1、32 基本不等式与最大(小)值学习目标能灵活应用基本不等式求最大(小)值 课堂互动讲练 知能优化训练 3.2 基本不等式与最大(小)值课前自主学案 1重要不等式：对任意实数 a、b，都有 a2b2_2ab，当且仅当_时，等号成立2基本不等式(1)形式：_；(2)成立的前提条件：_；(3)等号成立的条件：当且仅当_时取等号；(4)对任意两个正实数 a、b，ab2 叫做 a，b 的_，ab叫做 a，b 的_课前自主学案 温故夯基 ababab2a0，b0ab算术平均数几何平均数1已知 x，y 都是正数，(1)若 xyS(和为定值)，则当_时，积 xy取_.(2)若 xyp(积为定值)，则当_时，和
2、 xy取得最小值_.上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小xy最大值14S2xy2 p知新益能 2二元均值不等式具有将“_”转化为“_”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点积式和式问题探究 1两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定应用基本不等式求最值时还要求等号能取到.基本不等式中说，“当且仅当 ab时取等号”是说 ab 时“”中的“等号”成立，但有时“a”和“b”不一定能相等如 sinx 与 4sinx，x(0，)，两个都是正数，乘积为定值但是由02sinx
3、4sinx4 等号不成立取不到最小值2应用基本不等式求最值有什么条件？提示：根据解题经验，应用基本不等式 abab2求最值的条件是：(1)a，b 都是正实数即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案例如，当 x0 时，函数 f(x)x1x2x1x2，所以函数 f(x)的最小值是 2.由于 f(2)2 12522，那么很明显这是一个错误的答案其原因是当 x0 时，不能直接用基本不等式求 f(x)x1x的最值因此，利用基本不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数其实，当 x0，则 f(x)x 1x2x 1x2，此时有 f(x)2.由此看，所求最值的代数式中的各
4、项不都是正数时，利用变形，转化为各项都是正数的代数式(2)ab 与 ab 有一个是定值即当 ab 是定值时，可以求 ab 的最值；当 ab 是定值时，可以求ab 的最值如果 ab 和 ab 都不是定值，那么就会得出错误答案例如，当 x1 时，函数 f(x)x1x12xx1，所以函数 f(x)的最小值是2xx1.由于2xx1是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案其原因是没有掌握基本不等式求最值的条件，ab 与 ab 有一个是定值其实，当 x1 时，有 x10，则函数 f(x)x 1x1 (x 1)1x1 12x1 1x113.由此看，当 ab 与 ab 没有一个是定值时，通常把所求最值
5、的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式(3)等号能够成立，即存在正数 a，b 使基本不等式两边相等也就是存在正数a，b使得 abab2如果忽视这一点，就会得出错误答案例如，当x2 时，函数 f(x)x1x2x1x2，所以函数 f(x)的最小值是2.很明显 x1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当 x1x即 x1，而函数的定义域是x|x2，所以这是一个错误的答案其原因是基本不等式中的等号不成立其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用基本不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值利用函数单调性的定义可以证明，当 x2 时，函数 f
6、(x)x1x是增函数，函数 f(x)的最小值是f(2)21252.由此看，上面三个条件缺一不可，通常又总结成口诀：一正二定三相等课堂互动讲练 考点突破 利用基本不等式求最值(1)使用基本不等式求最值，各项必须为正数；积或和为定值；等号能够取到如果对于两个负数相加，可以先求它们相反数的和的最值，再利用不等式的性质，求这两个负数和的最值(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件(1)(2010 年高考山东卷)若对任意 x0，xx23x1 a 恒 成 立，则 a 的 取 值 范 围 是_(2)(201
7、0 年高考浙江卷)若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_例1【思路点拨】(1)、(2)小题直接利用基本不等式或创设条件利用基本不等式求解【解析】(1)因为 x0，所以 x1x2(当且仅当x1 时取等号)，所以有xx23x11x1x3 12315，即xx23x1的最大值为15，故 a15.(2)由基本不等式得 xy2 2 xy6，令 xyt 得不等式 t22 2t60，解得 t 2(舍去)或者t3 2，故 xy 的最小值为 18.【答案】(1)15，)(2)18【规律小结】(1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能取
8、得”，这三个方面缺一不可(2)对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法自我挑战(1)已知 x2，求 x 4x2的最小值；(2)已知 x1，求 y x2x1的最小值；(3)已知 x54，求 y4x214x5的最大值解：(1)x2，x20，x4x2x24x222x2 4x226，当且仅当 x2 4x2，即 x4 时，等号成立所以 x 4x2的最小值为 6.(2)y x2x1x211x1x1 1x1x1 1x12224，当且仅当 1x1x1，即(x1)21 时，等式成立，x1，当 x2 时，y
9、min4.(3)x0，y4x214x5(54x154x)3231，当且仅当 54x154x，即 x1 时等号成立当 x1 时，ymax1.求代数式的最值或取值范围 利用基本不等式解决此类问题的基本方法有：(1)有为1的等式时，将“1”整体代入，展开，运用基本不等式；(2)利用条件的等式统一变形，然后配凑出利用基本不等式的条件；(3)直接将条件变形配凑出积(和)为定值的形式已知 x0，y0，且1x9y1，求 xy 的最小值例2【思路点拨】利用条件进行变形，构建某个积为定值，然后利用基本不等式求解.【解】法一：x0，y0，1x9y1，xy(1x9y)(xy)yx9xy 1061016，当且仅当yx
10、9xy，又1x9y1，即 x4，y12 时，上式取等号故当 x4，y12 时，(xy)min16.法二：由1x9y1，得 x1 9y9，即(x1)(y9)9(定值)x1，y9，xy(x1)(y9)102 x1y91016，当且仅当 x1y93，即 x4，y12 时上式取等号，故当 x4，y12 时，(xy)min16.【名师点评】在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧互动探究 若把题目条件改为“a0，b0，x0，y0，axby1”，求 xy 的最小值解：法一：由axby1，得 x ayyb.又 x0
11、，y0，yb0，xy ayybyaybbybybbab abyb(yb)ab2abybybab2 ab，当且仅当 abybyb，即 yb ab时等号成立，故所求的最小值为 ab2 ab.法二：xy(xy)(axby)abayx bxyab2 ab，当且仅当ayx bxy，又axby1，即 xa ab，yb ab时等号成立，故所求的最小值为 ab2 ab.利用基本不等式解应用题 基本不等式在实际中的应用是指利用不等式解决生产、科研和日常生活中的问题解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论(2009年高考湖北卷)围建一个面积为3
12、60 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)例3(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【思路点拨】准确计算出用旧墙建新墙和新建墙的长度及费用【解】(1)如图，设矩形的另一边长为a m，则 y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知 xa360，得 a360 x，所以 y225x3602x
13、360(x2)(2)x 2，225x3602x2225360210800.y225x3602x 36010440.当且仅当 225x3602x 时，等号成立即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元【名师点评】解实际应用题要注意以下几点：设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解1利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情境方法感悟 2求形如函数 yaxbx(a0，b0)的最值的问题的解法要掌握，特别是应用基本不等式等号不成立时，要用单调性的方法来研究最值3应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围