1、21届河北省高三年级11月份联合考试数学考生注意：1本试卷共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，向量，数列，不等式，立体几何一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2在公比为q的正项等比数列中，已知，则（ ）A2 B3 C4 D53函数的图象在点处的切线斜率为（ ）A4 B C2 D4设，则“且”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5在正方体中，P是正方形的中心，点Q在线段上
2、，且，E是的中点，则异面直线所成角的大小为（ ）A30 B45 C60 D906已知，则（ ）A B C D7如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器秦始皇统中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（ ）A5.4立方寸 B8立方寸 C16立方寸 D16.2立方寸8已知所在的平面内一点P（点P与点A，B，C不重合），且，则与的面积之比为（ ）A B C D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的
3、得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）A函数的最小正周期为BC函数在区间上单调递增D点是函数图象的一个对称中心10下列函数有两个零点的是（ ）A BC D11斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以F为圆心，长为半径作弧；然后在黄金矩形中作正方形，以H为圆心，长为半径作弧；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线记弧的长度分别为l，m，n，则下列结论正确的是（ ）A B C D12设，则下列结论正确的是（ ）A B C D三、填空
4、题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知正数a，b满足，则的最小值为_14在中，为的中点，E，F都在线段上，且，则_15如图，已知正方体的棱长为3，点H在棱上，且，P是侧面内一动点，则的最小值为_16已知数列满足的前n项和为，则_四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在，三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答问题：设等差数列的前n项和为，_，求数列的前n项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（12分）已知函数的部分图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值19（12分）在直四棱柱中，底面为正方形
5、，M，N，P分别是的中点（1）证明：平面平面（2）求直线与平面所成角的正弦值20（12分）如图，在三棱锥中，E为的中点，且（1）证明：平面平面（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值21（12分）已知函数，（1）若在上的最大值与最小值之和为10，求a的值；（2）若对任意的，总存在，能使，求实数a的取值范围22（12分）已知函数（1）设函数，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求a的取值范围21届河北省高三年级11月份联合考试数学参考答案1C 【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力因为，所以2A 【解析】本题考查等比数列的性质，考查运算求解能力因为，所以又，所以，解得3B 【解析】本题考查导数
6、的几何意义，考查运算求解能力因为，所以4A 【解析】本题考查常用逻辑用语的知识，考查推理论证能力因为且所以且1，所以；若，可取，不满足且，所以前者是后者的充分不必要条件，选A5D 【解析】本题考查异面直线所成角的大小，考查空间想象能力如图，在正方体中，在底面的射影为，可证平面，而平面，那么，则异面直线所成角的大小为906C 【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力因为，所以，且，又，所以7D 【解析】本题考查数学文化与空间几何体的表面积与体积，考查空间想象能力设内口宽为a寸，则长为寸，由，整理得，解得（舍去），故所求的容积为立方寸8A 【解析】本题考查平面向量的线性表示，考查运算求解能力
7、由化简得，故9ACD 【解析】本题考查三角函数的性质，考查运算求解能力因为图象相邻两条对称轴之间的距离为，即的最小正周期为，所以，即，A正确；又直线是其中一条对称轴，所以，即，由，得，所以，从而，所以B错误：由，解得单调递增区间为，取可知C正确：由，解得，取可知D正确10BD 【解析】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想对于选项A，函数与的图象相切于点，因此只有一个零点：对于选项B，画出和的图象（图略）可知它们有两个交点；对于选项C，所以在上单调递增，所以在上最多只有一个零点；对于选项D，因为，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，所以有两个零点故答案为BD11AB 【解析】本题考查弧长
