1、宁夏固原第一中学2021届高三数学上学期第四次月考试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1. 已知集合则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，然后再求两个集合的交集即可【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【点睛】此题考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题2. 如图，在正六边形ABCDEF中，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据相等向量的概念与向量加法的多边形法则，进行向量加法运算即可.【详解】正六边形，故选：D.【点睛】本题主要考查向量
2、的加法及其几何意义，属于基础题.3. 已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】先根据题意求出，再求出，最后求即可.【详解】解：因为，均为单位向量，它们的夹角为，所以，所以故选：A【点睛】本题考查根据数量积的运算求模、数量积的运算，是基础题.4. 设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（ ）A. 与的方向相反B. 与的方向相同C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量数乘的意义可得正确选项.【详解】对于A，当0时，与的方向相同，故A不正确；而，故与的方向相同，B正确；对于C，由于|的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C错误；
3、对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D错误.故选：B.【点睛】本题考查向量的数乘，对于这类概念题，只需弄清数乘的意义即可.本题属于基础题.5. 刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设圆的半径为,
4、每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.6. 已知如图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确诊人数及现有疑似人数趋势图，则下面结论不正确的是（ ）A. 截至2020年2月15日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过65000人B. 从1月28日到2月3日，现有疑似人数超过累计
5、确诊人数C. 从2020年1月22日到2月21日一个月的时间内，累计确诊人数上升幅度一直在增加D. 2月15日与2月9日相比较，现有疑似人数减少超过【答案】C【解析】【分析】根据统计图表所给定信息判断各选项【详解】由图表易知A，B正确，不符合题意；从2020年1月22日到2月21日，新型冠状肺炎累计确诊人数上升幅度最大的在2月9日到2月15日之间，C错，符合题意；2月9日现有疑似人数超过20000人，2月21日现有疑似人数不足10000人，人数减少超过50%，D正确，不符合题意.故选：C.7. 已知向量且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出，再由向量垂直得到，计
6、算可得；【详解】解：因为所以，因为，故，故故选：C【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.8. 在锐角中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可用正弦定理先求出，再由三角函数中的平方关系及角的范围，求出，进而得到答案.【详解】在锐角中，若，由正弦定理，可得，由为锐角，可得故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.9. 已知函数的图像的一个对称中心为，其中为常数，且，若对任意的实数，总有，则的最小值是（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】函数的图像的一个对称中心
7、为，由，得由题意得的最小值为函数的半个周期，即选B10. 已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，求出的单调递减区间，根据题意，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由得，即函数的单调递减区间为：，又函数在区间上单调递减，所以，即，解得，因此，即，又，所以，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查由正弦型函数在给定区间的单调性求参数的问题，熟记正弦函数的单调性即可，属于常考题型.11. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式，可得，即得解.【详解】已知，则故选：A【
8、点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.12. 已知中，角，的对边分别为，且，成等比数列，则角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由、依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出，把得出关系式代入并利用基本不等式求出的范围，利用余弦函数的性质确定出的范围即可【详解】在中，、依次成等比数列，利用正弦定理化简得，由余弦定理得（当且仅当时取等号），因为,则的范围为，故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键二、填
9、空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置 13. 曲线:在点处的切线方程为_.【答案】y=2xe【解析】，所以切线方程为，化简得.14. 设x，y满足约束条件,则zx2y的最大值为_【答案】7【解析】【分析】【详解】线性约束条件对应可行域为直线围成的三角形区域，三个顶点分别为，当直线过点时取得最大值715. 若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】方程只有一个解，等价于与有一个交点，画出函数图象，利用数形结合可得结果.【详解】由题意a|x|x，方程x|ax只有一个解，等价于y=a与y=|x|x有一个交点，令y|x|x图象如图
