1、考点 6.3 平面向量的数量积 1.向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OAa，OBb，则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是0，.2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab 投影|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 3.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b).(3)(ab)cacbc.4.平面向量数量积的
2、有关结论 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为.结论 符号表示 坐标表示 模|a|aa|a|x21y21 夹角 cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21 x22y22 ab 的充要条件 ab0 x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|x21y21x22y22 概念方法微思考 两个向量的数量积大于 0，则夹角一定为锐角吗？提示 不一定当夹角为 0时，数量积也大于 0.1（2020山东）已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是（）A(2,6)B(6,2)C(2,
3、4)D(4,6)【答案】A【解析】画出图形如图，|cos,AP ABAP ABAP AB，它的几何意义是 AB 的长度与 AP 在 AB 向量的投影的乘积，显 然，P 在 C 处 时，取 得 最 大 值，1|c o s|32A CC A BA BA B，可 得|cos,2 36AP ABAP ABAP AB ，最大值为 6，在 F 处取得最小值，1|cos,2222AP ABAPABAP AB ，最小值为 2，P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，所以 AP AB 的取值范围是(2,6)故选 A 2（2020新课标）已知单位向量a，b 的夹角为60，则在下列向量中，与b 垂直的
4、是（）A2ab B 2ab C2ab D 2ab【答案】D【解析】单位向量|1ab，11 1 cos602a b ，对于 A，215(2)2222ab ba bb，所以(2)ab与b 不垂直；对于 B，21(2)22122ab ba bb，所以(2)ab与b 不垂直；对于C，213(2)2222ab ba bb，所以(2)ab与b 不垂直；对于 D，21(2)22102ab ba bb，所以(2)ab与b 垂直 故选 D 3（2020新课标）已知向量a，b 满足|5a，|6b，6a b ，则cosa，ab（）A3135 B1935 C 1735 D 1935【答案】D【解析】向量 a，b 满足
5、|5a，|6b，6a b ，可得22|225 12367abaa bb，cosa，2()256195 75 735|a abaa baba ab 故选 D 4（2019新课标）已知非零向量a，b 满足|2|ab，且()abb，则a 与b 的夹角为（）A6 B3 C 23 D 56 【答案】B【解析】()abb，2()ab ba bb 2|cos,0a ba bb，2|cos,|ba ba b 22|122|bb，,0,a b，,3a b 故选 B 5（2019新课标）已知(2,3)AB，(3,)ACt，|1BC ，则 AB BC（）A 3 B 2 C2 D3【答案】C【解析】(2,3)AB，(
6、3,)ACt，(1,3)BCACABt，|1BC ，30t 即(1,0)BC，则2AB BC 故选 C 6（2019新课标）已知向量(2,3)a，(3,2)b，则|ab（）A2 B2 C5 2 D50【答案】A【解析】(2,3)a，(3,2)b，(2ab，3)(3，2)(1 ，1)，22|(1)12ab 故选 A 7（2018天津）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE BE 的最小值为（）A 2116 B 32 C 2516 D3【答案】A【解析】如图所示，以 D 为原点，以 DA所在的直线为 x 轴，以 DC
