1、2015-2016学年甘肃省嘉峪关一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下面说法正确的是（）A棱锥的侧面不一定是三角形B棱柱的各侧棱长不一定相等C棱台的各侧棱延长必交于一点D用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台2如果直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行，则a=（）A3BC6D3如图，OAB是水平放置的OAB的直观图，则OAB的面积是（）A6B3C12D64已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A30B60C30+1
2、35D1355如果AB0，且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A36cm3B48cm3C60cm3D72cm37已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（2，3），则点P（x，y）到原点的距离是（）A4BCD8已知a，b，l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列命题：若=a，=b，且ab，则；若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b，则；若，=a，b在内，ab，则b；若a在内，b在内，la，lb，则l其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个9设直线l平面，过平面外一点A与
3、l，都成30角的直线有且只有（）A1条B2条C3条D4条10如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）ABCD11如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A点H是A1BD的垂心BAH垂直平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为4512已知l为60，内一点P在内的射影为P，若|PP|=2，则P到的距离是（）A2BC1D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为14若A（
4、3，3），B（a，0），C（0，b）（ab0）三点共线，则=15已知A（2，0），B（2，4），直线l：x2y+8=0上有一动点P，则|PA|+|PB|的最小值为16已知点A（2，3），B（3，0），点P（x，y）是线段AB上的任意一点，则的取值范围是三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17已知直线l：kxy+1+2k=0（kR），l1：2x+3y+8=0，l2：xy1=0（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l，l1，l2相交于一点，求k的值18设直线l1：axby+4=0，l2：（a1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值（1）l1l2，且l1过点M
5、（3，1）；（2）l1l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数19如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面CDB1；（3）求直线DB1与平面BCC1B1所成角的正切值20如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若G为BC上的动点，求证：AEPG21ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y4=0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y3=0（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求B
6、DE的面积22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，PAB=60（1）证明AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角PBDA的正切值2015-2016学年甘肃省嘉峪关一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下面说法正确的是（）A棱锥的侧面不一定是三角形B棱柱的各侧棱长不一定相等C棱台的各侧棱延长必交于一点D用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台【考点】棱柱的结构特征【分析】棱锥的侧面
7、都是三角形；棱柱的各侧棱长全相等；棱台的各侧棱延长必交于一点；用一个平行于底面的平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台【解答】解：在A中，棱锥的侧面都是三角形，故A错误；在B中，棱柱的各侧棱长全相等，故B错误；在C中，棱锥被平行于底面的平面所截形成棱台棱台的侧棱延长交于原棱锥的顶点，故棱台的各侧棱延长必交于一点，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台，故D错误故选：C2如果直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行，则a=（）A3BC6D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由于直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0
8、平行，故它们的斜率相等，故有=3，由此解得a的值【解答】解：由于直线ax+2y+2=0与直线3xy2=0平行，故它们的斜率相等，故有=3，解得 a=6，故选C3如图，OAB是水平放置的OAB的直观图，则OAB的面积是（）A6B3C12D6【考点】斜二测法画直观图【分析】画出OAB的直观图，根据数据求出直观图的面积【解答】解：OAB是水平放置的OAB的直观图，所以：SOAB=12故选C4已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A30B60C30+135D135【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】由菱形的对角线的长分别是9和15，
9、先求出菱形的边长，再由底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，能求出这个棱柱的侧面积【解答】解：菱形的对角线的长分别是9和15，菱形的边长为： =，底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，这个棱柱的侧面积S=45=30故选：A5如果AB0，且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素【分析】先把Ax+By+C=0化为y=x，再由AB0，BC0得到0，0，数形结合即可获取答案【解答】解：直线Ax+By+C=0可化为y=x，又AB0，BC0AB0，0，0，直线过一、二、三象限，不过第四象限故选：D6某几何体的三视图（单位：c
