1、2016-2017学年湖北华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1已知集合A=x|x22x=0，B=0，1，2，则AB=（）A0B0，1C0，2D0，1，22已知i是虚数单位，复数z=（aR）在复平面内对应的点位于直线x+2y=0上，则a=（）A2BC2D3已知命题p；x1，命题q：（xa）（xa1）0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A0，B，1C，D4已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值
2、为（）ABCD5已知x，y满足不等式组，则z=x+y的最大值为（）A8B10C12D146已知函数y=2sin（x+）（N*）经过点（2，），则的最小值为（）A1B2C3D47设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=28，则k=（）A8B7C6D58设两正数a，b（ab）满足a2+ab+b2=a+b，则a+b的取值范围是（）A（1，+）B（1，）C1，D（0，1）9一几何体的三视图如图，则它的体积是（）ABCD10在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A若，则A=90BC若sinAsinB，则AB；反之，若AB，则sinAsinBD
3、若sin2A=sin2B，则a=b11若圆（x5）2+（y1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1，则r的取值范围为（）A4，6B（4，6）C5，7D（5，7）12已知f（x）=，存在x2x10，使得f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围为（）A，）B，）C，1）D1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13数列an满足an=，记其前n项和为Sn若Sn=5，则项数n的值为14在平面直角坐标系xOy中，过点M（4，0）的直线l与圆C：（x1）2+y2=5相交于A，B两点，
4、若点A恰好是线段MB的中点，则直线l的方程为15已知向量=（1，t），=（2，1）满足（2），则t=16已知函数f（x）=（2x3）ex+有三个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若ABC的面积为6，求BD的长18已知数列an满足a1=2，n（an+1n1）=（n+1）（an+n）（nN*）（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设bn=15，求数列|bn|的前n项和Tn19如图所示，边长为2的正方形
5、ABCD所在的平面与CDE所在的平面交于CD，且AE平面CDE，AE=1（1）求证；平面ABCD平面ADE；（2）求几何体ABDE的体积20在平面直角坐标系中，已知动点T到点A（4，0），B（1，0）的距离比为2（1）求动点T的轨迹方程；（2）已知点P是直线l：y=x与曲线在第一象限内的交点，过点P引两条直线分别交曲线于Q，R，且直线PQ，PR的倾斜角互补，试判断直线QR的斜率是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由21已知函数f（x）=lnx+（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=2时，且函数f（x）满足f（x1）=f（x2）（x1x2），求证x1+x24（参考公式：l
6、n（mx）=，m为常数）22已知函数f（x）=|x1|2x+3|（I）解不等式f（x）2；（II）若关于x的不等式f（x）a2a的解集为R，求正数a的取值范围2016-2017学年湖北华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1已知集合A=x|x22x=0，B=0，1，2，则AB=（）A0B0，1C0，2D0，1，2【考点】交集及其运算【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集【解答】解：A=x|x22x=0=0，2，B=0，1，2，AB=0，2故选C2已知i是虚数
7、单位，复数z=（aR）在复平面内对应的点位于直线x+2y=0上，则a=（）A2BC2D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数z=+i在复平面内对应的点（，）在位于直线x+2y=0上，+2=0，解得a=2故选：C3已知命题p；x1，命题q：（xa）（xa1）0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A0，B，1C，D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】命题q：（xa）（xa1）0，解得axa+1由于p是q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件即可得出【解答】解：命题q：（xa）（xa1）0，解得axa+1p
8、是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件，且等号不能同时成立解得则实数a的取值范围是故选：A4已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案【解答】解：如图，D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，=故选：B5已知x，y满足不等式组，则z=x+y的最大值为（）A8B10C12D14【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区
9、域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（4，6），代入目标函数z=x+y得z=4+6=10即目标函数z=x+y的最大值为10故选：B6已知函数y=2sin（x+）（N*）经过点（2，），则的最小值为（）A1B2C3D4【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】根据函数y的图象过点（2，），代入解析式，再结合N*，即可求出答案【解答】解：函数y=2sin（x+）图象经过点（2，），2sin（2+）=，即sin（2+）=；又N*，的最小值为1故选：A7设Sn为等差数列an的