7、所在的直线为 y 轴，过点 B 做 BNx轴，过点 B 做 BMy轴，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD，1cos602ANAB，3sin602BNAB，13122DN，32BM，3tan302CMMB，3DCDMMC，(1,0)A，3(2B，3)2，(0,3)C，设(0,)Em，(1,)AEm，3(2BE ，3)2m，03m剟，22233333321()()224216416AE BEmmmm，当34m 时，取得最小值为 2116 故选 A 8（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM，2ON，120MON，2BMMA，2CNNA，则 BC OM 的值为（）A 15 B 9 C
8、 6 D0【答案】C【解析】解法，由题意，2BMMA，2CNNA，2BMCNMANA，/BCMN，且3BCMN，又22212cos120142 1 2()72MNOMONOM ON ，7MN；3 7BC，2221742cos22 177OMMNONOMNOM MN，2|cos()3 71()67BC OMBCOMOMN 解题：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，由1OM ，2ON，120MON，2BMMA，2CNNA，知3333BCACABANAMOMON，(33)BC OMOMON OM 233OMON OM 23 13 2 1 cos120 6 故选 C 9（2018新课标）已知向量a，b
9、 满足|1a，1a b ，则(2)aab（）A4 B3 C2 D0【答案】B【解析】向量 a，b 满足|1a ，1a b ，则2(2)2213aabaa b，故选 B 10（2018浙江）已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与e 的夹角为3，向量b 满足2430be b，则|ab的最小值是（）A31 B31 C2 D 23【答案】A【解析】由2430be b，得()(3)0bebe，()(3)bebe，如图，不妨设(1,0)e，则b 的终点在以(2,0)为圆心，以 1 为半径的圆周上，又非零向量 a 与 e 的夹角为3，则 a 的终点在不含端点O 的两条射线3(0)yx
10、 x 上 不妨以3yx为例，则|ab的最小值是(2,0)到直线 30 xy的距离减 1 即|2 3|1313 1 故选 A 11（2018上海）已知 A、B 为平面上的两个定点，且|2AB，该平面上的动线段 PQ 的端点 P、Q，满足|5AP，6AP AB，2AQAP，则动线段 PQ 所形成图形的面积为（）A36 B60 C72 D108【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则(0,0)A，(2,0)B，设(,)P x y，(,)APx y，(2,0)AB；由|5AP，得22 25xy；又6AP AB，26x，3x；2 16y；44y 剟 动点 P 在直线3x 上，且 44y
11、 剟，由相似三角形可知 AQ 扫过的面积为 48，即|8PC ，则 AP 扫过的三角形的面积为 18 3122 ，设点0(Q x，0)y 2AQAP，0(x，0)2(yx，)(6y ，2)y，06x ，02yy，动点Q 在直线6x 上，且 88y 剟，|16QD，AQ扫过的三角形的面积为 1166482，因此和为 60，故选 B 12（2017浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，2ABBCAD，3CD，AC与 BD 交于点O，记1IOA OB，2IOB OC，3IOC OD，则（）A123III B132III C312III D213III【答案】C【解析】ABBC，2ABBCA
12、D，3CD，2 2AC，90AOBCOD ，由图象知OAOC，OBOD，0OA OBOC OD，0OB OC，即312III，故选 C 13（2017新课标）已知 ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则()PA PBPC的最小值是（）A 2 B32 C43 D 1 【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，则(0,3)A，(1,0)B，(1,0)C，设(,)P x y，则(,3)PAxy，(1,)PBxy ，(1,)PCxy，则222233()22 322()24PA PBPCxyyxy 当0 x，32y 时，取得最小值332()42 ，故选