10、m）如图所示，则此几何体的体积是（）A36cm3B48cm3C60cm3D72cm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可以看出，此几何体上部是一个长为4宽为2高为2的长方体，下部是一个倒着放的四棱柱，其高为4，底面是一个梯形，其上下底分别为2，4，高为2，由此体积易求【解答】解：由图知，此几何体上部是一个长为4宽为2的长方体，其体积为：422=16；下部是一个倒着放的四棱柱，其高为4，底面是一个梯形，其上下底分别为2，6，高为2，故下部的体积是42=32；故此几何体的体积是16+32=48故选B7已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（2，3），则点P（x，y）到原点的距离是（）
11、A4BCD【考点】中点坐标公式【分析】由A（x，5）关于点（1，y）的对称点（2，3），根据中点坐标公式列出方程即可求出x与y的值，得到点P的坐标，然后利用两点间的距离公式求出P到原点的距离即可【解答】解：根据中点坐标公式得到，解得，所以P的坐标为（4，1）则点P（x，y）到原点的距离d=故选D8已知a，b，l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列命题：若=a，=b，且ab，则；若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b，则；若，=a，b在内，ab，则b；若a在内，b在内，la，lb，则l其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用面面平行的
12、判定定理进行判断利用面面平行的判定定理判断利用面面垂直和线面垂直的定义判断利用线面垂直判定定理判断【解答】解：如图，若平面ABCD平面ABFE=AB，平面ABFE平面CDEF=EF，ABEF，但平面ABCD与平面CDEF不平行所以错误若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b，则a，b所在的平面满足，所以必有成立，所以正确根据面面垂直的性质定理可知，若，=a，b在内，ab，则b，所以正确根据线面垂直的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线时，结论才成立，所以错误故正确的是，故选C9设直线l平面，过平面外一点A与l，都成30角的直线有且只有（）A1条B2条C3条D4条【考点】空间中直线与平面之间的
13、位置关系【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果【解答】解：如图，和成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当ABC=ACB=30，直线AC，AB都满足条件故选B10如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）ABCD【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离作EFBC1于F，进而可知EF平面ABC1D1，进而根据EF=B1C求得EF【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C
14、1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离作EFBC1于F，易证EF平面ABC1D1，可求得EF=B1C=故选B11如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A点H是A1BD的垂心BAH垂直平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：AC1平面A1BD，AC1平面CB1D1；AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；AC1=AB等（注：对正方体要视为一种基本图形来看待）【解答】解：因为三棱锥AA1BD
15、是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D12已知l为60，内一点P在内的射影为P，若|PP|=2，则P到的距离是（）A2BC1D【考点】点、线、面间的距离计算【分析】作PCl，连接PC，则PCl，PCP=60，作PAPC，垂足为A，则PA，即可求出P到的距离【解答】解：如图，作PCl，连接PC，则PCl，PCP=60，作PAPC
16、，垂足为A，则PA，|PP|=2，P到的距离是2sin30=1故选：C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为【考点】球的体积和表面积【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，然后求出正方体的体积，球的体积，即可得到比值【解答】解：设正方体的棱长为：1，则正方体的体对角线的长为：，所以正方体的外接球的直径为：所以正方体的体积为：1；球的体积为： =球与该正方体的体积之比为： =故答案为：14若A（3，3），B（a，0），C（0，b）（ab0）三点共线，则=【考点】直线的斜率【分析】根据三点共线的
17、特点，利用向量共线即可得到结论【解答】解：点A（3，3）、B（a，0）、C（0，b）（ab0）三点共线，即，（a3）（b3）33=0，即ab=3a+3b，故答案为：15已知A（2，0），B（2，4），直线l：x2y+8=0上有一动点P，则|PA|+|PB|的最小值为12【考点】两点间距离公式的应用【分析】设点A关于直线l的对称点A（a，b），则，可得A，可得|PA|+|PB|的最小值为|AB|【解答】解：设点A关于直线l的对称点A（a，b），则，解得A（2，8），|AB|=12|PA|+|PB|的最小值为|AB|，即为12故答案为：1216已知点A（2，3），B（3，0），点P（x，y）是线段
18、AB上的任意一点，则的取值范围是5，+）【考点】直线的斜率【分析】设Q（1，2），利用斜率计算公式可得：kQA，kQB再利用斜率与倾斜角的关系即可得出【解答】解：设Q（1，2），kQA=5，kQB=点P（x，y）是线段AB上的任意一点，的取值范围是5，+），故答案为：5，+）三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17已知直线l：kxy+1+2k=0（kR），l1：2x+3y+8=0，l2：xy1=0（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l，l1，l2相交于一点，求k的值【考点】恒过定点的直线；两条直线的交点坐标【分析】（1）直线化为点斜式，即可证明直线l过定点；
