1、石嘴山市三中2020届高三年级第四次高考适应性考试数学（文）能力测试一、选择题：（本大题共12小题）1.已知复数，则的虚部是（ ）A. B. C. -4D. 4【答案】A【解析】【分析】利用复数运算法则及虚部定义求解即可【详解】由，得，所以虚部为.故选A【点睛】本题考查复数的四则运算，复数的虚部，考查运算求解能力.2.设集合，则等于A. B. RC. D. 【答案】D【解析】【分析】求定义域得集合A，求值域得集合B，根据并集的定义写出详解】集合，则故选D【点睛】本题考查了并集的运算问题，涉及函数的定义域和值域的求解问题，是基础题3.某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，
2、001，002，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A 008号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C【解析】【分析】根据已知条件可知，1000人抽取100人，那么分成100组，每组10人，那么组距就是10，根据条件可知编号的末尾都是6，即可得到答案.【详解】解析：由题意得抽样间隔为，因为号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为号，之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，选.点睛】本题考查了系统抽样，属于简单题型.4.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将
3、所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，A、B两班学生成绩的方差分别为，则观察茎叶图可知A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图中数据的分布可得，班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，从而可得结果.【详解】班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，故；相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故，故选B.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意 平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差
4、描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了 随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.5.如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过年可增长到原来的倍，则函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得关于的表达式，由此判断出正确的图像.【详解】依题意可知，故当时，排除B、C选项，由于函数为指数函数，图像为曲线，所以A选项错误，D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查指数函数模型在实际生活中的运用，考查函数图像的识
5、别，属于基础题.6.已知椭圆分别过点和，则该椭圆的焦距为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得a24，b21，利用隐含条件求得c，则2c即为所求【详解】由题意可得，所以a24，b21，所以，从而.故选B【点睛】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础题7.若，则的值为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式和差角公式可得,求解即可【详解】由题,所以,故选：C【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查差角公式的应用,考查运算能力8.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A. 3m0B. 3m2C. 3m4D. 1
6、m3【答案】A【解析】由题意知，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.9.过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的左焦点，设出直线l的方程为，可得与轴的交点坐标，得到结合计算即可【详解】由题意设直线的方程为，令，得，因为，所以，所以.故选A【点睛】本题考查双曲线的离心率的问题，考查了基本量的关系，属于基础题10.已知奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.【考点】 指数
7、、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则（ ）A. B. C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】分别过作准线的垂线,垂足分别为,过作,垂足为,交轴于,设,根据抛物线的定义以及两个直角三角形相似可以求出,由此可求出结果.【详解】如图:分别过作准线的垂线,垂足分别为,过作,垂足为,交轴于,设,则,由抛物线的定义知:,所以,因为,
8、所以,所以,所以,所以.故选:A【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.12.已知函数，若且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，计算出直线的倾斜角为，可得出，于是当直线与曲线相切时，取最大值，从而取到最大值.【详解】如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，当时，令，得，切点坐标为，此时，故选B.【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的
9、关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.二、填空题：本大题共4小题13.已知非零向量满足，则向量的夹角_【答案】【解析】【分析】根据两边平方化简得到答案.【详解】化简得到，故向量夹角为 故答案为【点睛】本题考查了向量的夹角计算，属于基础题型.14.已知正项等比数列中，若，则_【答案】【解析】【分析】根据等比数列通项公式可得,则,由可得,进而求得【详解】由,得,所以,又因为,即,所以或,因为正项等比数列,则,所以故答案为：【点睛】本题考查求等比数列通项公式,考查运算能力15.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”
