1、新伏羲中学2019-2020学年度9月月考数学（理）试卷考试时间：120分钟；一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.设集合Ax|x22x30，Bx|2x0,则AB（）A. 3，2）B. （2，3C. 1，2）D. （1，2）【答案】C【解析】【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求解【详解】由题意，集合，所以故选C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式化简得解.【详解】故选B【点睛】本题主要考查了利用诱导
2、公式化简及特殊角的三角函数值，属于基础题3.已知，则在上投影的数量为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一个向量在另一个向量上投影的概念，可得结果.【详解】由题意知，在上的投影的数量为，故选：B.【点睛】本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影，属基础题.4.在中，若，则的形状是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】，两种情况对应求解.【详解】所以或故答案选D【点睛】本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误.5.下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）A. 已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得B
3、. 若向量，共线，则点A，B，C，必在同一直线上C. 若且，则D. 若点G为ABC的重心，则【答案】C【解析】【分析】A. 由向量共线定理判断；B.由向量共线定理判断；C.由数量积的运算性质判断；D.由向量的中点表示与三角形的重心性质判断.【详解】A. 由向量共线定理知正确；B.若向量，共线，则，所在直线互相平行或重合，因为有公共点B，则重合，所以点A，B，C，必在同一直线上，故正确；C.若，则，因为，则或与垂直，故错误；D.若点G为ABC的重心，延长AG与BC交与M，则M为BC的中点，所以，所以，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查平面的共线定理，数量积的性质以及向量的加减运算，还考查了运算
4、求解的能力，属于中档题.6.若向量，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意，由于向量，若“” 可知向量，可以推出结论，反之结论不一定推出条件，因为也满足长度为10【详解】，则“” 则向量,必要条件成立；若， ，充分条件不成立.故选:B【点睛】本题考查平面向量和常用逻辑用语等基础知识7.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】先判断函数为偶函数，再分段讨论函数值的情况，即可判断.【详解】解：函数的定义域为 ，因为，所以为偶函数，所以的图像关于轴对称，当时，所以，当时，
5、所以当时，故选：C【点睛】此题考查了函数图像的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于中档题.8.函数在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数函数求导，利用切线方程公式得到答案.【详解】函数 切点：切线方程为：故答案选C【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.9.已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为 （ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.【详解】由题得函数的图像如图所示，联立得交点（1,1）所以叶形图面积为.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，意在考查
6、学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，故选A11.已知函数，若是图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（ ）A. 图象的一个对称中心B. 在上是减函数C. 的图象过点D. 的最大值是【答案】A【解析】【分析】利用正弦函数对称轴位置特征，可得值，从而求出解析式，利用的图像与性质逐一判断即可【详解】是图象的一条对称轴的方程，又，.图象的对称中心为，故A正确；由于的正负未知，所以不能判断的单调性和最值，故B，D错误；，故C错误.故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质12.中国古代数学名著算法统宗中有这样一个问题：“三百七
7、十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案【详解】设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，所以，解得， 由，解得,故选B【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20
8、分）13.已知是等差数列，则_【答案】36【解析】【分析】利用，求出，然后利用等差数列求和公式即可求解【详解】是等差数列，得出，又由【点睛】本题考查利用等差数列的性质求和，属于基础题14.若，则_.【答案】【解析】【分析】对两边平方整理即可得解.【详解】由可得：，整理得：所以【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及二倍角的正弦公式，考查观察能力及转化能力，属于较易题15.在等比数列中，则_.【答案】【解析】因为在等比数列中，解得 ，故答案为 .16.已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称当时，则_【答案】2 【解析】【详解】由为奇函数，且其图象关于直线对称，知，且，所以，是以8为周期的
9、周期函数又，所以三、解答题17.在中，角的对边分别是，且满足.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先后利用正弦定理余弦定理化简得到，即得B的大小；（2）设，则，所以，利用余弦定理求出m的值，再求的面积.【详解】解：（1）因为，由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以.设，则，所以.中，由余弦定理得，得，即，整理得，解得.所以.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.已知向量，满足，且.（1）求;（2）在中，若，求.【答案】(
10、1) (2) 【解析】【分析】（1）将展开得到答案.（2），平方计算得到答案.【详解】解：（1）因为所以，所以，又夹角在上，；（2）因为，所以，所以，边的长度为.【点睛】本题考查了向量的夹角，向量的加减计算，意在考查学生的计算能力.19.已知公差不为零的等差数列满足，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求证：.【答案】(1).(2)见详解.【解析】【分析】(1)设公差为，由已知条件列出方程组，解得，解得数列的通项公式.(2)得出，可由裂项相消法求出其前项和，进而可证结论.【详解】(1)设等差数列的公差为().由题意得则化简得解得所以.(2)证明：，所以.【点睛】
11、本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如的数列，可由裂项相消法求和.20.设函数为常数，且的部分图象如图所示.（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调减区间；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）由图可以得到，故，而的图像过，故而，结合得到.（2）利用复合函数的单调性来求所给函数的单调减区间，可令，解得函数的减区间为.（3）由得，而，所以.解析：（1）根据图象得，又，所以. 又过点，所以，又，所以得：.（2）由得：.即函数的单调减区间为.（3）由，得，所以. . 21.已知函数.（1）若在处的切线与轴平行，求的值；（2）当
12、时，求的单调区间.【答案】（1）（2）函数在上递增，在上递减【解析】【分析】（1）求导数，将代入导函数，值为0，解得.（2）当时，代入函数求导，根据导数的正负确定函数单调性.【详解】解：（1）函数的定义域为 又， 依题有，解得 （2） 当时， 令，解得 ，（舍） 当时，递增，时，递减； 所以函数在上递增，在上递减【点睛】本题考查了函数的切线，函数的单调性，意在考查学生的计算能力.22.设函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若函数没有零点，求的取值范围.【答案】 当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是； 【解析】【分析】（1）求函数f（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；（2）根据函数f（x）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论【详解】，当时，在区间上单调递增，当时，令，解得；令，解得，综上所述，当时，函数的增区间是，当时，函数的增区间是，减区间是；依题意，函数没有零点，即无解，由1知：当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，只需，解得实数a的取值范围为【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点，考查学生的运算能力，是中档题
