1、第三章空间向量与立体几何 2 空间向量与向量运算2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算 课后篇巩固提升合格考达标练1.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,M 为 A1C1与 B1D1的交点.若 =a,=b,=c,则下列向量中与 相等的向量是()A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c答案 A解析由题意,)=-=-a+b+c.故选 A.2.已知三棱锥 A-BCD 中,E 是 BC 的中点,则 )=()A.B.C.D.答案 D解析如图,取 CD 的中点 F,连接 AF,EF,三棱锥 A-BCD 中,E 是 BC 的中点,)=.故选 D.3.已知 e1
2、,e2为单位向量,且 e1e2,若 a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数 k 的值为()A.-6B.6C.3D.-3答案 B解析由题意可得 ab=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=1,(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,2k-12=0,k=6.4.设平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知(-2 )()=0,则ABC 是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案 B解析因为 -2 =()+()=,所以(-2 )()=()()=0,所以|=|,因此ABC 是等腰三角形.5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,则 =.答案 a2
3、解析 =|cos=a acos 60=a2.6.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+b,=135,mn,则=.答案-解析由 mn 得 mn=0.mn=(a+b)(a+b)=a2+(+1)ab+b2=18+(+1)12 (-)+16=6+4=0,=-.7.如图,已知 M,N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心,G 为 AM 上一点,且 GMGA=13,设 =a,=b,=c,试用 a,b,c 表示 .解 =)=a=)-a=(b-a+c-a)-a=-a+b+c;)-=b+c-a.8.在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45,
4、OAB=60,求 OA 与 BC 所成角的余弦值.解因为 ,所以 =|cos-|cos=84cos 135-86cos 120=-16+24,所以 cos=-,即 OA 与 BC 所成角的余弦值为-.等级考提升练9.已知空间四边形 ABCD,连接 AC,BD,M,N 分别是 BC,CD 的中点,如图所示,则 )等于()A.B.C.D.答案 A解析 )=,故选 A.10.设有四边形 ABCD,O 为空间任意一点,且 ,则四边形 ABCD 是()A.平行四边形B.空间四边形C.等腰梯形D.矩形答案 A解析由 ,得 ,故四边形 ABCD 为平行四边形,故选 A.11.已知向量 a,b,c 两两之间的
5、夹角都为 60,其模都为 1,则|a-b+2c|等于()A.B.5C.6D.答案 A解析|a-b+2c|2=a2+b2+4c2-2ab+4ac-4bc=5.|a-b+2c|=.12.已知向量 a,b 满足条件:|a|=2,|b|=,且 a 与 2b-a 互相垂直,则=()A.30B.45C.60D.90答案 B解析 a(2b-a)=2ab-a2=2|a|b|cos-|a|2=4 cos-4=0.cos=,又0,180,=45.13.(多选题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题,其中正确的有()A.()2=3 B.()=0C.与 的夹角为 60D.正方体的体积为|答案 AB解析如
6、图所示,()2=()2=3 ;()=0;与 的夹角是 与 夹角的补角,而 与 的夹角为 60,故 与 的夹角为 120;正方体的体积为|.故 A,B 正确.14.已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任意一点 O,有 =x ,则 x 的值为 .答案 解析点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任意一点 O,有 =x ,x+=1,解得 x=.15.设向量 a 与 b 互相垂直,向量 c 与它们的夹角都是 60,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,那么(a+3c)(3b-2a)=.答案-62解析(a+3c)(3b-2a)=3ab-2|a|2+9bc-6ac=-225+938 -658 =-62
7、.16.如图,在正四面体 ABCD 中,棱长为 a,M,N 分别是棱 AB,CD 上的点,且 MB=2AM,CN=ND,求 MN.解 +()+)=-,(-)-=a2-a2cos 60-a2cos 60+a2cos 60=a2,故|=a,即 MN=a.新情境创新练17.如图,在直三棱柱 ABC-ABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E 分别为 AB,BB的中点.(1)求证:CEAD;(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值.(1)证明设 =a,=b,=c,根据题意得|a|=|b|=|c|,且 ab=bc=ca=0.=b+c,=-c+b-a.()(-)=-c2+b2=0,即 CEAD.(2)解 =-a+c,|=|a|,|=|a|.=(-a+c)()c2=|a|2,cos=.异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 .
