1、四 渐开线与摆线 课后篇巩固探究A 组1.下列说法正确的是()圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.B.C.D.答案 B2.下列各点中,在圆的摆线 -(为参数)上的是()A.(,0)B.(,1)C.(2,2)D.(2,0)解析依次将点代入验证即可.答案 D3.当=2 时,圆的渐开线 -(为参数)上对应的点是()A.(6,0)B.(6,6)C.(6,-12)D.(-,12)解析当=2 时,将其代入圆的渐开线的参数方
2、程,得 即所求的坐标为(6,-12).答案 C4.当=时,圆的摆线 -(为参数)上对应的点的坐标是 .答案(6+4,4)5.如果半径为 3 的圆的摆线上某点对应的参数=,那么该点的坐标为 .解析因为 r=3,所以圆的摆线的参数方程为 -(为参数).把=代入得 x=-,y=3-.故该点的坐标为(-).答案(-)6.已知一个圆的摆线方程是 -(为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.解根据摆线的参数方程可知圆的半径为 4,所以面积是 16,该圆对应的渐开线的参数方程是 -(为参数).7.已知圆 C 的参数方程是 -(为参数),直线 l 的普通方程是 x-y-6=0.(1)如果把圆心平移
3、到原点 O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.解(1)圆 C 平移后的圆心为 O(0,0),它到直线 x-y-6=0 的距离为 d=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是 6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是 -(为参数).8.导学号 73574057 当=,时,求出渐开线 -(为参数)上的对应点 A,B,并求出 A,B 两点间的距离.解将=代入 -得 -所以 A(-).将=代入 -得 -所以 B(-1,).故 A,B 两点间的距离为|AB|=(-)-.9.已知圆的半径为 r,圆沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原
4、点 O,圆上点 M 从起始处(点 O 处)沿顺时针已偏转 角.试求点 M 的轨迹的参数方程.解由题意知 xM=r-rcos(-)=r(-sin),yM=r+rsin(-)=r(1-cos).故点 M 的轨迹的参数方程为 -(为参数).B 组1.我们知道图象关于直线 y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线 -(为参数)关于直线 y=x 对称的曲线的参数方程为()A.-(为参数)B.-(为参数)C.-(为参数)D.-(为参数)解析图象关于直线 y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换.所以要写出摆线关于直线 y=x 对称的曲线方程,只需把其中的 x 与 y
5、 互换.答案 B2.已知一个圆的参数方程为 (为参数),则圆的摆线的参数方程中与=对应的点 A 与点 B()之间的距离为()A.-1B.C.D.-解析根据圆的参数方程可知,圆的半径为 3,则它的摆线的参数方程为 -(为参数),把=代入参数方程中可得 (-)即 A(-),所以|AB|=(-)-.答案 C3.导学号 73574058 如图,ABCD 是边长为 1 的正方形,曲线 AEFGH叫做“正方形的渐开线”,其中 ,的圆心依次按 B,C,D,A 循环,则曲线段 AEFGH 的长是()A.3B.4C.5D.6解析根据渐开线的定义可知,是半径为 1 的 圆周长,长度为 是半径为 2 的 圆周长,长
6、度为;是半径为 3 的 圆周长,长度为 是半径为 4 的 圆周长,长度为 2.所以曲线段 AEFGH 的长是 5.答案 C4.已知渐开线 -(为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为.解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径 r=7,其方程为 x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为()+y2=49,整理可得 =1,这是一个焦点在 x 轴上的椭圆.c=-=7.故焦点坐标为(7,0)和(-7,0).答案(7,0)和(-7,0)5.导学号 73574059 已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请
7、写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.解令 y=0,可得 r(1-cos)=0,由于 r0,即得 cos=1,所以=2k(kZ).将其代入 x=r(-sin),得 x=r(2k-sin 2k)(kZ).又因为 x=2,所以 r(2k-sin 2k)=2,即得 r=(kZ).又由实际可知 r0,所以 r=(kN*).易知,当 k=1 时,r 取最大值 .故所求圆的摆线的参数方程为 -(为参数);所求圆的渐开线的参数方程为 -(为参数).6.设圆的半径为 4,圆沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原点 O,记圆上动点为 M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点 M 的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标 y 的最大值.解依题意可知点 M 的轨迹是摆线,其参数方程为 -(为参数,且 02).其曲线是摆线的第一拱(02),如图所示.易知,当 x=4 时,y 有最大值 8,故该曲线上纵坐标 y 的最大值为 8.
