1、3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题【自主预习】主题:线性规划问题 1.已知x,y满足 求z=2x-3y的取值范围.在该问题中x,y满足 的含义是什么?xy10 xy 10 x3 ，xy10 xy 10 x3 提示:x,y的取值受不等式组的约束,或说不等式组是这一对变量x,y的约束条件.2.若把问题1中的(x,y)看成点,该点与不等式组表示的平面区域有什么关系?提示:该点应在不等式组表示的平面区域内,该区域是点(x,y)的可行域.3.上述问题中等式z=2x-3y中,z与x,y之间可看成什么关系?若将z=2x-3y看成关于x,y的二元一次方程,则z的几何意义是什么?提示:
2、把x,y看成一对变量,则z可看作x,y的函数.二元一次方程表示直线,因此z可看作是该直线在y轴上截距的倍数.线性规划中的基本概念 名 称定 义目标函数 要求_的函数,叫做目标函数约束条件 目标函数中的变量所要满足的_线性目标函数如果目标函数是_,则 称为线性目标函数线性约束条件如果约束条件是_ _,则称为线性约束条件最大值或最小值 不等式(组)关于变量的一次函数 关于变量的一次不等式(或等式)名 称定 义线性规划问题在线性约束条件下,求线性目标函数的 _问题,称为线性规划问题最优解使目标函数达到_的点的坐标,称为问题的最优解可行解满足线性约束条件的解,叫做可行解可行域由所有_组成的集合叫做可行
3、域最大值或最小值 最大值或最小值 可行解【深度思考】结合教材P88例5你认为求解线性规划问题应分哪几步?第一步:_.第二步:_ _.第三步:_ _.根据线性约束条件画出可行域 运用数形结合思想,把目标函数表示的直线 平行移动找出最优解 解方程组求最优解,进而求出目标函数的 最大值或最小值【预习小测】1.下面给出的四个点中,满足约束条件 的是()A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)xy 10,xy 10 【解析】选C.判断已知点是不是满足约束条件的可 行解,只需将四个点的坐标代入不等式组 进行验证,若满足则是可行解,否则就不是.经验证知满足条件的是点(0,-2).xy 1
4、0,xy 10 2.在约束条件 下,目标函数z=10 x+y的最优解是()A.(0,1),(1,0)B.(0,1),(0,-1)C.(0,-1),(0,0)D.(0,-1),(1,0)xy 10 xy1x0 ，【解析】选D.作出可行域如图,使目标函数取得最大、最小值的点分别是(1,0)和(0,-1).3.将目标函数z=2x-y看成直线方程时,则该直线的纵截距等于_.【解析】由目标函数可得y=2x-z,故该直线的纵截距为-z.答案:-z 4.已知变量x,y满足约束条件 则 的最大值是_,最小值是_.xy20 x1xy70.，yx【解析】由约束条件作出可行域(如图所示),目标函 数z=表示坐标(x
5、,y)与原点(0,0)连线的斜率.由图 可知,点C与O连线斜率最大;B与O连线斜率最小,又B点坐标为(),C点坐标为(1,6),所以kOB=,kOC=6.故 的最大值为6,最小值为 .yx5 92 2，95yx95答案:6 955.若变量x,y满足约束条件 求z=2x+y的最大值和最小值.(仿照教材P89例6的解析过程)xy2x1y0 ，【解析】依题可画出其约束条件的可行域如图所示,又目标函数l:z=2x+y,即y=-2x+z,所以当其表示直线经过点A(1,0)时,有最小值为2;当经过点B(2,0)时,有最大值为4.【互动探究】1.最优解表示的点一定是可行域中的孤立的点吗?提示:不一定.当线性
6、目标函数对应的直线与可行域多边形的一条边平行时,最优解表示的点可能是一条直线或一条线段.2.若将目标函数z=x+y看成直线方程时,z具有怎样的几何意义?提示:把目标函数整理可得y=-x+z,z为直线在y轴上的截距.3.讨论式子x2+y2表示的几何意义是什么?式子(x-a)2+(y-b)2呢?提示:x2+y2可以看成 ,所以x2+y2表 示原点与可行域内的点(x,y)两点间距离的平方.式子(x-a)2+(y-b)2,可以看成 所以(x-a)2+(y-b)2的几何意义是点(a,b)与可行域 内的点(x,y)两点间距离的平方.222(x0y0)222(xayb)，4.式子 表示的几何意义是什么?提示
7、:表示点(a,b)与可行域内的点(x,y)两点连线的斜率.ybxaybxa【探究总结】知识归纳:方法总结:(1)把求线性目标函数的最值问题转化为求直线截距的最值问题.(2)利用数形结合思想求解非线性目标函数的最值问题.【题型探究】类型一:求线性目标函数的最值【典例1】(2016全国卷改编)若x,y满足约束条件 求z=x-2y的最小值与最大值.xy10,xy30,x30,【解题指南】画出约束条件表示的平面区域,利用图解法求解.【解析】约束条件表示的平面区域如图所示,由 则A(1,2).xy 10,x1,xy30,y2,得同理可得B(3,4),C(3,0).由z=x-2y得y=x-z,依题意当直线
8、l:y=x-z 经过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=-5.当直线l:y=x-z经过点C(3,0)时,z取得最大值,zmax=3.121212121212【规律总结】用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤(1)画:根据线性约束条件,在直角坐标系中,把可行域表示的平面图形准确地画出来,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移:运用数形结合的思想,把目标函数表示的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答:写出答案.【巩固训练】(2016天津高考)设变量x,y满足约