13、B 14（2017新课标）设非零向量a，b 满足|abab，则（）A ab B|ab C/ab D|ab【答案】A【解析】非零向量 a，b 满足|abab，22()()abab，222222abababab，40ab，解得0a b，ab 故选 A 15（2017上海）如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为 2，若 P 为该正八边形边上的动点，则131A A A P 的取值范围为（）A0,86 2 B 2 2,86 2 C 86 2,2 2 D 86 2,86 2 【答案】B【解析】由题意，正八边形12345678A A A A A A A A 的每一个内角为
14、135，且1218|2A AA A，1317|2 22A AA A，1416|22 2A AA A，15|42 2A A 再由正弦函数的单调性及值域可得，当 P 与8A 重合时，131A A AP最小为2222 22cos112.522 22()2 22 结合选项可得131A A AP的取值范围为 2 2,86 2 故选 B 16（2020天津）如图，在四边形 ABCD 中，60B，3AB，6BC，且 ADBC，32AD AB ，则实数 的值为_，若 M，N 是线段 BC 上的动点，且|1MN ，则 DM DN 的最小值为_ 【答案】16，132【解析】以 B 为原点，以 BC 为 x 轴建立
15、如图所示的直角坐标系，60B，3AB，3(2A，3 3)2，6BC，(6,0)C，ADBC，/ADBC，设0(D x，3 3)2，03(2ADx，0)，3(2AB ，3 3)2，0333()0222AD ABx ，解得052x，5(2D，3 3)2，(1,0)AD，(6,0)BC，16ADBC，16，|1MN ，设(,0)M x，则(1,0)N x，其中05x剟，5(2DMx，3 3)2，3(2DNx，3 3)2，2253272113()()4(2)22422DM DNxxxxx，当2x 时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132 17（2020上海）已知1a，2a，1b，2b，(*
16、)kb kN是平面内两两互不相等的向量，满足12|1aa，且|1ijab，2（其中1i ，2，1j ，2，)k，则 k 的最大值是_【答案】6【解析】如图，设11OAa，22OAa，由12|1aa，且|1ijab，2，分别以1A，2A 为圆心，以 1 和 2 为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有 6 个 故满足条件的 k 的最大值为 6 故答案为：6 18（2020北京）已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足1()2APABAC，则|PD _；PB PD _【答案】5，1 【解析】由1()2APABAC，可得 P 为 BC 的中点，则|1CP ，22|215PD，2()()1PB P
17、DPB PCCDPC PCCDPCPC CD ，故答案为：5，1 19（2020新课标）已知单位向量 a，b 的夹角为 45，kab与 a 垂直，则 k _【答案】22 【解析】向量 a，b 为单位向量，且 a，b 的夹角为 45，22|cos451 122a bab ，又 kab与 a 垂直，2()|0kab ak aa b，即202k，则22k 故答案为：22 20（2020新课标）设 a，b 为单位向量，且|1ab，则|ab_【答案】3 【解析】a，b 为单位向量，且|1ab，2|1ab，可得2221aa bb，1 21 1a b ，所以 21a b ，则22|23abaa bb 故答案
18、为：3 21（2020浙江）已知平面单位向量1e，2e 满足12|2|2ee设12aee，123bee，向量 a，b 的夹角为，则2cos 的最小值是_【答案】2829【解析】设1e、2e 的夹角为，由1e，2e 为单位向量，满足12|2|2ee，所以2211224444cos1 2ee ee，解得3cos4；又12aee，123bee，且 a，b 的夹角为，所以2211223444cosa bee ee，2221122222cosaee ee，222112296106cosbee ee；则222228()(44cos)44cos43cos(22cos)(106cos)53cos353cosa