19、（2）求出l1：2x+3y+8=0，l2：xy1=0的交点，代入直线l：kxy+1+2k=0，求k的值【解答】（1）证明：因为直线l：kxy+1+2k=0（KR），可化为 y1=k（x+2），所以直线l过定点（2，1）；（2）解：由l1：2x+3y+8=0，l2：xy1=0，可得交点（1，2），代入直线l：kxy+1+2k=0，可得k+2+1+2k=0，k=318设直线l1：axby+4=0，l2：（a1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值（1）l1l2，且l1过点M（3，1）；（2）l1l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方
20、程与直线的平行关系【分析】（1）由l1过点M（3，1），可得：3a+b+4=0；利用l1l2，（1a）=1，即可解出（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当b=0时，可知：两条直线不平行b0时两条直线分别化为：y=x+，y=（1a）xb，利用题意可得=1a， =b，解出即可得出【解答】解：（1）l1过点M（3，1），可得：3a+b+4=0；l1l2，（1a）=1，解得a=2，b=2（2）由题意可得：两条直线不可能都经过原点，当b=0时，两条直线分别化为：ax+4=0，（a1）x+y=0，可知：当a=1时两条直线不平行b0时两条直线分别化为：y=x+，y=（1a）xb，=1a， =b，解得
21、，19如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面CDB1；（3）求直线DB1与平面BCC1B1所成角的正切值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出ACBC1；（2）设BC1与CB1的交点为O，求出的坐标，通过证明得出AC1DO得出AC1平面CDB1；（3）过D作DEBC，连结B1E，则DE平面BCC1B1，于是DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角利用勾股定理求出DE
22、，B1E，计算tanDB1E【解答】解：AC=3，BC=4，AB=5，AC2+BC2=AB2，ACBC以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：（1）A（3，0，0），C（0，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），=（3，0，0），=（0，4，4），=0，ACBC1（2）设BC1与CB1的交点为O，则O为BC1的中点，O（0，2，2），D是AB的中点，D（，2，0），=（，0，2），=（3，0，4），=2，AC1DO，又DO平面B1CD，AC1平面B1CD，AC1平面CDB1（3）过D作DEBC，连结B1E，则DE平面BCC1B1，DB1E为直线DB1
23、与平面BCC1B1所成的角D是AB的中点，DE=，BE=，B1E=2tanDB1E=20如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若G为BC上的动点，求证：AEPG【考点】由三视图求面积、体积；直线与平面垂直的性质【分析】（1）结合三视图，得到几何体及其相关棱长，求四棱锥PABCD的底面面积和高，即可求出VPABCD的体积（2）连BP，由已知中=，EBA与BAP均为直角，我们可以得到PBAE，结合BCAE，及线面垂直的判定定理，得到AE面PBG，再由线面垂直的性质定理，即可得到答案【解答】解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABC
24、D是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4，VPABCD=PAS四边形ABCD=444=（2）连接BP，=，EBA=BAP=90，PBA=BEAPBA+BAE=BEA+BAE=90PBAE又BC平面APEB，BCAEAE平面PBGAEPG21ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y4=0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y3=0（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求BDE的面积【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程【分析】（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB
25、的直线方程；（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；（3）由点到直线的距离求出E到AB的距离d，以及B到CD的距离BD，计算SBDE即可或求出BE，D到BE的距离d，计算SBDE【解答】解：（1）CD所在直线的方程为x+2y4=0，直线AB的斜率为2，AB边所在的直线方程为y1=2（x0），即2xy+1=0；（2）由，得，即直线AB与AC边中线BE的交点为B（，2）；设C（m，n），则由已知条件得，解得，C（2，1）；所以BC边所在的直线方程为=，即2x+3y7=0；（3）E是AC的中点，E（1，1），E到AB的距离为：d=；又点B到CD的距离为：BD=，SBDE=dBD=另解：E
26、是AC的中点，E（1，1），BE=，由，得，D（，），D到BE的距离为：d=，SBDE=dBE=22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，PAB=60（1）证明AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角PBDA的正切值【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（）通过就是PA2+AD2=PD2，证明ADPA结合ADAB然后证明AD平面PAB（）说明PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB，判断PBC是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所
27、成的角正切函数值（）过点P做PHAB于H，过点H做HEBD于E，连结PE，证明PEH是二面角PBDA的平面角RTPHE中，【解答】（）证明：在PAD中，由题设，可得PA2+AD2=PD2，于是ADPA在矩形ABCD中，ADAB又PAAB=A，所以AD平面PAB（）解：由题设，BCAD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角在PAB中，由余弦定理得由（）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三角形，故所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：（）解：过点P做PHAB于H，过点H做HEBD于E，连结PE因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以ADPH又ADAB=A，因而PH平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影由三垂线定理可知，BDPE，从而PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得，于是再RTPHE中，所以二面角PBDA的正切函数值为2016年8月2日