10、.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足“幂势既同”.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为_【答案】【解析】【分析】根据侧面展开图先计算圆锥的体积，再根据祖暅原理得到三棱锥的体积.【详解】圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆则圆锥的底面半径满足： ，高，根据祖暅原理三棱锥的体积为故答案为【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，新知识的引入，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.16.下列共用四个命题.（1）命题“，”的否定是“，”；（2）在回归分析中，相关指数为的模型比为的模型拟合效果好；（3），则是的充分不
11、必要条件；（4）已知幂函数为偶函数，则.其中正确的序号为_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】依据含一个量词的命题的否定可知：命题“，”的否定是“，”，故命题（1）不正确；由回归分析的知识可知：相关指数越大，其模型的拟合效果越好，则命题（2）是正确的；取，尽管，但，故命题（3）不正确；由幂函数的定义可得，则（舍去），故，则命题（4）是正确的，应填答案 点睛：本题是一道选择填空题，求解时充分借助题设中提供的四个命题的条件和结论，综合运用所学知识从而对问题做出正确的推理和判断，从而选出正确的命题，排除错误的命题，进而使得问题获解三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.在中，角，的对边分别
12、是，且.（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知可求，由余弦定理可得cosA，结合B，可得所求（2）利用的面积可求b=c=，利用余弦定理可得a=b，从而求得周长【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，整理得，解得.又，所以，即， .（2）由（1）知，解得.由余弦定理，得，即.的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表
13、和频率分布直方图.分组频数频率10,15)100.2515,20)24n20,25)mp25,3020.05合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数【答案】见解析【解析】(1)由分组10,15)内的频数是10，频率是0.25，知0.25，所以M40.因为频数之和为40，所以1024m240，解得m4，p0.10.因为a是对应分组15,20)的频率与组距的商，所以a0.12.(2)因为该校高三学生有240人，在10,15)内的频率是0.25，
14、所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是17.5.因为n0.6，所以样本中位数是1517.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1.样本平均人数是12.50.2517.50.622.50.127.50.0517.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.考点：中位数、众数、平均数.19.如图，在矩形中，点是边上的一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且有.（1）证明：.（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，推导出，由此能证明，可得，结合证得.（2
15、）由（1）结合垂直关系可计算四棱锥的高及底面的面积，能求出的体积【详解】（1）取中点，连接，由已知得，又点是的中点，.因为，点是线段的中点，.又因为，从而平面，又，不平行，平面.（2）由（1）知，底面的面积为，四棱锥的体积.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查了空间思维能力，是中档题20.已知数列满足，其中(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和为【答案】（）; （）=. 【解析】试题分析：（）由,，,作差代入,再利用等差数列的通项公式即可得出,进而得出.（）,可得.利用“裂项求和”可得:数列的前项和为=试题解析：（）证明：=，数列是
16、公差为2的等差数列，又，故，解得 （）解：由（）可得，数列的前项和为=. 点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据=得到是公差为2的等差数列;第二问中的通项由可得 ， 利用“裂项求和”可得:数列的前项和为=.21.已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.（）求椭圆的方程；（）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.【答案】() ；()证明见解析.【解析】试题分析：()由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有.则椭圆的方程为.()对直线的斜率分类讨论：当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设，联立直线方程与椭圆方程有，由弦
17、长公式可得.联立直线与椭圆方程，结合弦长公式有.计算可得.据此可得：为定值.试题解析：（）依题意，原点到直线的距离为，则有.由，得.椭圆的方程为.（）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，则.（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，依题意，则直线的方程为，直线的方程为.设，由得，则，.由整理得，则.综合（1）（2），为定值.22.设，函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上有唯一零点，试求a的值【答案】（1）的单调减区间是，单调增区间是；（2）.【解析】【分析】（1）将代入中可得（）,令,解得,进而求得单调区间；（2）令,解得（舍）,可得函数在上单调递减,在上单调递增,则,由于函数在区间上有唯一零点,则,整理即为,设,可得在是单调递增的,则,进而求得【详解】（1）函数,当时,（）,令,即,解得或（舍）,时,；时,的单调减区间是,单调增区间是（2）,则,令,得,方程的解为（舍）,；函数在上单调递减,在上单调递增，,若函数在区间上有唯一零点,则,而满足,即,设,在是单调递增的,至多只有一个零点,而,用代入,得,解得【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,考查函数零点及不等式的应用问题
