1、6距离的计算知识点一 点到直线的距离 填一填(1)因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内点到直线的距离问题(2)如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点作AAl，垂足为A，则点A到直线l的距离d等于线段AA的长度，而向量在s上的投影大小|s0|等于线段PA的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离为d.答一答1公式中s0是直线的方向向量吗？是任一方向向量吗？提示：公式中s0是直线的方向向量，并且是单位向量不是任一方向向量2P是直线l上的一点，A是直线l外一点，如果P点换成P(不同于P)点，公式是否仍然成立？提示：公式仍然成立由于P点
2、是直线l上任意一点，这样就具有了可操作性，更便于应用知识点二 点到平面的距离 填一填如图，设是过点P垂直于向量n的平面，A是平面外一定点作AA，垂足为A，则点A到平面的距离d等于线段AA的长度而向量在n上的投影的大小|n0|等于线段AA的长度，所以点A到平面的距离d|n0|. 答一答1试总结利用向量法求点到平面的距离的步骤提示：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离2如何求平行平面间的距离？提示：只需在一个平面内任取一点，求出这点到另一平面的距离即为两平行平面
3、间的距离1关于点到直线的距离的几个注意点：点到直线的距离除了用向量的方法外，还可以直接作出距离，构造三角形，解三角形求之；也可以建立适当的空间直角坐标系，将点到直线的距离转化为点与点之间的距离，求出两点的坐标，利用空间两点间距离公式求之2求点到平面的距离的方法有三个：(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后把该垂线段归结到一个直角三角形中，解三角形求得(2)等体积法：把点到平面的距离视为三棱锥底面的高，利用三棱锥转换底面求体积，进而求得距离(3)向量法：这是我们常用到的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：求出该平面的一个法向量；找出从该点出发的平面任意一
4、条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离3求直线与它平行平面的距离的实质是求直线上一点到平面的距离，即转化为求点到平面的距离4线与面的距离、面与面的距离均可转化为点到平面的距离，故求点到平面距离的三个方法(定义法、等体积法、向量法)仍然适用于求线与线的距离、面与面的距离.题型一 点到直线的距离【例1】如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCDABCD，AB2，BC3，AA4，求点B到直线AC的距离【思路探究】用点到直线的距离公式计算点B到直线AC的距离d.【解】因为AB2，BC3，AA4，所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A(0
5、,0,4)(0,0,4)(2,3,0)(2，3，4)，(2,0,0)(2,3,0)(0，3,0)所以在上的投影为(0，3,0)(0，3,0)0(3)0.所以点B到直线AC的距离为d.规律方法 (1)用向量法求直线外一点A到直线l的距离的步骤：确定直线l的方向向量s及s0；在l上找一点P，计算的长度；计算s0的值；由公式d求解(2)用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过A1点作l的垂线，难在垂足的位置的确定)设ABCABC是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面ABBA的中心点，则P到侧面ACCA的对角线的距离是(C)A. B.C. D.解析：解法1：如图，在ABC中
6、，过P作PHAC，垂足为H.AB，AC，BC1，则由余弦定理知cosBAC，从而sinBAC，所以PHAPsinBAC.即P到侧面ACCA的对角线的距离是.解法2：如图，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，z轴的正方向，y轴平面AACC建立空间直角坐标系，由题意知A(0,0,0)，A(0,0,1)，B(，0)，C(1,0,1)，(1,0,1)P是侧面ABBA的中心点，即AB的中点，P(，)，则有(，)故在上的投影的大小为|，P到侧面ACCA的对角线的距离为d.题型二 点到平面的距离【例2】如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PAAD2，点E，F分别为PA，PD的中点则在CD上是否存在
7、一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出CQ的长；若不存在，请说明理由【思路探究】【解】以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，F(0,1,1)，从而(0,1,0)，(0,0，1)假设在CD上存在一点Q满足条件，设点Q(x0,2,0)，其中0x02，则(x0,2，1)，设平面EFQ的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，得n(1,0，x0)，所以点A到平面EFQ的距离为|，解得x0，所以点Q(，2,0)，即(，0,0)，则|.所以在CD上存在一点Q满足条件，且CQ的长为.规律方法 点到平面的距离的三种求法：(1)定义法，这是常规方法，首先过点向平面作垂线，
