1、2021-2022学年度高二数学12月月考卷一、单选题1. 已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由斜率公式数形结合可得.【详解】如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又，所以直线l的斜率满足故选：D.2. 已知等差数列中，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等差数列性质得到，得到答案.【详解】，则，故，.故选：C.3. 经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求
2、圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.圆配方可得，圆心坐标为，半径为2，弦心距，弦长为，过圆的圆心和直线垂直的直线方程为，即最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，所求面积最小的圆方程为：，故选：C4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导得到导函数，计算，再代入计算得到答案.详解】，则，.，.故选：B5. 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】
3、【分析】设，由，得是的重心，从而求得，然后由焦半径公式求得结论【详解】设，由题意得抛物线焦点坐标为，准线方程为因为，所以点是的重心，故，故选：A6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分析可知函数为偶函数，且在上为增函数，由已知可得出，解此不等式即可得解.【详解】函数的定义域为，即函数为偶函数，当时，则，所以，函数在上为增函数，由，可得，得，即，解得.故选：D.7. 已知数列满足，（，），定义：使乘积为正整数的（）叫做“幸运数”，则在内的所有“幸运数”的和为（ ）A 2046B. 4083C. 4094D. 2036【答案】D【解析】【分析】利用
4、换底公式与叠乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解【详解】解：，又为整数，必须是2的次幂，即内所有的“幸运数”的和：，故选：D8. 过双曲线（，）的右焦点作双曲线渐近线的垂线段，垂足为，线段与双曲线交于点，且满足，则双曲线离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用渐近线的斜率，求出，进而利用相似和求出点点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于的方程，求出离心率即可【详解】因为双曲线渐近线方程为，所以，如图，在直角三角形中，又因为 l故，过、A分别作的垂线，垂足分别为、，则由得：，又，故，故可得点A的坐标为，所以，整理得，解得，故选：二、多选题
5、9. 下列说法正确的有（ ）A. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为B. 点关于直线的对称点为C. 圆与圆可能内含、内切或相交D. 若圆与圆相离，则【答案】BC【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A，设对称点的坐标为，依题意得到方程组，解得、，即可判断B，求出两圆心之间的距离，即可判断C、D；【详解】解：对于A：当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，无意义，故A错误；对于B：设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，故对称的点的坐标为，故B正确；对于C：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以圆心之间的距离，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，故C正确；对于D：圆圆心，半径为，圆
6、圆心，半径为，若两圆相离，因为，所以或，所以或，故D错误.故选：BC10. 已知等比数列的前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）A. 数列的通项公式为B. C. 的取值范围是D. 数列的通项公式【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可判断AB选项的正误；求出数列的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调性可判断CD选项的正误.【详解】设等比数列的公比为，则，可得，因为，即，解得，A错；，B对；，D对；，所以，数列为单调递增数列，则，故，C对.故选：BCD.11. 已知是椭圆上的一动点，离心率为
7、，椭圆与轴的交点分别为、，左、右焦点分别为、.下列关于椭圆的四个结论中正确的是（ ）A. 若、的斜率存在且分别为、，则为一定值B. 若椭圆上存在点使，则C. 若的面积最大时，则D. 根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第次到达时，光线通过的总路程为【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆的几何性质，作出图像对选项进行分析，由此确定正确选项A：设P点坐标，结合P点在椭圆上和斜率计算公式即可计算；B：由椭圆性质知，当M为上下顶点时，最大，保证最大这个角大于或等于90，则在椭圆上存在点M满足题意；C：当P为上顶点或下顶点时，面积最大，结合几何关系即可
8、求此时离心率；D：根据椭圆的定义即可求出光线走过的路程.【详解】依题意，A，设，则，为定值，A正确l B，若椭圆上存在点使，设为上顶点，如图：则，B错误C，若的面积最大时，P位于椭圆上顶点或下顶点，C正确D，结合椭圆的定义可知，光线第次到达时，光线通过的总路程为，D错误故选：AC.12. 已知，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）A. 在上单调递增B. 在上两个零点C. 当 时，恒成立，则D. 若函数只有一个极值点，则实数【答案】ACD【解析】【分析】求出导函数，由确定增区间，判断A，然后可得，再利用导数确定的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B，构造函数，由在上递减，求得范围，判
9、断C，利用导数研究的单调性与极值点，得的范围，判断D【详解】，令，得，故A正确，令得，得，故在上为减函数，在上为增函数当时，；当时，且的大致图象为只有一个零点，故B错记，则在上为减函数，对恒成立对恒成立故C正确，设，只有一个极值点， 只有一个解，即直线与的图象只有一个交点，在上为增函数，令，得，当时，；当时，在上为减函数，在上为增函数，时，即，且时，又时，因此的大致图象如下（不含原点）：直线与它只有一个交点，则故D正确故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数注意数形结合思想
