1、专题15最短路径问题模型一. 两点之间，线段最短模型二. “将军饮马”模型三. 双动点模型四. 垂线段最短【例1】（2019河南南阳一模）如图，已知一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点P，过点P作PBx轴，垂足为B，且ABP的面积为9.（1）点A的坐标为，点C的坐标为，点P的坐标为；（2）已知点Q在反比例函数y=的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的PQM的周长最小，求出点M的坐标.【分析】（1）根据一次函数的解析式求得A、C坐标，由SABP=ABBP=9，设P点坐标为（m，m+2），代入得到点P坐标；（2）先根据反比例函数解析式
2、求得Q点坐标，作Q点（或P点）关于x轴的对称点Q（P），连接PQ（QP）与x轴的交点即为点M，用待定系数法求出直线PQ（QP的解析式）.【解析】解：（1）在y=x+2中，当x=0时，y=2；y=0时，x=4，A点坐标为（4,0），C点坐标为（0,2），设P点坐标为（m，m+2），m0，则AB=m+4，BP=m+2,SABP=ABBP=9，即（m+4）（m+2）=9，解得：m=2或m=10（舍），点P的坐标为（2,3）；（2）如图，作点Q关于x轴的对称点Q，连接PQ交x轴于点M，此时，PQM的周长最小，由（1）知，P(2,3)在反比例函数图象上，k=6，点Q的坐标为（6,1），点Q的坐标为（6，
3、1），设直线PQ的解析式为：y=mx+b，得：，解得：，即直线PQ的解析式为：y=x+5，当y=0时，x=5，即M点坐标为（5,0），当PQM的周长最小时，M点坐标为（5,0）.【变式1-1】（2017新野一模）已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（1，0），B（2，0），C三点直线y=mx+交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PFx轴，垂足为F，交AQ于点N（1）求抛物线的解析式；（2）如图，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使CMG的
4、周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过A（1，0），B（2，0），解得a=1，b=1，抛物线的解析式为y=x2+x+2（2）直线y=mx+交抛物线与A、Q两点，将A（1，0）代入得：m=，直线AQ的解析式为y=x+设点P的横坐标为n，则P（n，n2+n+2），N（n，n+），F（n，0），PN=n2+n+2（n+）=n2+n+，NF=n+，PN=2NF，即n2+n+=2（n+），解得：n=1或当n=1时，点P与点A重合，舍去故点P的坐标为（，）（3）y=x2+x+2，=（x）2+，M（，）A、C关于直线DE对称，连
5、接AM交直线DE与点G，连接CG、CM，此时，CMG的周长最小，设直线AM的函数解析式为y=kx+b，将A（1，0），M（，）代入并解得：k=，b=，直线AM的函数解析式为y=x+，D为AC的中点，D（，1）可得直线AC的解析式为：y=2x+2，直线DE的解析式为y=x+将y=x+与y=x+联立，解得：x=，y=在直线DE上存在点G，使CMG的周长最小，G（，）【变式1-2】（2019三门峡二模）已知ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，连接DE，设ODm（1）问题发现如图1，CDE
6、的形状是 三角形（2）探究证明如图2，当6m10时，BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由图1 图2【答案】见解析【解析】解：（1）证明：由旋转性质，得：DCE60，DCEC，CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6t10时，由旋转的性质得，BEAD，CDBEBE+DB+DEAB+DE4+DE，由（1）知，CDE是等边三角形，DECD，CDBECD+4，由垂线段最短可知，当CDAB时，BDE的周长最小，此时，CD2，BDE的周长最小值为：2+4.1.（2018焦作一模）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B
7、（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQPQ于点Q，连接AP（1）填空：抛物线的解析式为 ，点C的坐标 ；（2）点P在抛物线上运动，若AQPAOC，求点P的坐标；（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q，请直接写出当点Q落在坐标轴上时点P的坐标 图1 图2【答案】（1）y=x2+3x+4，（1，0）；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）抛物线y=x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），-16a+4b+c=0，c=4，解得:b=3，c=4，抛物线解析式为y=x2+3x+4，当y=0时，x2+3x+