8、的计算，考查运算求解能力不妨设，则，所以因为，所以同理可得所以，所以A，B正确，C，D错误12ABD 【解析】本题考查指数、对数的运算及比较大小，考查推理论证能力易知，所以A正确：因为，即，又，所以，B正确；又，所以，从而，C错误；又，可知D正确，综上，A，B，D正确，C错误1312 【解析】本题考查均值不等式的知识，考查运算求解能力14 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力如图，建立直角坐标系，则，所以15 【解析】本题考查立体几何的有关知识，考查空间想象能力如图，作交于点G，则因为，所以，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以的最小值为16962 【解析】本题考查数
9、列的有关知识，考查逻辑推理能力由题知，当n为奇数时，于是，所以又因为当n为偶数时，且，所以两式相加可得，于是两式相减得所以，故17解：选由，可知数列的公差为2， 2分又，可得，得， 4分所以， 6分可知， 8分数列的前n项和为 10分选设数列的公差为d，则由，得 2分解得 4分所以， 6分可知， 8分数列的前n项和为 10分选当时， 2分当时，解得， 4分所以， 6分可知， 8分数列的前n项和为 10分评分细则：（1）不管补充的条件是哪个，只要算出这一步都得6分；写出累计得8分，直到算出最后的正确答案得10分（2）其他解法根据评分标准依步骤给分18解：（1）由图可知，所以， 2分所以因为，所以
10、，则 4分因为，所以 5分故 6分（2）函数 9分因为，所以 10分所以当，即时，y取最大值6；当，即时，y取最小值 12分评分细则：（）第一问中，写出得2分，写出，累计得4分，求出，累计得5分，正确写出函数的解析式累计得6分；（2）第二问中，写出，累计得9分，写出，累计得10分，最后正确求出结果得满分；（3）其他情况根据评分标准酌情给分19（1）证明：因为M，N，P分别是的中点，所以 1分又平面，平面，所以平面， 3分同理平面， 4分又，所以平面平面 5分（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 6分设平面的法向量为，则 8分令，得 9分设直线与平面所成角为，则， 11分
11、所以直线与平面所成角的正弦值为， 12分评分细则：（1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分；（2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，得1分，计算出平面的法向量得3分，整个题解答完全正确得满分；（3）若用传统做法，作出直线与平面所成的角得1分，简单证明得2分，整个题解答完全正确得满分20（1）证明：取的中点为O，连接，因为，所以 1分又，所以，且 2分在中，所以，即，从而， 3分又，所以平面 4分因为平面，所以平面平面 5分（2）解：由（1）知，两两垂直，如图，分别以，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，
12、6分设是平面的法向量，可得令，得 8分设是平面的法向量，因为，则令，得 10分设平面与平面所成的锐二面角为，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为 12分评分细则：（1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分；（2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得1分，计算出相关向量坐标，得1分，计算出平面的法向量各得2分，整个题完全正确得满分；（3）若用传统做法，作出二面角的平面角得1分，简单证明得2分，整个题解答完全正确得满分21解：（1）因为，所以从而 2分由于在上是增函数，所以，即，解得， 4分（2）由题知 5分易知在上单调递减，在上单调递增
13、 6分令，则当时，且 7分若记，则，且知函数的开口向上，对称轴是 8分当，即时，,所以，解得，又因为，所以； 9分当，即时，所以，解得，又因为，所以此时a无解； 10分当，即时，所以，解得，又因为，所以此时a无解 11分综上所述，实数a的取值范围是 12分评分细则：（1）第一问中，会去掉绝对值得到给2分，全部正确的得4分；（2）第二问中，写到这一步累计得5分，会判断的单调性，累计得6分，通过换元法写出；，累计得7分，第一次分类讨论正确写出，累计得9分，第二次分类讨论判断a无解，累计得10分，第三次分类讨论判断a无解累计得11分，正确写出a的取值范围得满分；（3）其他情况根据评分标准依步骤给分2
14、2解：（1）由已知得，所以 1分当时，在上单调递增 2分当时，令，则；令，则所以在上单调递减，在上单调递增综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 4分（2）令，得 5分设，则 6分当时，在上单调递增，所以的值域是 7分当时，没有实根，在上单调递增，所以，符合题意 9分当时，所以有唯一实根，即有唯一实根， 10分当时，在上单调递减，所以，不符合题意 11分综上所述，即a的取值范围是 12分评分细则：（1）第一问中，求出得1分，正确讨论的情形得1分，正确讨论的情形累计得4分：（2）第二问中，只要得到，得2分，求出的值域是，得1分，讨论的情形累计得9分，讨论的情形，累计得11分正确解完本题得满分；（3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分