19、 bab，所以3cos4 时，2cos 取得最小值为842833329534 故答案为：2829 22（2020上海）三角形 ABC 中，D 是 BC 中点，2AB，3BC，4AC，则 ADAB_【答案】194【解析】在 ABC中，2AB，3BC，4AC，由余弦定理得，222416911cos222416ABACBCBACAB AC，111124 162AB AC ，且 D 是 BC 的中点，1()2AD ABABAC AB 21()2 ABAB AC 111(4)22 194 故答案为：194 23（2020上海）已知1A、2A、3A、4A、5A 五个点，满足1120(1nnnnA AAAn
20、 ，2，3)，112|1(1nnnnA AAAnn，2，3)，则15|A A 的最小值为_【答案】63 【解析】设12|A Ax，则232|A Ax，344538|,|23xA AA Ax，设1(0,0)A，如图，求15|A A 的最小值，则：2(,0)A x，3422(,),(,)2xA xAxx，52(,)23xAx，2222152242|()()23493xxA Axx ，当且仅当22449xx，即2 33x 时取等号，15|A A的最小值为63 故答案为：63 24（2019天津）在四边形 ABCD 中，/ADBC，2 3AB，5AD，30A ，点 E 在线段CB的延长线上，且 AEB
21、E，则 BD AE _【答案】1 【解析】AEBE，/ADBC，30A ，在等腰三角形 ABE 中，120BEA，又2 3AB，2AE，25BEAD，AEABBE，25AEABAD 又 BDBAADABAD，2()()5BD AEABADABAD 227255ABAB ADAD 2272|cos55ABABADAAD 7321252 325525 1 故答案为：1 25（2019新课标）已知 a，b 为单位向量，且0a b，若25cab，则 cosa，c _【答案】23【解析】2(25)252a caabaa b，2222(25)44 559cabaa bb，|3c，cosa，2|3a cca
22、c 故答案为：23 26（2019江苏）如图，在 ABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，2BEEA，AD 与CE 交于点 O 若6AB ACAO EC，则 ABAC的值是_ 【答案】3 【解析】设()2AOADABAC，()AOAEEOAEECAEACAE 1(1)3AEACABAC 1232，1214，11()24AOADABAC，13ECACAEABAC，1166()()43AO ECABACABAC 22312()233ABAB ACAC 221322ABAB ACAC，221322AB ACABAB ACAC，221322ABAC，223ABAC，3ABAC 故答案为：3
23、 27（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A、(2,0)B，E、F 是 y 轴上的两个动点，且|2EF，则 AE BF 的最小值为_【答案】3 【解析】根据题意，设(0,)Ea，(0,)Fb；|2EFab；2ab，或2ba；且(1,),(2,)AEa BFb；2AE BFab ；当2ab时，22(2)22AE BFbbbb ；222bb 的最小值为 8434 ；AE BF 的最小值为 3，同理求出2ba时，AE BF 的最小值为 3 故答案为：3 28（2018江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线:2l yx上在第一象限内的点，(5,0)B，以 AB为直径的圆C 与直
24、线l 交于另一点 D 若0AB CD，则点 A 的横坐标为_【答案】3【解析】设(,2)A aa，0a，(5,0)B，5(2aC，)a，则圆C 的方程为(5)()(2)0 xxay ya 联立2(5)()(2)0yxxxay ya，解得(1,2)D 223215(5,2)(,2)24022aaaAB CDaaaaa 解得：3a 或1a 又0a，3a 即 A 的横坐标为 3 故答案为：3 29（2017山东）已知1e，2e 是互相垂直的单位向量，若123ee 与12ee的夹角为 60，则实数 的值是_【答案】33 【解析】【方法一】由题意，设1(1,0)e，2(0,1)e，则123(3ee，1)
25、，12(1,)ee；又夹角为 60，21212(3)()321cos60eeee，即231，解得33 【方法二】1e，2e 是互相垂直的单位向量，12|1ee，且120e e；又123ee 与12ee的夹角为 60，12121212(3)()|3|cos60eeeeeeee，即222222211221122112213(31)32 322ee eeee eeee ee，化简得2133 112，即231，解得33 故答案为：33 30（2017江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，(12,0)A，(0,6)B，点 P 在圆22:50O xy上若20PA PB，则点 P 的横坐标的取值范围是_【答案