10、所示，故要使a|x|x只有一解，则a0，故答案为.【点睛】函数零点应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.16. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_.【答案】【解析】试题分析：由题意，将其图象向右平移个单位，得，要使图象关于轴对称，则，解得，当时，取最小正值.考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1
11、7. 已知函数，（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的值域【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为，即可求得函数的最小正周期；（2）由可得，再利用正弦函数的性质即可求出.【详解】（1）由已知，有， 的最小正周期；（2），当，即时，取得最大值为，当，即时，取得最小值为，的值域为.【点睛】关键点睛：本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简得出.18. 已知函数，其中图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（1）求的最小正周期； （2）当时，求的单调减区间【答案】（1）；（2）.【解析】【分
12、析】（1）由题可得，即得最小正周期；（2）可求出，令解出单调递减区间再与取交集.【详解】（1）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，；（2），一个最低点为，则，即，令，解得，则在，单调递减，的单调递减区间为.19. 如图，D、E分别是的边BC的三等分点，设， .（1）用分别表示；（2）若，求ABC的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算法则，化简得到，即可求解；（2）由和，集合向量的数量积的运算公式，求得，得到以，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）根据向量的线性运算法则，可得，.（2）由，因为，可得,即，又由，解得，所以，所以的面积.【点睛】平面
13、向量的数量积的运算策略：1、定义法：建立一个平面基底，结合向量的线性运算法则表示出向量，利用向量的数量积的定义，即可求解；2，坐标运算法：先建立适当的平面直角坐标系，写出向量的应用坐标，结合坐标运算的公式，即可求解，可起到化繁为简的妙用20. ABC的内角A,B,C对边分别为且满足.（1）求角C的大小；（2）设，求y的最大值并判断y取最大值时ABC的形状.【答案】（1） （2） 直角三角形【解析】试题分析：(1)利用题意边化角，求得 ，则；(2)利用题意结合(1)的结论化简可得，结合三角函数的性质可得 ，此时三角形是直角三角形.试题解析：解：由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC=sin
14、CcosA, 即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,又sinB0,所以 又0C,所以; (2) 因为,所以当时,y取得最大值, 此时ABC为直角三角形.21. 已知函数 （1）当时，求的单调递减区间；（2）若关于的方程恰有两个不等实根，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出导数，令，得出变化情况表，即可得出单调区间；（2）分离参数得，构造函数，利用导数讨论单调性，根据与恰有两个不同的交点即可得出.【详解】（1）当时，函数，则令，得，当x变化时，的变化情况如下表:1+00+极大值极小值在上单调递减 （2）依题意，即则令，则
15、当时，故单调递增， 且；当时，故单调递减，且函数在处取得最大值故要使与恰有两个不同的交点，只需实数a的取值范围是【点睛】关键点睛：本题考查根据方程根个数求参数，解题的关键是参数分离，构造函数利用导数讨论单调性，根据函数交点个数判断.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修44：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）点的直角坐标为，若曲线和相交于两点，求的值【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）把参数方程消去参
16、数得，极坐标方程，两边同乘以，化简得：；（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程中，利用参数的几何意义知：，再把韦达定理代入，即可求得结果.【详解】（1）由消去参数得曲线的普通方程为，由极坐标方程为，两边同乘以，得，将代入，得曲线的直角坐标方程为；（2）设，将代入得， .【点睛】方法点睛：极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：， 利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t的一元二次方程；（2）利用韦达定理写出，；（3）利用弦长公式代入计算.选修45：不等式选讲23. 函数的图象关于直线对称.（1）求的值；（2）若的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）函数的图象关于直线对称，恒成立，令，即可求出；（2）不等式的解集非空，等价于存在使得成立，则.令，把写成分段函数，求其最大值.【详解】（1）由函数的图象关于直线对称，恒成立，令得，即，等价于，或，或；解得，此时，满足，.（2）不等式的解集非空，等价于存在使得成立，则.设，由（1）知，当时，其开口向下，对称轴方程为，；当时，其开口向下，对称轴方程为，；当时，其开口向下，对称轴方程为，；综上， .所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查含有绝对值的不等式能成立的问题，属于中档题.
