1、相似和全等中的动点问题1.如图，等边三角形的边长为6，点，分别在，边上，连结，相交于点(1)求证:，并求的度数；(2)若，求的值；(3)当点从点运动到点时，求点经过的路径长解析:(1)是等边三角形，又，(2)，又， ，(3)，点的运动路径是一段圆弧，该圆弧所对的圆心角为设圆心为，连接、，作于则，当点E从点A运动到点C时，点P经过的路径长为:2.已知矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处(1)如图1，已知折痕与边交于点，连结、求证:；若与的面积比为，求边的长；(2)若图1中的点恰好是边的中点，求的度数；(3)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕、线段，连结动点在线段上(点与点、不重合)，动
2、点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点试问当点、在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度解析:(1)四边形是矩形，是由沿折叠，与的面积比为，设即，则在中，即边的长为(2)折叠后与重合，是的中点，又，(3)线段的长度不变作交于点，由(1)得:，3.如图1，为正方形的边上任意一点，于，为上一点，连接、(1)求证:；(2)如图2，的平分线交延长线于点，连接，则:；(3)若正方形的边长为2当点移动时，点到的最大距离为_；当点为的三等分点时，求的长解析:(1)，(2)连接交于，作于，即，又，又，又，即(3) 提示:取的中点，连接， 当点移动时，点的路径是以为圆心
3、，以 为半径的一段圆弧易知当点是的中点时，点到的距离最大最大距离为 作于，于，若 ，则 易证， ， ，由得:即 ， 易证，即 ，若 ，同理可求 当点为的三等分点时，的长为 或 4.在正方形中，动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在直线，上移动(1)如图，当点自向，点自向移动时，连接和交于点，请你写出和的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图，当，分别移动到边，的延长线上时，连接和，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“成立”或“不成立”，不须证明)(3)如图，当，分别在边，的延长线上移动时，连接和，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图，当，分别在边，上移动时，连接和交于点由
4、于点，的移动，使得点也随之运动，请你画出点运动路径的草图若，试求出线段的最小值解析:(1)，理由:四边形是正方形，(2)成立(3)成立理由: 四边形是正方形，延长交于点，则(4)草图如图由于点在运动中保持点的路径是一段以为直径的弧设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小在中，5.如图1，矩形中，把矩形沿直线折叠，使点落在点处，交于点，连接(1)求证:；(2)求的值；(3)如图2，若为线段上一动点，过点作的内接矩形，使其定点落在线段上，定点、落在线段上，当线段的长为何值时，矩形的面积最大？并求出其最大值解析:(1)证明:由矩形的性质可知，在与中；(2)解:如图1，设，则，在中，即，解得；，即(3
5、)解:如图2，由矩形的性质得又，设，则，即过作于，则， 又在中，解得，即设矩形的面积为则所以当，即时，矩形的面积最大，最大面积为36.如图，在梯形中，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿边向点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位的速度沿边向点运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为秒(1)当为何值时，四边形是平行四边形；(2)是否能平分对角线？若能，求出相应的的值；若不能，请说明理由；(3)若是等腰三角形，求的值解析：(1)若四边形是平行四边形，则，(2)能，当时，平分对角线 假设平分对角线，设与的交点为，则，又，即当时，平分对角线 (3)过作于梯形中，若:过作于，又，四边形为矩形，即
6、，符合题意若:过作于，则，在中，整理得:方程无解 若过作于，则，假设点在点的右侧，则此时，点在点的左侧，在中，整理得:解得:(舍去)或，符合题意综上所述，若是等腰三角形，则或 7.如图，矩形中，厘米，厘米动点，同时从点出发，分别沿，运动，速度是1厘米/秒过作直线垂直于，分别交，于，当点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为秒(1)若厘米，秒，则_厘米；(2)若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析： (
7、1) 当时，即(2)当、三点在同一直线上时，有，即解得(舍去)， ，使，相似比为 (3)，即， 当梯形与梯形的面积相等时，有即解得 ，又由已知 (4)时，梯形与梯形的面积相等梯形的面积与梯形的面积相等即可，则，把代入，整理得(舍去)或 所以，存在这样的矩形，当时，在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等 8.如图，在直角梯形中，动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动设运动的时间为(秒)(1)设的面积为，求与之间的函数关系式；(2)当为何值时，以，三点为顶点的
8、三角形是等腰三角形？(3)当线段与线段相交于点，且时，求的正切值；(4)存在时刻，使得，求出的值； 解析:(1)如图1，过点作，垂足为，则四边形为矩形，(2)，以、三点为顶点的三角形是等腰三角形，有三种情况:若在中，由得:解得 若在中，由得:整理得:方程无解，若由得:整理得:解得，(不合题意，舍去)综上所述:当秒或秒时，以、三点为顶点的三角形是等腰三角形(3)如图2，由，得， 过点作，垂足为，(4)假设存在时刻，使得如图3，过点作，垂足为，又，即， 所以，当秒时， 9.题干:如图，已知在中，于点，点，分别在和上，于点(1)求证:；(2)若平分，其余条件不变，求证:；(3)若点是一个动点，当点运
9、动到的中点时，满足题中条件的点也随之在直线上运动到点，请直接写出与的数量关系解析:(1)证明:，于点，又，(2)由(1)可得平分，又，(3)与的数量关系是 解析过程如下:过点作于点设，则， 10.如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒(1)求的长(2)当时，求的值(3)试探究:为何值时，为等腰三角形解析：如图1，过、分别作于，于，则四边形为矩形在中，在中，由勾股定理得，(2)如图2，过点作交于于点， 则四边形是平行四边形，即，解得(3)有三种情况:当时，如图3，即当时，如图4，过、分别作于，于由等腰三角形三线合一性质得解法一:在中，在中，解得解法二:，即，解得当时，如图5，过点作于，则解法一:(方法同中解法一)，解得解法二:，即，解得综上所述，当、或时，为等腰三角形