26、】5 2，1【解析】根据题意，设0(P x，0)y，则有220050 xy，0(12PA PBx，00)(yx，22000000006)(12)(6)12620yx xyyxyxy，化为：0012630 0 xy，即0025 0 xy，表示直线 250 xy以及直线上方的区域，联立22000050250 xyxy，解可得05x 或01x ，结合图形分析可得：点 P 的横坐标0 x 的取值范围是 5 2，1，故答案为：5 2，1 31（2017天津）在 ABC中，60A ，3AB，2AC 若2BDDC，()AEACABR，且4AD AE ，则 的值为_【答案】311【解析】如图所示，ABC中，6
27、0A ，3AB，2AC，2BDDC，ADABBD 23ABBC 2()3ABACAB 1233ABAC，又()AEACABR，12()()33AD AEABACACAB 221212()3333AB ACABAC 221212()3 2 cos603243333 ，1113 ，解得311 故答案为：311 32（2017新课标）已知向量 a，b 的夹角为 60，|2a，|1b ，则|2|ab _【答案】2 3 【解析】【解法一】向量 a，b 的夹角为 60，且|2a，|1b ，222(2)44abaa bb 2224 2 1 cos604 1 12，|2|2 3ab【解法二】根据题意画出图形，
28、如图所示；结合图形2OCOAOBab；在 OAC中，由余弦定理得 22|22222 cos1202 3OC ，即|2|2 3ab 故答案为：2 3 1（2020二模拟）已知向量a，b 满足(at，2 2)t，|1b，且()abb，则a，b 的夹角的最小值为（）A6 B4 C3 D2 【答案】C【解析】设 a，b 的夹角为0，()abb，20a bb，即22(2 2)1 cos10tt ，22111cos224 282(2)4ttt，当且仅当2t 时，等号成立，0，3，即 的最小值为3 故选 C 2（2020沙坪坝区校级模拟）已知向量,a b 满足|2,1aa b ，则(2)a ab（）A0 B
29、2 C4 D6【答案】D【解析】|2,1aa b ，2(2)24(2)6a abaa b 故选 D 3（2020南岗区校级模拟）ABC中，D 是 BC 边的中点，|3AB，|4AC，则 ADBC（）A0 B72 C 72 D 252【答案】C【解析】如图，D是 BC 的中点，|3,|4ABAC，221117()()()(169)2222AD BCABACACABACAB 故选 C 4（2020武昌区校级模拟）若平面向量a 与b 的夹角为60，|6,(2)(3)72aabab，则向量b 的模为（）A2 B4 C6 D12【答案】B【解析】(2)(3)72abab，22672aa bb，即2366
30、|cos606|72bb ，解得|4b 或92（舍负）故选 B 5（2020宝鸡三模）已知向量a 与向量b 平行，且|3a，|4b，则a b （）A12 B 12 C5 D12 或 12【答案】D【解析】由题意知，向量 a 与向量b 的夹角0 或180，当0 时，3 4 cos012a b ；当180 时，3 4 cos18012a b 故选 D 6（2020西湖区校级模拟）设a，b，c 为平面向量，|2aba b，若(2)()0c a c b，则c b 的最大值是（）A73 B 532 C174 D 94【答案】B【解析】|2aba b，cosa，12|a bbab，即a，3b 设(,)cx
31、 y，(2,0)a，则(1,3)b，(2)()0cacb，2(x，)(2y，0)(x，)(1y，3)0，整理得2233(1)()24xy，向量 c 的终点的轨迹是以3(1,)2为圆心，32 为半径的圆 设(zc bx，)(1y，3)3xy，当直线30 xyz与圆相切时，z 取得最大值或最小值，此时有3|13|3222z，解得532z 或 532，c b 的最大值为 532 故选 B 7（2020西安三模）已知向量(1,0)i，向量(1,1)f，则|34|if的值为（）A17 B5 C 17 D25【答案】C【解析】根据题意，向量(1,0)i，向量(1,1)f，则34(1,4)if ，故|34|
