1、2导数的概念及其几何意义第1课时导数的概念Q 中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？X 1导数的定义yf(x)在x0点附近有定义，对自变量的任一改变量x，函数改变量为yf(x0x)f(x0)，若极限 存在，称该极限值为f(x)在x0点的导数，记作f(x0)2求函数yf(x)在xx0处的导数求函数yf(x)在x0处的导数的步骤：求函数的增量yf(x0x)f(x0)；求平均变化率；取极限，得导数f(x0)Y
2、 1函数在某一点的导数是(C)A在该点的函数的增量与自变量的增量的比B一个函数C一个常数，不是变数D函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率解析由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数2设f(x)2ax4，若f (1)2，则a等于(C)A2B2 C1D1 解析f (1) 2a2a2.a1.3设函数f(x)可导，则 等于(C)Af (1) B3f (1)Cf (1) Df (3)解析原式 f (1)4由导数的定义可求得，函数f(x)x22x在x1处的导数 f (1)0_.解析f (1) x0.H 命题方向1求函数f(x)在点x0处的导数典例1利用导数的定义，求函数yf(x
3、)2在点x1处的导数思路分析本题考查函数的导数，解决本题的关键是利用导数的定义求出原函数的导数，再把x1代入导函数解析y2(2)，y .f(1)2.规律总结(1)用定义求导数必须严格按照三个步骤进行(2)求函数在某一点的导数方法有两种，一种是直接求出函数在该点的导数，另一种是求出导函数，再求出导函数在该点的函数值，此方法是常用方法,跟踪练习1求函数f(x)在x1处的导数解析yf(1x)f(1)1，.当x无限趋近于0时，1x无限趋近于1，无限趋近于，f(1).X 导数的应用 求物体的初速度，即求物体在t0时刻的速度，很容易误认为v00，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动典
4、例2子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动sat2，如果它的加速度是a5105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t1.6103s，求子弹射出枪口时的瞬时速度解析运动方程为sat2.因为sa(tt)2at2atta(t)2，所以atat.所以 at.由题意知，a5105m/s2，t1.6103s，所以at8102800(m/s)，即子弹射出枪口的瞬时速度为800m/s.规律总结利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特别是对有关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，它在现实生活中的作用是比较广泛的跟踪练习2若一物体运动方程如下：(位移s：m，时
5、间t：s)sf(t)求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度解析(1)物体在t3,5内的时间变化量为t532，位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3,5内的平均速度为24(m/s)(2)求物体的初速度v0，即求物体在t0时的瞬时速度物体在t0附近位移的平均变化率为3t18，物体在t0处位移的瞬时变化率为 (3t18)18，即物体的初速度v018m/s.(3)物体在t1时的瞬时速度即为物体在t1处位移的瞬时变化率物体在t1附近位移的平均变化率为3t12，物体在t1处位移的瞬时变化率为 (3t12)12，即物体在t1时的瞬
6、时速度为12m/s.Y 不能准确理解导数的概念致误 典例3若f (x0)2，则 等于(A)A1 B2 C1D错解选C.f (x0)2， 2， 21.辨析错解没有弄明白自变量的增量与函数的增量的含义及对应关系当函数增量yf(x0)f(x0k)时，自变量的增量xx0(x0k)k，而不是k.正解A f (x0)21，故应选A.点评依据导数的定义f (x0) ，x应为自变量的增量因此从x0到x0k的增量应为k，从x0到x03x的增量应为3x.跟踪练习3若函数f(x)在xa处的导数为A，则：(1) 2A；(2) A；(3) 2A.解析(1) A， A AA2A.(2) 4 5 4A5AA.(3) 2 2
7、A.K 1设函数f(x)在xx0处可导，则当h0时，以下有关的值的说法中正确的是(B)A与x0，h都有关B仅与x0有关而与h无关C仅与h有关而与x0无关D与x0、h均无关解析导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在x0及其附近的函数值有关，与h无关2(2019洛阳高二检测)一质点运动的方程为s53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是(D)A3B3C6D6解析令t0，该质点在t1时的瞬时速度为6，故选D.3设函数f(x)在x0处可导，则(B)Af(x0) Bf(x0)Cf(x0) Df(x0)解析 f(x0)故选B.4(2019石家庄高二检测)一辆汽车按规律s3t21做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t3s时的瞬时速度解析设这辆汽车在3s到(3t)s这段时间内的位移的增量为s，则s3(3t)21283(t)218t，所以3t18，所以 (3t18)18.故这辆汽车在t3s时的瞬时速度为18m/s.