8、确定垂足的位置，然后将该线段(垂线段)放到一个直角三角形中，最后通过解三角形求得点到平面的距离(2)等体积法，把点到平面的距离视为一个棱锥的高，利用体积相等求得点到平面的距离(3)向量法，这是我们常用的方法，利用向量求点到平面的距离的一般步骤：求出该平面的法向量；找到从该点出发的平面的任意一条斜线段所对应的向量；求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离解：解法1：E，F，G三点确定的平面截正方体得到的截面为正六边形EO1FO2GO3，延
9、长DA，FO2，O3G交于一点O4，如图，设点A到平面EFG的距离为d，在四面体AO2O4G中，由VAO2O4GVO2AO4G可得d.点A到平面EFG的距离为.解法2：如图，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，(1，2,1)，(2，1，1)，(0，1，0)设n(x，y，z)是平面EFG的法向量，则由n，n，得x2yz0,2xyz0，从而有xyz，令xyz1，可得n(1,1,1)在n上射影的长度为.点A到平面EFG的距离为.题型三 线面距与面面距【例3】如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，F、
10、E分别为AD、PC的中点(1)证明：DE平面PFB；(2)求DE到平面PFB的距离【思路探究】(1)建立恰当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，向量用与线性表示，从而证明线面平行(2)利用点D到平面PFB的距离，可求得线面距【解】(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)、F(1,0,0)、B(2,2,0)、E(0,1,1)(1,0,2)，(1,2,0)，(0,1,1)，平面PFB.又D平面PFB，DE平面PFB.(2)DE平面PFB，DE到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离设平面PFB的一个法向量为n(x，y，z)，则令x2，得y1，z1，n(2，1,1
11、)，(1，0,0)，点D到平面PFB的距离d.则DE到平面PFB的距离为.规律方法 (1)求直线到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离(2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离解：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，则有(2,2,0)，(2,2,0)，
12、(2,0,4)，(2,0,4)，EFMN，AMBF.平面AMN平面EFBD.设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，从而解得令z1，则x2，y2，得n(2，2,1)由于(0,4,0)，在n上的投影为.两平行平面间距离d.易错警示向量夹角在距离中的错误应用【例4】如图，把长、宽分别为2、2的长方形ABCD沿对角线AC折成60的二面角，求顶点B和D间的距离【误解】如图，过点D作DEAC，垂足为E，过点B作BFAC，垂足为F.AB2，AD2，DEBF，EF2，又二面角DACB为60，DEAC，BFAC，则，60，.则|2()2|2|2|22223432cos6013.|.【正解】如图，过点D作DEA
13、C，垂足为E，过点B作BFAC，垂足为F.AB2，AD2，DEBF，EF2.又二面角DACB为60，DEAC，BFAC，则，120，.|2()2|2|2|22223432cos1207.|.规律方法 这位同学在解题过程中，把两向量夹角当作二面角的平面角，其实，120，即两向量夹角应是二面角的补角二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于(C)A. B.C2 D.解析：如图所示，|1，由得|2222222|2|2|2232cos(180120)4，|2.空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点
14、Q在线段CD上，则点P到Q的最小距离为(B)A. B.aC.a D.a解析：如图，求PQ的最小值，需先将PQ表示出来，再用代数方法确定最值由题设可知，、两两夹角均为60.设，则()(1).|222(1)22222(1)2(1)22a2a22a22a22a2a2a2a22a2a2a2(221)a2()2()2.|a.即点P到Q的最小距离为a.1如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为(B)A. B.C. D.解析：以点A为原点，、分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C1(1,1,1)，O(，1)，(，0)，易求
15、出平面ABC1D1的法向量为n(1,0,1)，则d.2与xOy平面的距离为1的点(x，y，z)所满足的条件是z1.3正方体A1B1C1D1ABCD，E、F分别是C1C、D1A1的中点，求点A到EF的距离解：以D点为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图设DA2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，则(1，2,1)，(1,0，2)，|，110(2)(2)11，在上的射影长为.点A到EF的距离为.4在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，求点A到平面A1BC的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,1)，(，1，1)，(0,2，1)，设平面A1BC的法向量n(x，y，z)，点A到平面A1BC的距离为d，则即令y3，则n(，3,6)，n0(，)又(0,0,1)，d|n0|.