32、1 1617if；故选 C 8（2020东湖区校级模拟）ABC中，ABAC，2BDDC，E 是 AC 的中点，若4AD BE ，则 AB AC （）A0 B2 C4 D8【答案】D【解析】根据题意，作出如下所示的图形：2BDDC，2212()3333ADABBDABBCABACABABAC，E 是 AC 的中点，12BEAEABACAB，2212111121()()433263332AD BEABACACABAB ACABACAB ACAB AC ，8AB AC 故选 D 9（2020红岗区校级模拟）若|1aab，且a 与ab的夹角为60，则|ab（）A7 B3 C7 D3【答案】B【解析】由
33、题可知，11()|cos601 122a abaab 2()1a abaa ba b，12a b 2221|()212132ababaa bb 故选 B 10（2020德阳模拟）设向量(2,1)a ，(,3)abm，(3,1)c，若()abc，设a、b的夹角为，则cos （）A35 B 35 C55 D2 55【答案】D【解析】(,3)abm，(3,1)c，()abc，330m，可得1m ，可得(1,3)ab，(2,1)a ，(3,4)b，6410a b ，可得|5a，|5b，设 a、b 的夹角为，则102 5cos5|55a ba b 故选 D 11（2020襄州区校级四模）已知向量(2,1
34、)a，(6,)bx，且/ab，则|2|ab（）A5 B 2 5 C4 D5【答案】A【解析】根据题意，向量(2,1)a，(6,)bx，若/ab，则有 2(1)6x ，解可得3x ，则(2,1)a，(6,3)b，则 2(2,1)ab，则|2|4 15ab；故选 A 12（2020武侯区校级模拟）设向量(,1)am，(1,2)b，且222|a bab，则m（）A1 B2 C 1 D 2 【答案】D【解析】由222|abab得，22222aba bab，0a b，20a bm，得2m 故选 D 13（2020兴庆区校级模拟）平面向量a 与b 的夹角为60，(1,0)a，|1b，则|2|ab（）A 2
35、 3 B7 C3 D7【答案】B【解析】(1,0)a，|1a，|cosa baba，111 122b 2221|2|(2)44144 172ababaa bb 故选 B 14（2020贵港四模）在直角 ABC中，ABAC，|3AB，|2AC，2AEEB，AFFC，设 BF 与 CE 交于G，则cosAG，AE （）A1010 B 3 1010 C 35 D 45【答案】B【解析】如图，以 A 坐标原点、AB 所在直线为 x 轴，AC 所在直线为 y 轴，建立坐标系，则由题意(3,0)B，ABAC，|3AB，|2AC，2AEEB，AFFC，则(0,2)C，(2,0)E，(0,1)F，所以，直线C
36、E 的方程为20 xy，直线 BF 的方程为330 xy，由20330 xyxy，解得3212xy，即3(2G，1)2 3 1(,)2 2AG，(3,0)AB，93 102cos,10532AG AB，故选 B 15（2020运城模拟）已知向量,a b 满足|1,|3ab，且a 与b 的夹角为6，则|2|ab（）A 12 B 13 C1 D13【答案】C【解析】向量,a b 满足|1a ，|3b，且 a 与b 的夹角为6，所以22222(2)444 14 13cos(3)16abaa bb ，所以|2|1ab 故选 C 16（20206 月份模拟）已知向量(,2)am，(3b，1)，若向量a
37、在向量b 方向上的投影为 2，则向量a 与向量b 的夹角是（）A30 B 60 C120 D150 【答案】C【解析】由向量数量积的定理可知，23|cos,22|a bmaa bb ，故2 3m ，所以621cos,422|a ba ba b ，而 0a，180b，故夹角为120 故选 C 17（2020唐山二模）已知向量 a，b 满足|1a，()(3)abab，则a 与b 的夹角的最大值为（）A30 B 60 C120 D150 【答案】A【解析】|1,()(3)aabab，222()(3)34340abababa bba b，2|34ba b，23|33|cos,42|4|ba bbba
38、ba bb，且0,180a b剟，3cos,2a b时，,a b 的夹角最大为30 故选 A 18（2020河南模拟）若非零向量,a b 满足，则向量与夹角的余弦值为（）A78 B58 C34 D38【答案】A【解析】由(2)(2),()(3)abababab，所以(2)(2)0abab，且()(3)0abab；即2240ab，所以|2|ab；且22430aa bb，代入得2224|8|cos3|0bbb，解得7cos8 ；所以向量 a 与b 夹角的余弦值为78 故选 A 19（2020淮北二模）已知，记，若，则与的夹角是（）A6 B3 C 23 D 56 【答案】C【解析】33(,)22cm