10、前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=28，则k=（）A8B7C6D5【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：Sk+2Sk=28=ak+2+ak+1=21+（2k+1）2，解得：k=6故选：C8设两正数a，b（ab）满足a2+ab+b2=a+b，则a+b的取值范围是（）A（1，+）B（1，）C1，D（0，1）【考点】基本不等式【分析】两正数a，b（ab）满足a2+ab+b2=a+b，可得0（a+b）2（a+b）=ab，即可得出【解答】解：两正数a，b（ab）满足a2+ab+b2=a+b，0（a+b）2（a+b）=ab，解得则a+b的取值范围是故选：
11、B9一几何体的三视图如图，则它的体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，这些都比较好看出，再根据圆锥的体积公式，得到结果，下面是一个特正方体，棱长是a，做出体积把两个体积相加得到结果【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，圆锥的体积是=，下面是一个棱长是a的正方体，正方体的体积是a3，空间几何体的体积是，故选A10在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A若，则A=90BC若sinAsinB，则AB；反之，若AB，则sinAsi
12、nBD若sin2A=sin2B，则a=b【考点】正弦定理【分析】A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论C、在ABC中，设外接圆的半径为R，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（AB）=0，推断出A+B=或A=B，则根据三角形形状可判断出【解答】解：A，由正弦定理sinB=cosB，sinC=cosC，又B，C为ABC的内角，B=C=45，故A=90，A正确；B，由正弦定理可得=2R，=2R=，故B正确；C，在ABC中，设外接圆的半径
13、为R，若sinAsinB，则2RsinA2RsinB，由正弦定理可得ab，即AB；若AB，即有ab，即2RsinA2RsinB，即ab则在ABC中，sinAsinBAB，故C正确；D，sin2A=sin2Bsin2Asin2B=cos（A+B）sin（AB）=0cos（A+B）=0或sin（AB）=0A+B=或A=B三角形为直角三角形或等腰三角形故D错误故选：D11若圆（x5）2+（y1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1，则r的取值范围为（）A4，6B（4，6）C5，7D（5，7）【考点】直线与圆相交的性质【分析】先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考
14、虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于1，以及圆上只有一个点到直线的距离等于1的条件，可得要求的r的范围【解答】解：圆（x5）2+（y1）2=r2（r0）的圆心到直线4x+3y+2=0的距离为：d=5，当r=4时，圆上只有一个点到直线的距离等于1，当r=6时，圆上有三个点到直线的距离等于1，圆（x5）2+（y1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1时，圆的半径r的取值范围是：4r6，故选：B12已知f（x）=，存在x2x10，使得f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围为（）A，）B，）C，1）D1，）【考点】分段函数的应用【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，
15、根据题意数形结合求得x1f（x2）的取值范围【解答】解：当0x1时，f（x），当x1时，f（x）1，如图所示，若存在x2x10使得f（x1）=f（x2）=k，则x11x2log23，则1f（x2），1x1f（x2）1，即x1f（x2），故x1f（x2）的取值范围为，），故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13数列an满足an=，记其前n项和为Sn若Sn=5，则项数n的值为35【考点】数列的求和；数列的函数特性【分析】化简数列的表达式，列出关系式求解即可【解答】解：数列an满足an=前n项和为Sn=
16、（）+（）+（）=，Sn=5，可得=5，解得n=35故答案为：3514在平面直角坐标系xOy中，过点M（4，0）的直线l与圆C：（x1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段MB的中点，则直线l的方程为y=（x+4）【考点】直线与圆相交的性质【分析】利用割线定理求出AB，再利用点到直线的距离公式建立方程，即可得出结论【解答】解：由割线定理可得，MAMB=（5）（5+），点A恰好是线段MB的中点，2AB2=20，AB=，圆心到直线的距离为=，设直线方程为y=k（x+4），即kxy+4k=0，=，k=，直线l的方程为y=（x+4）故答案为y=（x+4）15已知向量=（1，t），=（2，1）
17、满足（2），则t=【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】根据两向量垂直，它们的数量积为0，列出方程求出t的值【解答】解：向量=（1，t），=（2，1），且（2），（2）=2=0，2（2+t）5=0，解得t=故答案为：16已知函数f（x）=（2x3）ex+有三个零点，则实数a的取值范围是9a0【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由f（x）=（2x3）ex+=0，可得a=x（32x）ex，令y=x（32x）ex，则y=（x1）（2x+3）ex，取得函数的单调性，求出函数的极值，即可得出结论【解答】解：由f（x）=（2x3）ex+=0，可得a=x（32x）ex，（x0）令y=x（32x
18、）ex，则y=（x1）（2x+3）ex，x或x1时，y0，函数单调递减，x0或0x1时，y0，函数单调递增，x=时，函数取得极小值9，x=1时，函数取得极大值0，f（x）=（2x3）ex+有三个零点，9a0，故答案为9a0三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若ABC的面积为6，求BD的长【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理【分析】（1）由已知及向量的运算可求|=|，进而可得A=B，A与B都是锐角，利用同角三角函数基本关系式可