9、束 条件 则目标函数z=2x+5y的最小值 为()A.-4 B.6 C.10 D.17【解题指南】画出可行域,利用z的几何意义求解.xy202x3y60,3x2y90，【解析】选B.可行域如图所示,则当取点(3,0)时,z=2x+5y取得最小值为6.类型二:非线性目标函数的最值问题【典例2】(1)已知x,y满足约束条件 则z=x2+y2+2x的最小值是()A.B.-1 C.D.1 x03x4y4y0，2522425(2)(2015全国卷)若x,y满足约束条件 则 的最大值为_.x10,xy0,xy40 ，yx【解题指南】(1)利用z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1的几何意义即可行域上
10、的点到定点C(-1,0)的距离的平方再减1,然后再利用数形结合求解.(2)表示可行域中的点(x,y)与原点连线的斜率,利用数形结合即可求解.yx【解析】(1)选D.画出可行域如图所示,由于z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1,而(x+1)2+y2表示可行域 上一点到定点C(-1,0)的距离的平方,由图可知|AC|最 小,所以x2+y2+2x的最小值为|AC|2-1=()2-1=1.2(2)作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故 的最 大值为3.答案:3 yxyx【延伸探究】1.(变换条件)典例2(2
11、)中若将约束条件变为 其他条件不变,结果如何?xy20,x2y40,2y30,【解析】如图,画出不等式组表示的平面区域ABC,令u=,其几何意义是可行域ABC内任一点(x,y)与原 点相连的直线l的斜率,即u=.由图形可知,当直 线l经过可行域内点C时,u最大,由 得C ,所以umax=,所以 yxy0 x0 x2y402y30，3(1)2，32maxy3()x22.(变换条件,改变问法)典例2(2)中若将约束条件变 为 的最大值?xy20,y 1x2y40,x22y30,求【解题指南】由 可知此式的几何意义为可行域 上任一点(x,y)与定点(-2,-1)相连的直线l的斜率.y1x2【解析】如
12、图,画出不等式组表示的平面区域ABC,令u=,其几何意义是可行域ABC内任一点(x,y)与定点(-2,-1)相连的直线l的斜率.由图形可知,当直线l经过可行域内点C时,u最大,由 得C ,所以umax=,所以 y1x2x2y402y30，3(1)2，56maxy 15()x26【规律总结】非线性目标函数的最值的求解策略(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)距离的平方;特别地,z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.(2)z=型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.(3)z=|Ax+By+C|可转化为点(x,y)
13、到直线Ax+By+C=0 的距离的 倍.ybxa22AB【巩固训练】已知 求(x+1)2+(y+1)2的最大值、最小值.2xy50,3xy50,x2y50，【解题指南】由于(x+1)2+(y+1)2的几何意义表示点(x,y)与点(-1,-1)之间距离的平方,故作出可行域后,观察并找出可行域内与(-1,-1)距离最远和最近的点,并求出这两个距离的平方.【解析】作出可行域,如图所示,设d=(x+1)2+(y+1)2,则它表示可行域内的点与定点E(-1,-1)的距离的平方.由图可知,点C到定点E的距离最小,点B到定点E的距离最大.由 解得B(3,4),由 解得C(2,1).所以当x=3,y=4时,d
14、max=(3+1)2+(4+1)2=41,当x=2,y=1时,dmin=(2+1)2+(1+1)2=13,即(x+1)2+(y+1)2的最大值为41,最小值为13.x2y503xy50，2xy503xy50，类型三:已知目标函数最值求参数或其范围【典例3】(1)(2015山东高考)已知x,y满足约束条件 若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3 B.2 C.-2 D.-3 xy0,xy2,y0 ，(2)(2014浙江高考)当实数x,y满足 时,1ax+y4恒成立,则实数a的取值范围是_.x2y40,xy 10,x1 【解题指南】(1)首先画出可行域,分情况讨论可得正确结果.(2)先画出可行
15、域,利用数形结合求解.【解析】(1)选B.由约束条件画出可行域如图,解得A(2,0),B(1,1).若过点A(2,0)时取最大值4,则a=2,验证符合条件;若过点B(1,1)时取最大值4,则a=3,而若a=3,则z=3x+y最大值为6(此时A(2,0)是最大值点),不符合题意.(2)作出不等式组 所表示的区域,由1ax+y4,由图可知,x2y40,xy 10,x1 a0且在(1,0)点取得最小值,在(2,1)点取得最大值,所以a1,2a+14,故a的取值范围为 .答案:31,231,2【规律总结】含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的,应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值.(2)目标函数中含有参数:此时目标函数对应的直线是可变的,如果斜率一定,则对直线作平移变换;如果斜率可变,则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置,从而求出参数的值.【巩固训练】已知a0,x,y满足约束条件 若z=2x+y的最小值为1,则a等于()A.B.C.1 D.2 x1,xy3ya x3 ，1412【解析】选B.作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分.易知直线z=2x+y过交点B时,z取最小值,由 所以zmin=2-2a=1,解得a=,故选B.x1x1ya x3y2a，得，12