8、4=0，解得x=1，x=4，即C（1，0）；答案为：y=x2+3x+4；（1，0）；（2）AQPAOC，=4，即AQ=4PQ，设P（m，m2+3m+4），则PQ=|4（m2+3m+4|=|m23m|，4|m23m|=m，解得：m1=0（舍去），m2=，m3=，P点坐标为（，）或（，）.（3）设P（m，m2+3m+4），抛物线对称轴为：x=，m，当点Q落在x轴上时，延长QP交x轴于H，则PQ=m23m，由折叠性质知：AQP=AQP=90，AQ=AQ=m，PQ=PQ=m23m，AQO=QPH，AOQQHP，即，得：QB=4m12，OQ=123m，在RtAOQ中，由勾股定理得：42+（123m）2=
9、m2，解得：m1=4，m2=5，即P点坐标为（4，0），（5，6）；当点Q落在y轴上，此时以点A、Q、P、Q所组成的四边形为正方形，PQ=PQ，即|m23m|=m，得m1=0（舍去），m2=4，m3=2， P点坐标为（4，0），（2，6），综上所述，点P的坐标为（4，0）或（5，6）或（2，6）.2.（2019中原名校大联考）如图，直线yx+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c与直线yx+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当DMN的周长最小时，求点M，N的坐标【答案】见解析.【解析】解：（1）在
10、yx+5中，当x0， y5，当y0， x5，点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），将（5，0）、（0，5），代入yx2+bx+c，并解得：b=4，c=5即二次函数表达式为：yx2+bx+5.（2）在yx2+bx+5中，当y0时， x1或5，A（1，0），OBOC2，OCB45；过点D分别作x轴和直线BC的对称点D（0，3）、D，OCB45，CDx轴，点D（2，5），连接DD交x轴、直线BC于点N、M，此时DMN的周长最小，设直线DD的解析式为：ymx+n将D（0，3），D（2，5），代入解得：m=4，n=3，直线DD的解析式为：y4x3，N(，0).联立y4x3，yx+5得：x=，y=，
11、即M(，).3.（2017预测卷）已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数图象上一点将AOB绕B点旋转至AOB处（1）求m的值；（2）求当AO最短和最长时A点的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）C（m，6）为反比例函数图象上一点，m=2；（2）当AO最短时A点的坐标（2+，），当AO最长时A点的坐标（2，）当点O在线段AB上时，AO最短，过点O作ONx轴于N，过点A作AMON于M，ONOA，即BN=，ON=由AMO=AOB=ONB=90，得：MAO=NOB，AMOONB，AM=，OM=，即A（2+，）；当点O在线段AB延长线上时，AO最长
12、，同理可得：（2，）4.（2017郑州一模）如图，O的半径为2，点O到直线l距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切O于点Q，则PQ的最小值为（ ）ABC2D3【答案】A【解析】解：由垂线段最短知，当OPl时，OP取最小值，而由PQ=可知，此时，PQ取最小值，过点O作OPl于P，过P作O的切线PQ，切点为Q，连接OQ，则OP=3，OQ=2，PQ切O于点Q，OQP=90，由勾股定理得：PQ=，即PQ的最小值为，故答案为：A5.（2019许昌月考）如图，在菱形ABCD中，ABC=60，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合
13、）两点间的最短距离为 【答案】22.【解析】解：（1）BC为腰，且PCB为顶角时，以C为圆心，以BC为半径画弧，点P在弧上，由题意知，点P在菱形外或与A、D重合，不符合题意；（2）以BC为腰，且PBC为顶角时，点P在以B为圆心，以AB为半径的圆上，则PD的最小值为：BDBC= BCBC=22；（3）BC为底时，则点P在线段BC的垂直平分线上，由垂线段最短知，PD最小为：1+1=2；222，PD的最小值为：22. 6.（2019郑州外国语模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(-1,0)，C(0,3).(1)求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线的顶点为E，E