19、求cosA，利用二倍角公式即可得解sinC的值（2）由（1）及三角形面积公式可求a=b=，由二倍角公式求得cosC的值，利用余弦定理可求BD的值【解答】解：（1）=，得=0，即（）（）=|2|2=0，故|=|，（也可以由向量数量积的几何意义得出|=|）从而A=B，A与B都是锐角则cosA=sinC=sin（A+B）=sin2A=2sinAcosA=，即sinC=（2）由题意知，SABC=absinC=6，得a=b=，如右图，CD=，BC=，又cosC=cos（2A）=cos2A=（12sin2A）=，在BCD中，由余弦定理得：BD2=CD2+BC22CDBCcosC=+2（）=故BD=18已知
20、数列an满足a1=2，n（an+1n1）=（n+1）（an+n）（nN*）（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设bn=15，求数列|bn|的前n项和Tn【考点】数列递推式【分析】（1）n（an+1n1）=（n+1）（an+n）（nN*），可得nan+1（n+1）an=2n（n+1），变形=2利用等差数列的定义及其通项公式即可证明（2）bn=15=2n15，可得数列bn的前n项和Sn=n214n令bn0，解得n7n7时，数列|bn|的前n项和Tn=b1b2bn=Snn8时，数列|bn|的前n项和Tn=b1b2b7+b8+bn=2S7+Sn【解答】（1）证明：n（an+1n1）=（n
21、+1）（an+n）（nN*），nan+1（n+1）an=2n（n+1），=2数列是等差数列，公差为2，首项为2=2+2（n1）=2n，an=2n2（2）解：bn=15=2n15，则数列bn的前n项和Sn=n214n令bn=2n150，解得n7n7时，数列|bn|的前n项和Tn=b1b2bn=Sn=n2+14nn8时，数列|bn|的前n项和Tn=b1b2b7+b8+bn=2S7+Sn=2（72147）+n214n=n214n+98Tn=19如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与CDE所在的平面交于CD，且AE平面CDE，AE=1（1）求证；平面ABCD平面ADE；（2）求几何体ABDE的
22、体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（1）由AE平面CDE得AECD，又CDAD，故CD平面ADE，于是平面ABCD平面ADE；（2）由AE平面CDE得AEDE，利用勾股定理计算DE，求出SADE，由CD平面ADE，CDAB可知AB平面ADE，故VABDE=VBADE=SADEAB【解答】证明：（1）AE平面CDE，CD平面CDE，AECD，四边形ABCD是正方形，CDAD，又AD平面ADE，AE平面ADE，ADAE=A，CD平面ADE，CD平面ABCD，平面ABCD平面ADE解：（2）AE平面CDE，DE平面CDE，AEDE，DE=SADE=CD平面ADE，CDA
23、B，AB平面ADE，VABDE=VBADE=SADEAB=20在平面直角坐标系中，已知动点T到点A（4，0），B（1，0）的距离比为2（1）求动点T的轨迹方程；（2）已知点P是直线l：y=x与曲线在第一象限内的交点，过点P引两条直线分别交曲线于Q，R，且直线PQ，PR的倾斜角互补，试判断直线QR的斜率是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由【考点】轨迹方程【分析】（1）设T（x，y），由题意知：|TA|=2|TB|，由此即可求得曲线C的方程；（2）确定Q，R的坐标，从而可得直线QR的斜率【解答】解：（1）设T（x，y），由题意知：|TA|=2|TB|即=2，化简得x2+y2=4
24、，即为动点T的轨迹方程（2）直线QR的斜率为定值1证明过程如下：当x=y时，代入x2+y2=4，得P（）（第一象限内）显然，直线PQ的斜率存在，不妨设直线PQ：y=k（x）+，Q（x1，y1），R（x2，y2），联立圆的方程，得（1+k2）x22k（k1）x+2（k22k1）=0则x1=，y1=即Q（，）同理，直线PR的斜率为k，用k代替k，则R（，）那么直线QR的斜率为1为定值21已知函数f（x）=lnx+（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=2时，且函数f（x）满足f（x1）=f（x2）（x1x2），求证x1+x24（参考公式：ln（mx）=，m为常数）【考点】利用导数研究函数的单调
25、性【分析】（1）求出=，x0，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性（2）当a=2时，f（x）=lnx+不妨令x1x2，要证明x1+x24，即证x24x1只需证f（x1）f（4x1）设g（x）=lnx+ln（4x），g（x）=0，由此能证明x1+x24【解答】解：（1）f（x）=lnx+，=，x0，当a0时，f（x）0总成立；当a0时，令f（x）=0，得x=a当x（0，a）时，f（x）0当x（0，+）时，f（x）0综上：当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增证明：（2）当a=2时，f（x）=lnx+不妨令x1x2，要证明x
26、1+x24，即证x24x1由（1）知f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增则0x12，x22，只需证f（x2）f（4x1），有f（x1）=f（x2），即证f（x1）f（4x1）设g（x）=f（x）f（4x），（0x2），则令g（x）=lnx+ln（4x），g（x）=0，那么g（x）在（0，2）内单调递减，g（x）g（2）=0，故证得f（x1）f（4x1）x1+x2422已知函数f（x）=|x1|2x+3|（I）解不等式f（x）2；（II）若关于x的不等式f（x）a2a的解集为R，求正数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；（）求出f（x）的最大值，问题转化为a2a，求出a的范围即可【解答】解：（）函数f（x）=|x1|2x+3|=，当x时，由x+42，解得：x2，即2x；当x1时，由3x22，解得：x2，即x；当x1时，由x42，解得：x6，无解；所以原不等式的解集为x|2x；（）由（）知函数f（x）在x=处取函数的最大值f（）=，要使关于x的不等式f（x）a2a的解集为R，只需a2a，即3a22a50，解得a1或a，又a为正数，则a2016年11月27日
