1、江苏省扬州市2022-2023学年度上学期期末考试题 高三数学 2023.01试卷满分：150分， 考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的模是（）A1BCD2已知集合，则（）ABCD3设，则“成等比数列”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的
2、区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（）A直方图中x的值为0.035B在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人C估计全校学生的平均成绩为83分D估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5已知，且，则（）A B C D6.在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 27如图是一个由三根细棒、组成的支架，三根细棒、两两所成的角都为，一个半径为的小球放在支架上，则球心到点的距离是（）A B C D8已知函数及其导
3、函数的定义域均为R，且是偶函数，记，也是偶函数，则的值为（）A2B1C0D2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9如图，在正方体中，为的中点，则（）A平面B平面C平面平面D直线与平面所成角的余弦值为10已知函数的一条对称轴为，则（）A的最小正周期为BC在上单调递增D11已知数列中，则关于数列的说法正确的是（）A B数列为递增数列C D数列的前n项和小于12已知函数，若与图象的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，则下列说法正
4、确的有（）A若，则B若，则C若，则D若，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13已知展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含项的系数为_.14 已知,则与的夹角为_15 已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为_16对于函数和，设，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为_.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17已知数列满足，.(
5、1)若，数列的通项公式；(2)若数列为等比数列，求.18记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求；(2)求的取值范围19密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出
6、了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）20图1是直角梯形ABCD，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2.(1)求点D到平面的距离；(2)若，求二面角的大小.21已知点是焦点为F的抛物线C：上一点(1)求抛物线C的方程；(2)设点P是该抛物线上一动点，点M，N是该抛物线准线上两个不同
7、的点，且的内切圆方程为，求面积的最小值22已知函数，其中(1)讨论函数的单调性；(2)若在上的最大值为0，求a的取值范围；若恒成立，求正整数k的最小值参考答案：1C【详解】因为，所以，所以的共轭复数为，所以的共轭复数的模是.2A【详解】由，可得，则又，所以.3A【详解】若成等比数列，则，所以；若,满足，但是不满足成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“成等比数列”是“”的充分不必要条件，4D【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误；对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数
8、为100.015400=60人，故B错误；对于C：估计全校学生的平均成绩为550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；故C错误.对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为分.故D正确.5D【详解】设，则，即，故，.6.B 【详解】由点M到直线的距离大于m恒成立，可得点M到直线的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为，则与的距离即为最近距离，则，即.7C【详解】如图所示，连接，作所在外接圆圆心，连接，设，由、两两所成的角都为可得，因为为几何中心，所以，易知对和，所以，所以，即，解得.故选：C8C【详解】因为是偶函数，所以 ，两边求导得 ，即，所以 ，即，令 可得
9、，即 ，因为为偶函数，所以 ，即 ，所以 ，即 ， ，所以4是函数的一个周期，所以,9 ACD10 ABD【详解】因为函数，因为函数的一条对称轴为，所以，解得：，又因为，所以，则，对于，函数的最小正周期，故选项正确；对于，故选项正确；对于，因为，所以，因为函数在上单调递减，故选项错误；对于，因为，令，当时，则，所以在上单调递增，则，也即，当时，则，所以在上单调递减，则，也即，综上可知：恒成立，故选项正确，11BCD【详解】由，得，即，又， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，故A错误，C正确；，所以为递增数列，故B正确；，所以数列的前n项和为，故D正确. 12BCD【详解】对
10、于A：当时，令，则，即函数有且仅有一个零点为，同理易知函数有且仅有一个零点为，即与也恰有一个公共点，故A错误；对于B：当时，如下图：易知在，且，与图象相切，由当时，则，故，从而，所以，故B正确；对于C：当时，如下图：则，所以，又图象关于对称，结合图象有，即有，故C正确；对于D：当时，由，与的图象在轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D正确.1380 14. 15. 【详解】设，由于G是的重心，由重心坐标公式可得，由于，所以的纵坐标为，由于是的内心，所以内切圆的半径为，由椭圆定义得，16【详解】因为，且函数为单调递增函数，所以为函数的唯一零点，设函数的零点
11、为，又因为函数与互为“零点相邻函数”，所以，解得，所以函数在上有零点，所以或或，即或或，所以.17【详解】（1）由题意得，所以.（2）设数列的公比为，因为，所以，两式相加得，所以，当时，不成立，所以，解得.18【详解】（1）因为，即，所以，即，所以，因为，所以，同理得，所以或（不成立），所以，结合得（2）由余弦定理得，所以，则，由正弦定理得，因为，所以，所以，19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种：在第一关使用；在第二关使用；在第三关使用；没有使用.而通过三关的概率依次为：，则李华通过该游戏的概率（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，则收益可能为：（未使
12、用通关币过关），（使用1枚通关币且过关），（使用2枚通关币且过关），（使用2枚通关币且未过关），则则.所以他最终获得的收益期望值是元.20【详解】（1）解：如图所示：连接AC，交BE于F，因为，所以AE=2，又，所以四边形ABCE是菱形，所以，在中，所以，又，则，所以，又，所以平面，设点D到平面的距离为h，因为，且，所以，解得；（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，因为，所以，设平面BEP的一个法向量为，则，即，令，得，易知平面BEA的一个法向量为，所以，则，易知二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小为.21.【详解】（1）因为点是抛物线C：上一点，所以，解得：，所以.（2）设点
13、，点，点，直线方程为：，化简得的内切圆方程为，圆心到直线的距离为，即故易知，上式化简得，同理有，是关于的方程的两根，点到直线的距离为，所以面积为，令，则，因为，当且仅当取等，所以.故面积的最小值为22.【详解】（1） ，若 ，则有 ， 单调递增；若 ， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减；（2）由（1）的讨论可知，当 时， 单调递增，在 ， ，满足题意；当 时，在 ，满足题意；当 时，即 ，在， ，令 ，则 ，当 时， ， 单调递增， ，即 ，不满足题意；综上，a的取值范围是 ；由题意， ， ，即 ，考虑直线 的极端情况a=1，则 ，即 ，令 ， ，显然 是减函数， ，存在唯一的 使得 ，当 时， ，当 时， ， ， ，即 ，故k的最小值可能是3或4，验算 ，由于， ， ， ，满足题意；综上，a的取值范围是 ， 的最小值是3.