14、Fx轴于F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-1,0)，C(0,3)代入y=-x2+bx+c得：，解得：，即抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；（2）首先构造出MB，将AB绕点B顺时针旋转30，交y轴于H，过M作MGBH于G，则MG=MB，CN+MN+MB的最小值即CN+MN+MG的最小值，由图可知，当C、N、M、G共线，且CGBH时，取得最小值，即HCG=30，OB=3，ABH=30，AH=，即H（0，），CH=3+，CG=CHcos30=，即CN+MN+MB的最小值为.7.（2019郑州实验
15、中学模拟）如图，已知抛物线yx2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值；（3）在对称轴上是否存在一点M，使ANM的周长最小若存在，请求出ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（1，0），C（2，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线的函数解析式为：yx22x+3；设直线AC的解析式为：ykx+n，将A（1，0），C（2，3）代入ykx+n，得：k+n=0，-2k+n=3，解得：k=-1，n=1，即
16、直线AC的解析式为yx+1（2）过点P作PFy轴交直线AC于点F，设点P（x，x22x+3），则点F（x，x+1），（2x1）PFx22x+3（x+1）x2x+2SAPC(xAxC)PFx2x+3（x+）2+当x时，APC的面积取最大值，最大值为（3）当x0时，yx22x+33，点N的坐标为（0，3）由yx22x+3（x+1）2+4，得：抛物线的对称轴为x1点C，N关于抛物线的对称轴对称，设直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M， MNCM，AM+MNAM+MCAC，此时ANM周长有最小值由勾股定理得：AC，AN，CANMAM+MN+ANAC+AN+ANM周长的最小值为+8.（2018郑州预测卷
17、）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.（1）求抛物线的解析式；（2）连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求ACR的周长；（3）设G(4，5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PHEF于点H，连接AP，GH，问APPHHG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由【答案】见解析.【解析】解：（1）四边形OCEF为矩形，OF2，EF3，C (0，3)，E (2，3)将C (0，3)，E (2，3)代入yx2bxc得：
18、b=2，c=3，抛物线的解析式为：yx22x3；(2)在yx22x3中，当y0时，x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，AO1，CO3，在RtAOC中，由勾股定理得：AC=，COBO3，OBCOCB45，FMBF1，ROMF，RAOMAF，AROAMF，得RO，CROCOR3，AR，ACR的周长为：ACCRAR；（3）取OF中点A，连接AG交直线EF的延长线于点H，过点H作HPy轴于点P，连接AP，当P在P处时，APPHHG最小，A(1，0)，设直线AG的解析式为：ykxm，将G(4，5)，A(1，0)代入得：k=，b=，直线AG的解析式为：yx.当x2时，y，即点H的坐标为(2，)，符
19、合题意的点P的坐标为(0，)9. （2019郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点（1）求直线BC的函数表达式；（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FEDE|的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y中，当y0，解得：x1，x2，A（，0），C（，0）当x1时，y2即B（1，2），设直线BC的解析式为ykx+b得：，解得，直线BC的解析式为yx+.（2）设点D（m，），则点H（m，m+）过点D作DHx轴交B
20、C于点H，HDm+（），SBCD=DH（xCxB）=DH，当m时，HD取最大值，此时SBCD的面积取最大值此时D（，）.作D关于x轴的对称点D则D（，），连接DH交x轴于一点E，此时|DEFE|最大，最大值为DF的长度，F（，）DF，即|FEDE|的最大值为10.（2019三门峡一模）反比例函数（k为常数，且k0）的图象经过点A(1，3)，B(3，m)（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标 【答案】见解析【解析】解：（1）将点A(1，3)代入得：k=3，即反比例函数解析式为：，将点B(3，m)代入得：m=1，即B(3，1).（2）作点A关于x轴的对称点A(1，3)，连接AB交x轴于点P，此时PA+PB最小，如图所示，设直线AB的解析式为：y=kx+b，解得：，即直线AB的解析式为：y=2x5，当y=0时，x=，即P(，0).
