出点的横坐标为（2）求椭圆离心率，只需得到关于a,b,c的一个关系式：本题可用a,b,c表示出点P的坐标，再根据点P坐标的取值范围得到a,b,c的一个关系式，设，则点，所以由得，又，解得，而，因此试题解析：（1） 直线的方程为：，直线的方程为： 4分由解得： 点的横坐标为 6分（2）设 ， 即 9分联立方程得：，消去得：解得：或 12分 解得：综上，椭圆离心率的取值范围为 15分 考点：椭圆离心率18.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物
8、线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系.（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为） 【答案】（1）40（2）拱高为米，拱宽为米【解析】试题分析：（1）实际问题为求抛物线方程，再根据方程求对应点的坐标：先确定抛物线形状再代入点解得，最后令，解得：，即隧道设计的拱宽l是40米；（2）由于隧道口截面面积公式为，因此本题难度不大，只需消元，将二元转化为一元问题，再利用导数求解即可.因为抛物线过点过点，代入抛物线方程得：两式相除解得，因
9、此解出定义域：，下面利用导数求解即可.试题解析：解：（1）设抛物线的方程为：，则抛物线过点，代入抛物线方程解得：， 3分令，解得：，则隧道设计的拱宽l是40米； 5分（2）抛物线最大拱高为h米，抛物线过点，代入抛物线方程得：令，则，解得：，则，9分 即 12分当时，；当时，即在上单调减，在上单调增，在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小 15分考点：求抛物线方程，利用导数求最值19.已知函数（），其中是自然对数的底数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.【答案】（1） ，（2）（3）【解析】
10、试题分析：（1）求函数极值，首先确定函数定义域R，再求函数导数，再定义域上求导函数零点，最后列表分析函数极值： ，（2）利用导数研究函数单调性，一般先确定对应不等式恒成立：在上恒成立，即在上恒成立；再利用变量分离，转化为对应函数最值：且，注意变量分离时需分类讨论，最后利用导数或基本不等式求最值（3）利用导数研究函数图像，经过两次求导后得导函数先增再减再增，且仅在上有且仅有一个零点，即原函数先减再增，由于，因此，即.试题解析：解：（1），则 2分令 ， 00 增极大值减极小值增 ， 4分 （2）问题转化为在上恒成立； 又 即在上恒成立； 6分 ，对称轴当，即时，在上单调增， 8分当，即时，在上单
11、调减，在上单调增， 解得： 综上，的取值范围是 10分 （3） 设 ， 令 ， 令 00 增极大值减极小值增 ， 13分 在上单调减，在上单调增又 由零点的存在性定理可知： 即 16分考点：利用导数求函数极值，利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数零点20.若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.（1）已知，且，写出、；（2）已知，且，求的前项和；（3）已知，且（），若数列中，是公差为（）的等差数列，且，求的值及的值【答案】（1） （2）（3），或【解析】试题分析：（1）本小题实质为阅读题意：，则 ；，则， ，则， （2）本小题由特殊到一般，
12、考查归纳与分类：为偶数时，则，则；为奇数时，则，则；再分类求和：为偶数时，则；为奇数时，则；（3）先按题中定义确定A的范围：设，从而再由得，为正整数 ，最后代入验证得，因此，最后由得，经验证得或试题解析：解：（1），则 ；，则， ，则， 3分（2）为偶数时，则，则；为奇数时，则，则； 5分为偶数时，则；为奇数时，则； 8分（3）依题意：，设，即数列中，不超过的项恰有项，所以，同理：即故由得，为正整数 ， 10分当时， ， 不合题意，舍去；当时， ， 不合题意，舍去；当时， ，适合题意，12分此时， 为整数 或， 14分当时， 无解当时， 无解当时， 当时， 无解 或综上：，或 16分 考点：新
13、定义附加题21.已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线，求矩阵.【答案】【解析】试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线上任意一点在矩阵的变换作用下，变换为点，则有 ，因为所以与重合，因此试题解析：解：设直线上任意一点在矩阵的变换作用下，变换为点 由,得 5分又点在上,所以,即 依题意,解得， 10分考点：矩阵变换22.在极坐标系中，求圆上的点到直线（）距离的最大值.【答案】【解析】试题分析：利用将极坐标方程、化为直角坐标方程、，再利用点到直线距离公式求最值试题解析：解：圆的直角坐标方程为， 3分直线的直角坐标方程为， 6分圆心到直线的距离为，则圆上点到直线距离最大值为 1
14、0分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式23.某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金元. 活动规定：参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.【答案】（1）
15、（2）当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大 【解析】试题分析：（1）正确理解题意是解决概率问题的关键：参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元是指“参与者在乙箱中摸到红球，且在甲箱中摸到黑球”，因此所求概率为（2）参与者摸球的顺序有两种，需分别讨论：先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取，求出对应概率，算出数学期望值；先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取，同样求出对应概率，算出数学期望值；比较两个数学期望值的大小，作出判断.试题解析：解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元
16、为事件则 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元的概率为 4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取 则 6分先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取则 8分 当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大答：当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大 10分 考点：概率，数学期望24.已知函数，设数列满足：，.（1）求证：，都有；（2）求证：【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定函数值域，即当时，再利用数学归纳法给予证明（2）由得，两边取对数得，再构造等比数列，从而求得，因此再放缩为一个等比数列的和：试题解析：（1）解：当时， 有时，不等式成立 1分假设当时，不等式成立，即则当时，于是，即，可得所以当时，不等式也成立由，可知，对任意的正整数，都有 4分（2）由（1）可得两边同时取为底的对数，可得化简为所以数列是以为首项，为公比的等比数列 7分，化简求得：，时， 时，时， 10分考点：数学归纳法，数列综合应用