39、，(1,3)a，且 ac，333022a cm，解得0m，(2,0)b ，21cos,222|a ba ba b，0,a b剟，a 与b 的夹角是 23 故选 C 20（2020黑龙江三模）已知向量，满足，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A22 B23 C24 D25 【答案】A【解析】|2a，|1b ，|2|2ba，22444242baa ba b，1a b ，2cos,2|a ba ba b 故选 A 21（2020中山区校级一模）已知平面向量，则与的夹角等于（）A6 B3 C 23 D 56 【答案】C【解析】11(2)(2,2 3)(1,3)22baba，且(3,0)a，31cos,2
40、 32|a ba ba b，且0,a b剟，a 与b 的夹角等于 23 故选 C 22（2020潍坊模拟）已知向量，若，则与的夹角为（）A6 B4 C3 D 23 【答案】B【解析】由 ab，可得30a b ，故3，则3(1ab ，3)(3，1)(2，4)，设3ab与 a 的夹角为，则2(1)3 42cos21020 ，因为 0 剟，故4 故选 B 23（2020道里区校级四模）已知向量，若，则（）A 6 B83 C 83 D6【答案】A【解析】向量(3,2)m，(4,)nx，若 mn，1220m nx，则6x ，故选 A 24（2020河南模拟）已知向量，若，则（）A194 B194 C23
41、 D 23【答案】B【解析】2(22,5)abm，(2,3)b，且(2)abb，(2)2(22)150ab bm，解得194m 故选 B 25（2020临汾模拟）已知向量，向量在向量方向上的投影为若，则实数的值为（）A 14 B14 C 12 D12【答案】C【解析】向量1(2b，3)2，向量 a 在向量b 方向上的投影为 2，2|2a bb ，若()abb，则2()210ab ba bb ，12，故选 C 26（2020沙坪坝区校级模拟）向量，若，则（）A 4 B32 C0 D6【答案】A【解析】向量(3,),(1,2)am b，()(4ab，2)m，若()abb，则()(4ab b，2)(
42、1m，2)4240m，则4m ，故选 A 27（2020太原二模）已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（）A 12 B 35 C12 D32【答案】B【解析】,a b 是两个非零向量，其夹角为，若()()abab，则22()()0ababab，|ab|2|abab，222224(2)aa bbaa bb，2610aa b 则22335cos5|aa baab，故选 B 28（2020厦门模拟）已知向量，且，则（）A52 B 54 C5 D5【答案】C【解析】向量(2,1)a，(1,)bm，且 ab，20a bm，2m ，则2|15bm，故选 C 29（2020黄州区校级二模）已知向量，且在
43、方向上的投影为，则（）A0 B12 C 1 D 24【答案】C【解析】a 在b 方向上的投影为12，|cosaa，12b ，又|2b，|cosa baba，12()12b 故选 C 30（2020三模拟）的顶角，的对边长依次等于 2，3，4，则（）A 212 B32 C 112 D112【答案】C【解析】根据余弦定理，22242311cos24216B，1142 cos()2AB BCB 故选 C 31（2020桃城区校级模拟）已知在中，点满足，则（）A89 B 89 C23 D 23【答案】A【解析】2AB CA ，2 2 cos()2A ，得1cos2A，(0,)A，3A，ABC为等边三角
44、形 以 AC 的中点 O 为坐标原点，以 OA，OB 分别为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A，(0,3)B，(1,0)C，(1,3)CB，(2,0)CA 1132CPCBCA，1(13CP，13)(22，40)(3，3)3，(1,0)C，点 P 的坐标为 1(3，3)3，2(3PA PB，31)(33，22283)3939 故选 A 32（2020广元模拟）已知，则在方向上的投影为（）A 5 77 B 12 C77 D 52【答案】D【解析】由数量积定义可知，a 在b 方向上的投影为2 1335|cos,22|a baa bb 故选 D 33（2020重庆模拟）已知向量，则在上的投影为（）A5 B5 C102 D102【答案】A【解析】由数量积定义可知，a 在b 方向上的投影为3(1)(1)2|cos,5|5a baa bb 故选 A