10、的应用三、填空题13. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原点，焦点均在x轴上，C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为_【答案】【解析】【分析】设C的标准方程为，由已知建立方程组，求解可得答案.【详解】解：设C的标准方程为，则解得所以C的标准方程为故答案为：.14. 已知数列的前项和为，则数列的前项和_【答案】【解析】【分析】由已知得，当时，两式相减，得，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，继而求得数列的通项公式，运用错位相减法可求得数列的和【详解】当时，解得又由已知可得，当时，两式相减，得，又因为，所以数列是首项
11、为2，公比为2的等比数列，所以，所以，所以，两式相减得，解得故答案为：15. 已知函数，其中，若函数在处取得极大值，则_.【答案】1【解析】【分析】由题设得显然有不合题设，知：，根据极大值有求，再将所求代入原函数验证处是否取得极大值.【详解】由题设，当时，则递增，无极大值，与题设矛盾，此时，要使在处取得极大值，可得或.当时，则当得或，即上递增；当得，即上递减；为极大值点，符合题设.当时，则当得或，即上递增；当得，即上递减；为极小值点，不合题设.综上，.故答案为：116. 如图，一列圆逐个外切，且所有的圆均与直线相切，若，则_，_【答案】 . . 【解析】【分析】利用直线与圆相切可求得正数的值，
12、利用圆与圆外切得到，利用直线与圆相切可得出，可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式.【详解】由题意可知，圆与直线相切，则，可得，因为圆与圆外切，则，另一方面，由于圆与直线相切，则，可得，又因为，则，整理可得，所以，数列是以为首项，以为公比等比数列，因此，故.故答案为：；.四、解答题17. 已知数列an的前n项和Sn=n2+2n(nN*).（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足bn=ansin(an)，求bn的前2n项和T2n【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求时，再利用,再验证是否符合，即可.(2)对n分奇偶讨论，得
13、到的通项公式，再利用并项求和，即可求解.【详解】时，得当时成立，即，当时,当时,故18. 已知圆：，直线：.（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解；（2）由（1）知圆心到直线的距离，由求出的值，再解方程即可求解.【小问1详解】由圆：，可得，其圆心为，半径，若直线与圆相切，则圆心到直线：距离，即，可得：【小问2详解】由（1）知圆心到直线的距离，因为，即，解得：，所以，整理可得：，解得：或，则直线的方程为或.19. 已知点在抛物线上，且点的纵
14、坐标为1，点到抛物线焦点的距离为2（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴的交点为，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由抛物线定义，点到抛物线焦点的距离为2，故，可得解（2）可转化为，代入坐标可得，即，可得解【详解】（1）设，由抛物线定义，点到抛物线焦点的距离为2故 故抛物线的方程为：；（2）抛物线的焦点为，准线方程为，；设，直线的方程为，代入抛物线方程可得，由，可得，又，即，把代入得，则.【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题20. 已知函数，；()若函数在1,2上是减函数，求实数的
15、取值范围；()令，是否存在实数，当(是自然对数的底数)时，函数的最小值是若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（）；（）【解析】【详解】试题分析：(1)在1,2上恒成立 令h(x)2x2ax1，x1,2，h(x)0在1,2上恒成立 得，.(2)假设存在实数a，使g(x)f(x)x2，x(0，e有最小值3g(x)axlnx，x(0，e，g(x)a当a0时，g(x)0，g(x)在(0，e上单调递减g(x)ming(e)ae13，a(舍去) 当0时，在(0，)上，g(x)0g(x)在(0，上单调递减，在(，e上单调递增g(x)min1lna3，ae2满足条件 当e即0a时，g(x)(舍去) 综
16、上所述，存在ae2使得当x(0，e时，g(x)有最小值3. 考点：函数导数判定单调性求最值点评：第一小题已知函数在某一区间上是减函数得到结论，学生解题时容易忽略等号写成，第二问要分情况讨论极值点与区间(0，e的关系从而确定在区间(0，e上的单调性求出函数最值21. 已知椭圆的左右焦点分别为，且椭圆C上的点M满足，（1）求椭圆C的标准方程；（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，结合可得解；（2）设，直线，将直线与椭圆联立，用坐标表示，代入韦达定理可解得，借助韦达定理表示，用均值不等式即得解.【详解】（1）依
17、题意得：，由椭圆定义知，又，则，在中，由余弦定理得：即，解得又故所求椭圆方程为（2）设，直线联立方程组，得，得，由题意知，由，代入化简得，故直线过定点，由，解得，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为22. 已知函数（1）若函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求；（2）当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的示数的最大整数值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求，利用导数的几何意义求得在点处切线方程，由在轴上的截距为列方程即可得的值；（2）由所给的不等式分离可得，令，利用导数判断的单调性和最小值，由即可求解.小问1详解】函数的定义域为，则在点处切线的斜率为，又，所以函数的图象在点处的切线方程为：，即，所以，因为其在轴上的截距为，所以，解得【小问2详解】即，又，所以，可得对于恒成立，当时，令，则再令，则，所以在上单调递增；又，所以使，即，使，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，又因为，所以实数的最大整数值是【点睛】方法点睛： 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
